1、第十二章 氣體的二維超聲速流動 在航空和動力工程等實際問題中，除已討論過的一維流動問題外，還常遇到三維流動問題。一般說來，三維流動問題的分析和處理是比較困難的。因此，往往通過對二維流動的研究來進一步了解可壓縮流體流動的主要現(xiàn)象和特征，為處理三維流動問題奠定基礎。本章主要討論超聲速流動的馬赫波、膨脹波和斜激波等可壓縮流體流動的最重要的物理現(xiàn)象，并研究其特征和處理方法，這在氣體動力學中具有典型意義。§12-1 空間流場中微弱擾動波的傳播 圖12-1 微弱擾動在流場中的傳播4a3a2aaO=0(a)4a3a2aaO<a234(b)4a3a2aaO>a234馬赫錐AB(d)4a3

2、a2aaO=a234馬赫錐AB(c)通過對不同速度的流場中微弱擾動波的傳播情況說明超聲速流動和亞聲速流動的差別。1靜止流場2 / 19 在靜止流場中，空間某點存在一微弱擾動源，它所產(chǎn)生的擾動波以聲速a向四周傳播，形成以擾動源所在位置O為中心的同心球面波，如圖12-1a所示。如果不考慮擾動波的傳播過程中的損失，隨著時間的延長，擾動必將傳遍整個流場。2均勻亞聲速流場 在均勻亞聲速流場中，處于某一固定點上有一小擾動源，它所產(chǎn)生的擾動波如圖12-1b所示。由于流體本身以速度V運動，故擾動波傳播的絕對速度應是兩個速度的矢量和。由于V<a，故擾動波面是由一串不同心的球面所組成。 顯然，隨著時間的延長

3、，擾動也可以傳遍整個流場。3均勻聲速流場 在均勻速流場中，處于某一固定點的一個小擾動源所產(chǎn)生的擾動波如圖12-1c所示 。由于V=a，故擾動波是與擾動源相切的一系列球面?？梢钥闯?，任何擾動只能在擾動源所在的垂直平面的下游半空間傳播，永遠不可能傳播到上游半空間。4均勻超聲速流場 在均勻超聲速流場，擾動波的傳播情況如圖12-1d所示，由于V>a，擾動波面由自擾動源點出發(fā)的錐面的一系列內(nèi)切球面所組成。通常稱此錐為馬赫錐。顯然，擾動只能在馬赫錐內(nèi)傳播，永遠不會傳播到馬赫錐以外的空間。 馬赫錐的半頂角稱為馬赫角，用表示。由圖可容易看出，它與馬赫數(shù)的關系為： (1)馬赫錐通常也稱為馬赫波。馬赫波就是

4、超聲速氣流受到微弱擾動時，所形成的已受擾動影響和未受擾動影響的分界面。三維流場形成錐形波面；二維流場則形成相交的平面波，而不呈錐形，故稱馬赫波比馬赫錐具有更廣泛的意義，穿過馬赫波，氣流狀態(tài)參數(shù)發(fā)生微變化，其變化過程為等熵過程。§12-2 超聲速氣流的小角折轉流動 均勻超聲速氣流沿平壁流動，在O點折轉一小角度，如圖12-2所示，由于壁面存在折角，必然對氣流產(chǎn)生擾動，折角即為一擾動源。根據(jù)上節(jié)討論的超聲速氣流中擾動傳播特征，擾動將在由折轉點O所發(fā)生的馬赫波的下游區(qū)域內(nèi)傳播，馬赫波上游的區(qū)域不受擾動的影響。經(jīng)馬赫波，氣流的速度由V變?yōu)閂+，氣流的方向也由水平方向折轉一個小角度，沿平行于折轉

5、后的壁面的方向流動。dqmOVV+dV圖12-2超聲速氣流的小角折轉流動 為求出折角與速度變化量之間的關系，我們建立沿馬赫波方向的動量方程 (1)式中，為穿過馬赫波每單位面積上的質(zhì)量流量。展開上式，考慮到，故，并略去高階小量，得 由于，故，代入式中，得 (2) 因為超聲速流動，M>1，根號下的值永遠為正，故當>0時，dV>0，即繞凸鈍角流為加速流動，或膨脹性流動，對應的馬赫波為膨脹性馬赫波。若<0，則dV <0，即繞凹鈍角的流動為減速流動，或壓縮性流動，對應的馬赫波為壓縮性馬赫波。 利用能量方程、馬赫數(shù)的表達式等，可消去上式中的V和dV，得到與dM的關系式 (3)

6、 此式即為超聲速氣流小角折轉計算式，它描述了折角與馬赫數(shù)變化之間的關系。式中折角以弧度計，膨脹性折轉(外折)的符號為正；壓縮性折轉(內(nèi)折)為負。見圖122。§12-3 膨脹波 超聲速氣流沿平壁流動時，遇到微小折角會產(chǎn)生一道馬赫波，經(jīng)過馬赫波，氣流速度的大小和方向均發(fā)生微小變化，如果壁面發(fā)生一系列折角如圖12-3a所示，則在每個折角處產(chǎn)生一道馬赫波。因為是膨脹折轉，dq為正，經(jīng)波后氣流馬赫數(shù)增大，即dM為正，故馬赫波與水平方向的夾角越來越小。這來自兩個原因：一是馬赫角減小，一是氣流也在偏轉。若壁面連續(xù)地折轉，相當于流過平滑曲線壁面，如圖12-3b所示，則會形成一個連續(xù)變化的擾動區(qū)。當壁

7、面的彎曲部分收縮為一點，即在一點集中產(chǎn)生一個有限大的折角時，如圖12-3c所示，則擾動區(qū)中的所有馬赫波均由此點出發(fā)，形成一個扇形擾動區(qū)，氣流通過擾動區(qū)連續(xù)變化，直到通過最后一道馬赫波達到與壁面平行為止。在此應注意，壁面是集中一次折轉了q角，但所引起的氣流的膨脹卻是在擾動區(qū)內(nèi)連續(xù)發(fā)生，而不是“突躍”變化，也就是說，這些馬赫波雖自一點發(fā)生，但并不會疊加在一起，而是呈發(fā)散狀，形成一個扇形的變化區(qū)，其原因正如上面所述，即m在逐步減小，氣流也在不斷偏轉。 前節(jié)推導的(3)式適用于上述各種情況下的任一馬赫波，若將該式積分，便可求得超聲速氣流的馬赫數(shù)與折角q 的關系式： (4)式中M1為折轉前氣流的馬赫數(shù)，

8、M2為折轉后的馬赫數(shù)。這里必須指出，折轉角q只要是使超聲速氣流發(fā)生膨脹性折轉即可應用此式求之，而不必考慮它是左旋還是右旋。 若起始馬赫數(shù)M1=1，上式可寫成： (2)它表示起始馬赫數(shù)M1=1的氣流沿壁面折轉膨脹時，折轉角q與折轉后馬赫數(shù)的關系。q是M數(shù)的函數(shù)，故寫成q =q(M)。該函數(shù)稱為普朗特一麥耶(Prandtl-Mayer)函數(shù)。實用中將此函數(shù)的計算結果列成表格以備查用。 由式(2)還可以求出由M1=1膨脹到M=¥時的最大折轉角qmax，即 (3)對于空氣，k=1.4 qmax=130°27圖12-3dqdqdqdqM1M2M1M2qM1M2(a)(b)(c)

9、67;12-4 斜激波一、斜激波的形成超聲速氣流遇到壓縮性小角折轉時，將產(chǎn)生壓縮性馬赫波，如圖12-4a所示。超聲速氣流在A點遇到一微小折角的擾動，則由A點起產(chǎn)生一道馬赫波，經(jīng)馬赫波后，氣流的方向?qū)⑵D一微小角度，氣流的速度及壓強、密度等均發(fā)生一微小變化，由于是壓縮性折轉，波后氣流馬赫數(shù)小于波前馬赫數(shù)。如果氣流再發(fā)生角的折轉(如圖12-4b)，則又會產(chǎn)生壓縮性馬赫波，馬赫波的斜率將大于前一馬赫波的斜率。這是由于M數(shù)的減小使馬赫角增大，再加上氣流也向內(nèi)折轉了之故，若壁面繼續(xù)折轉，則后面所形成的波的斜率就會越來越大，致使這些波會相遇而疊加起來(圖12-4b的上邊部分)形成一道強壓縮擾動波，即為激波

10、。如果由A到D的逐次折轉中，使D無限接近A點，則這些波將在A點疊加成一道與氣流夾角為的斜激波,氣流在A點一次折轉角。因激波面與來流方向呈傾斜狀態(tài)，故稱斜激波。頭部呈尖角形的物體的氣體中以超聲速運動時，也會出現(xiàn)斜激波，見圖12-5。斜激波和正激波一樣，都是突躍壓縮波，具有相同的基本特性。(d)qM1M2(c)M1(b)ABCDdqM1M2(a)AM1>1圖12-4 物體頭部的斜激波M2二、斜激波前后氣流參數(shù)的關系平面超聲速氣流中存在一固定斜激波(見圖12-6)。激波前氣流參數(shù)分別為、和，激波后為、和。將激波前后的速度分解為與波面垂直的分速度和，以及與波面平行的分速度和。圖12-6斜激波前后

11、的速度 由于通過激波波面的流量與沿波面的切向分速度和無關，故連續(xù)方程為 (1)切向動量方程為 (2)由上述兩方程可得 (3) 該式表明，斜激波前后的切向速度相同。這樣，當氣流穿過激波時，只有法向速度發(fā)生突變。因此，可以將斜激波看成是法向速度的正激波，波前速度,波后速度為。以M1sin代替正激波關系式，便可得斜激波前后氣流參數(shù)間的關系 (4) (5) (6) (7) (8) (9) 斜激波前后的馬赫數(shù)關系類似正激波，但需以M2n=M2sin(-)和M1n=M1sin分別代替式中的M2和M1而得到 (10) 對于蘭金一雨貢鈕式，因其中不包含馬赫數(shù)，也不包含激波傾角，所以對正激波和斜激波都適用。三、

12、激波傾角與氣流折角的關系 由圖12-6的幾何關系知 ， 又知，故可得到 利用(5)式，得 整理后，可以得到 (11) 為便于應用，將關系式(11)繪成曲線，如圖12-7所示，由圖可以看出，曲線為雙值函數(shù)。 (1) 在下面兩種情況下，氣流折角： 當，即時，也就是激波傾角等于馬赫角時，激波強度為無限小，激波成為馬赫波。當ctg=0，即=時，這是正激波情況。 可見，馬赫波和正激波都是斜激波的兩種極限情況。 (2) 對于每一個給定的馬赫數(shù)M1，氣流偏轉角都存在一個極大值。 (3) 對于每一個給定的馬赫數(shù)M1，當時，對應有兩個值。小值對應于較弱的激波，大值對應于較強激波。 (4) 波后的氣流馬赫數(shù)M2，

13、可能小于1，也可能大于1，它取決于激波傾角，氣流折角和馬赫數(shù)M1。四、脫體激波 由圖12-7可以看出，對于確定的來流馬赫數(shù)M1，對應一個最大的偏轉角，當壁面偏轉角時，在圖中的曲線上沒有交點，在楔尖處不存在斜激波，而是在前部一定距離處形成一道曲線形激波，如圖12-8所示。這就是脫體激波。脫體激波的形狀和位置取決于物體的幾何形狀、下游條件和來流馬赫數(shù)。脫體波的中間部分為正激波，經(jīng)正激波后的流動為亞聲速流動。由中間向兩側延伸的激波逐漸傾斜，激波傾角逐漸減少，激波強度逐漸減弱。故脫體激波為非等強度激波。超聲速氣流中的鈍頭物體(如圖12-8c所示)，只要來流馬赫數(shù)大于1，必然在其前方出現(xiàn)脫體激波。§12-5 拉伐爾噴管的非設計工況流動分析 在變截面流一節(jié)中，已討論過氣體在拉伐爾噴管中按設計工況流動時，背壓必須等于計算出口壓強,否則，得不到予計的超聲速氣流(見圖12-9)。若時，噴管內(nèi)為完全亞聲速流動。 下面我們討論當背壓在和之間的情況。 當出口背壓略低于，如為時，在喉部下游某處產(chǎn)生一正激波，激波后氣流為亞聲速，隨通道截面的擴張而減速、增壓，在出口壓強達到。