1、2021西城(北區)高一下期末 1 / 13 北京市西城區（北區）20212021學年下學期高一期末考試 數學試卷 試卷滿分：150分 考試時間：120分鐘 一、本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。 1. 在數列n a 中，12n n a a +=+，且11a =，則4a 等于（ ） （a ）8 （b ）6 （c ）9 （d ）7 2. 將一根長為3m 的繩子在任意位置剪斷，則剪得兩段的長都不小于1m 的概率是 （ ） （a ）14 （b ）13 （c ）12 （d ）23 3. 在abc 中，若222a b c +，則abc 的外形是（ ）

2、 （a ）銳角三角形 （b ）直角三角形 （c ）鈍角三角形 （d ）不能確定 4. 若0a b ，則下列不等式中成立的是（ ） （a ）33a b （b ）a b （c ）11a b （d ）11a b 5. 若實數x ，y 滿意10,0,0,x y x y x -+?+? 則2z x y =+的最小值是（ ） （a ）12 - （b ）0 （c ）1 （d ）1 6. 執行如圖所示的程序框圖，輸出s 的值為（ ） （a ）2 2 / 13 （b ）12- （c ）3 （d ）23 7. 已知100件產品中有5件次品，從中任意取出3件產品，設a 表示大事“3件產品全不是次品”，b 表示大事“

3、3件產品全是次品”，c 表示大事“3件產品中至少有1件次品”，則下列結論正確的是（ ） （a ）b 與c 互斥 （b ）a 與c 互斥 （c ）任意兩個大事均互斥 （d ）任意兩個大事均不互斥 8. 口袋中裝有三個編號分別為1，2，3的小球，現從袋中隨機取球，每次取一個球，確定編號后放回，連續取球兩次。則“兩次取球中有3號球”的概率為（ ） （a ）59 （b ）49 （c ）25 （d ）12 9. 設o 為坐標原點，點a （4，3），b 是x 正半軸上一點，則oab 中 ob ab 的最大值為（ ） （a ）43 （b ）53 （c ）54 （d ）45 10. 對于項數為m 的數列n a

4、 和n b ，記b k 為12,(1,2,)k a a a k m ?=?中的最小值。給出下列推斷： 若數列n b 的前5項是5，5，3，3，1，則43a =； 若數列n b 是遞減數列，則數列n a 也肯定是遞減數列； 數列n b 可能是先減后增數列； 若1(1,2,.,)k m k b a c k m -+=，c 為常數，則(1,2,.,)i i a b i m =。 其中，正確推斷的序號是（ ） （a ） （b ） （c ） （d ） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。 11. 不等式220x x -的解集為_。 12. 在abc 中，2,150b

5、c a =?，則a=_。 13. 某校高一班級三個班共有同學120名，這三個班的男、女生人數如下表。 已知在全班級同學中隨機抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2。則x=_；現用分層抽樣的方法在全班級抽取30名同學，則應在三班抽取的同學人數為_。 一班 二班 三班 3 / 13 女生人數 20 x y 男生人數 20 20 z 14. 甲、乙兩人各參與了5次測試，將他們在各次測試中的得分繪制成如圖所示的莖葉圖。已知甲、乙二人得分的平均數相等，則m=_；乙得分的方差等于_。 15. 設n a 是等差數列，s n 為其前n 項的和。若533,27a s =-=-，則1a =_； 當s n 取得最小值

6、時，n=_。 16. 當x 1，9時，不等式22332x x x kx -+恒成立，則k 的取值范圍是_。 三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17. （本小題滿分13分） 在等比數列n a 中，12236,12a a a a +=+=。 （）求數列n a 的通項公式； （）設n b 是等差數列，且b 2 =a 2，b 4=a 4。求數列n b 的公差，并計算1234100.b b b b b -+-+-的值。 18. （本小題滿分13分） 某市某年一個月中30天對空氣質量指數的監測數據如下： 61 76 70 56 81 91 55 91 75 8

7、1 88 67 101 103 57 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 （）完成下面的頻率分布表； （）完成下面的頻率分布直方圖，并寫出頻率分布直方圖中a的值； （）在本月空氣質量指數大于等于91的這些天中隨機選取兩天，求這兩天中至少有一天空氣質量指數在區間101，111）內的概率。 4 / 13 5 / 13 19. （本小題滿分13分） 在abc 中，a ，b ，c 分別為角a ，b ，c 所對的邊，已知c=3，3c =。 （）若sinb=2sina ，求a ，b 的值； （）求a 2+b 2的最大值。 6 / 13 20. （本小題

8、滿分14分） 已知函數()(1)(1)f x ax x =-+。 （）當a=1時，求()f x 在區間1，2上的值域； （）若函數()f x 在區間)1,-+上是減函數，求a 的取值范圍； （）解關于x 的不等式()0f x 。 7 / 13 21. （本小題滿分14分） 設數列n a 的前n 項和為s n ，且1*1 2(),2 n n s n n -=-。 （）求數列n a 的通項公式； （）設數列(215)n n b n a =-。 （i ）求數列n b 的前n 項和t n ； （ii ）求b n 的最大值。 8 / 13 22. （本小題滿分13分） 對于數列a ：a 1，a 2，a

9、3（a i n ，i=1，2，3），定義“t 變換”：t 將數列a 變換成數列b ：b 1，b 2，b 3，其中1(1,2)i i i b a a i +=-=，且331b a a =-。這種“t 變換”記作b=t （a ），連續對數列b 進行“t 變換”，得到數列c ：c l ，c 2，c 3，依此類推，當得到的數列各項均為0時變換結束。 （）寫出數列a ：2，6，4經過5次“t 變換”后得到的數列； （）若a 1，a 2，a 3不全相等，推斷數列a ：a 1，a 2，a 3經過不斷的“t 變換”是否會結束，并說明理由； （）設數列a ：400，2，403經過k 次“t 變換”得到的數列各項

10、之和最小，求k 的最小值。 9 / 13 【試題答案】 一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。 1. d 2. b 3. c 4. c 5. a 6. d 7. b 8. a 9. b 10. b 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分， 11. 1|02x x ? ? 12. 13. 24 9 14. 6，8.4 15. 11，6 16. (,13- 注：一題兩空的試題，第一空2分，其次空3分： 三、解答題：本大題共3小題，共36分， 17. 解：（）設等比數列n a 的公比為q ， 由已知，211116,12a a q a q a q +=+= 2分 兩式相除，得q

11、=2。 4分 所以a 1=2， 6分 所以數列n a 的通項公式2n n a =。 7分 （）設等差數列n b 的公差為d ， 則114,316b d b d +=+= 9分 解得12,6b d =-=11分 1234100123499100.()().()b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-+-12分 50300d =-=-13分 18. 解：（）如下圖所示。 4分 （）如下圖所示。6分 由己知，空氣質量指數在區間71，81）的頻率為 630，所以a= 0.02。8分 10 / 13 （）設a 表示大事“在本月空氣質量指數大于等于91的這些天中隨機選取兩天，這兩天中

12、至少有一天空氣質量指數在區間101，111）內”， 由己知，質量指數在區間91，101）內的有3天， 記這三天分別為a ，b ，c ， 質量指數在區間101，111）內的有2天， 記這兩天分別為d ，e ， 則選取的全部可能結果為： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ），（c ，e ），（d ，e ）。 基本領件數為10。10分 大事“至少有一天空氣質量指數在區間101，111）內”的可能結果為： （a ，d ），（a ，e ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ），（c ，e ），（d ，e

13、）。 基本領件數為7， 12分 所以7()0.710 p a = 13分 19. 解：（）由于sin b=2sina ，由正弦定理可得b=2a ，3分 由余弦定理c 2= a 2 +b 2 2abcosc ， 5分 得9=a 2 +4a 2 2a 2， 7分 解得a 2=3， 8分 所以2a b a = 9分 （）由余弦定理c 2= a 2 +b 2 2abcosc ，得ab=a 2+b 29，10分 又a 2 +b 22ab ， 11分 所以a 2+b 218，當且僅當a=b 時，等號成立。 12分 所以a 2+b 2的最大值為18。 13分 20. 解：（）當a=l 時，2()1f x x

14、 =-， 函數()f x 在區間(,0-上單調遞減，在區間)0,+上單調遞增 所以，()f x 在區間1,2-上的最小值為(0)1f =-2分 11 / 13 又(2)(1)f f -。 所以()f x 在區間1,2-上的最大值為(2)3f =3分 ()f x 在區間1,2-上的值域為1,3-4分 （）當a=0時，()1f x x =-，在區間)1,-+上是減函數，符合題意5分 當0a 時，若函數()f x 在區間)1,-+上是減函數， 則0a ，且11a -， 7分 所以1a0， 9分 所以a 的取值范圍是1，0 （）由已知，解不等式(1)(1)0ax x -+。 當a=0時，x1。 10分

15、 當a0時，1()(1)0x x a -+，解得11x a - 11分 當a0時，1()(1)0x x a -+， 若11a =-，即1a =-時，1x -； 12分 若 11a -，即1a -時，1x -或1x a 13分 若11a -，即10a -時，1x a 或1x - 14分 綜上，當a0時，不等式的解集為1|1x x a ?- ?; 當a=0時，不等式的解集為|1x x -； 當1a0時，不等式的解集為1|1x x x a ? ?-? 或; 當a =1時，不等式的解集為|1x x - 當a1時，不等式的解集為1|1x x x a ? ?-? 或 21. 解：（）由已知，當n=1時，1

16、11a s =。1分 當2n 時，1n n n a s s -=- 2分 1211112()2()()222 n n n -=-= 3分 12 / 13 綜上，1*1(),2n n a n n -= 4分 （）（i ）11(215)().2n n b n -=- 所以2111113(11)(9)().(215)()222 n n t n -=-+-+-+-5分 2111111(13)(11)().(217)()(215)()22222 n n n t n n -=-+-+-+- 6分 兩式相減，得211 11111322().2()(215)()22222 n n n t n -=-+?+?+

17、?-8分 211111132().()(215)()2222 n n n -=-+- 2111132()(215)()(112)()11222 n n n n n -=-+-=- 所以11(112)()222n n t n -=- 10分 （ii ）由于11111(213)()(215)()(172)()222n n n n n b b n n n -+-=-=-11分 令10n n b b +-，得172 n 12分 所以129.b b b ，且910.b b ，即9b 最大， 13分 又8991333()2256b a =?= 。 所以，n b 的最大值為3256 14分 22. 解：（）

18、依題意，5次變換后得到的數列依次為 4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，23分 所以，數列a ：2，6，4經過5次“t 變換”后得到的數列為2，0，2，4分 （）數列a 經過不斷的“t 變換”不行能結束 設數列d ：d 1，d 2，d 3，e ：e 1，e 2，e 3，f ：o ，0，0，且t （d ）=e ，t （e ）=f 依題意1223310,0,0e e e e e e -=-=-=，所以123e e e = 即非零常數列才能通過“t 變換”結束。6分 設123e e e e =（e 為非零自然數）。 為變換得到數列e 的前兩項，數列d 只有四種可能 111:,2;d d d e d e +111:,;d d d e d +111111:,;:,2;d d d e d d d d e d e - 而任何一種可能中，數列e的笫三項是o或2e。 即不存在數列d，使得其經過“t變換”成為非零常數列。8分 由得，數列a經過不斷的“t變換”不行能結束。 （）數列a經過一次“t變換”后得到數列b：398，401，3，其結構為a，a+3，3。 數列b經過6次“t變換”得到的數列分別為：3，a，a3；a3，3，a6：a6，a9，3;3，a12，a9;