1、2021概率統計各章節總結 一、不考核內容 1. 條件分布 2. 卷積公式 3. 二維正態分布 4. 協方差與相關系數 5. 極限定理 6. 矩估量 7. 兩個正態總體的區間估量 8. 假設檢驗 第1頁 共23頁 二、考核內容 1. 大事的概念與運算關系；概率的定義與性質 古典概型；條件概率；全概率公式、貝葉斯公式； 大事的獨立性 2. 一維隨機變量及其分布 3. 二維隨機變量的聯合分布與邊緣分布 二維連續型隨機變量的概率計算 隨機變量的相互獨立 兩個隨機變量函數的分布 4. 隨機變量的數學期望與方差的性質與計算 5. 統計量的定義與性質；常用的重要統計量的分布 6. 參數的極大似然估量 統計

2、量的優良性(無偏性、有效性) 一個正態總體的區間估量第2頁 共23頁 三、其他說明 1. 題型為選擇、填空、計算; 2. 復習以教材和課后作業為依據; 3. 試題中沒有簡單的計算，故考試時不需要帶計算器 (帶計算器算作弊行為); 4. 平常成果為30分，一次作業不交扣3分，曠課一次 扣 2分 ; 5. 重修生有平常成果，平常成果請找教務處核實，老 師只給出卷面成果. 第3頁 共23頁 第一章 概率的計算 穩定值 p ( a) 1)統計定義： f n ( a) n 2)概率的性質：15 性質1 p ( ) 0 性質2 (有限可加性) 若 a1 , a2 , , an 兩兩互斥，則有： p( a1

3、 a2 an ) p( a1 ) p( a2 ) p( an )性質3 a b 則有 p ( b a) p ( b) p ( a)(可減性) p ( b) p ( a) (單調性)第4頁 共23頁 性質4 (加法定理) 設 a, b為任意兩個大事, 則有： p ( a b) p ( a) p ( b) p ( ab ) 性質5 對任意大事a有： p( a) 1 p ( a)m 3)等可能概型：p ( a) n k p ( ab ) 4)條件概率：p ( b a) m p ( a) 獨立 5)乘法定理： p( ab) p( a)p( b a) p( a) p( b)a ab1 ab2 6)全概率

4、公式： p( a) p( b1 )p( a b1 ) p( b2 )p( a b2 ) 1 p( a b ) p ( b1 ) p ( a b1 ) 7)貝葉斯公式：p ( b1 a) p ( a)第5頁 共23頁 其次章分布函數 隨機變量概率分布離散型隨機變量 連續型隨機變量f ( x) x f ( x ) p( x x ) f ( x) xk x pk f (t )dt 右連續 連續 概率的累加,不直觀 分布律： pk 1 概率密度： f (t )dt 1 x x1 x2 xk 概率分布 f ( x) pk p1 p2 pk概率1分布 狀況,直觀 pk 概率計算 x1 x2 x p( x1

5、 x x2 ) pkx1 xk x2 x x x1 x 2x2 x1 x p( x1 x x2 ) f (t )dt f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 1 非連續型隨機變量 第6頁 共23頁 其次章 隨機變量重要分布離散型隨機變量 連續型隨機變量 u ( a , b) 1) (0-1)分布 1) p( x k ) pk (1 p)1 k 1 (b a ), a x bf ( x) 0, 其它 重要分 布 2) b(n, p)k k p ( x k ) cn p (1 p)n k 2)e ( ) 1 e x , f ( x) 0, 2 n ( , ) 3)

6、x 0 其它( x )2 2 2 3)p ( ) e p( x k ) k!x的分布律 k f ( x) 1 e 2 函數的分布 y g( x ) y的分布律 f x ( x) fy ( y ) fy ( y )第7頁 共23頁 其次章1. 隨機變量的分布函數 f ( x ) p ( x x )作用： p ( x1 x x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 性質1 f(x)是一個不減函數 性質2 0 f ( x ) 1 , f ( ) 0, f ( ) 1 性質3 f ( x ) 是右連續的函數x 2. 連續型隨機變量的概率密度 f ( x ) f (t )dt性質1-2 f ( x)

7、 0 f ( x )dx 1x2 x1 性質3 p( x1 x x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x )dx 性質4 f ( x ) f ( x ) 第8頁 共23頁 第三章(x,y) 整體 (x,y) 個體 二維隨機變量(x,y)(x,y)離散型 (x,y)連續型 聯合概率密度f ( x, y ) 聯合分布函數f ( x, y ) 聯合分布律p( x xi ,y y j ) pijp ( x xi ) pij pi j 1 i 1 邊緣分布函數fx ( x ) lim f ( x , y )y 邊緣分布律 邊緣概率密度f x ( x) fy ( y ) f ( x, y

8、)dy f ( x, y )dx fy ( y ) lim f ( x , y ) p (y y j ) pij p j x p( x xi ,y y j ) x與y 對 x, y 獨立 f ( x, y) fx ( x)fy ( y) p( x xi )p(y y j ) f ( x , y ) f x ( x ) fy ( y ) 概率 計算 p( x , y ) g p( x , y ) g pij f ( x , y )dxdy ( x , y ) gi j g 第9頁 共23頁 一維 x分 布 f ( x) 函 p( x x) 數 幾 何 意 義 離 散 f ( x) 型 二維( x

9、,y )f ( x, y ) 邊緣 x 關系 fx ( x ) p ( x x ) fx ( x ) lim f ( x , y ) y p( x x, y y ) p( x x, y )( x, y ) x ( x ,y ) f ( x, y ) ( x ,y ) x 第三章ij xk x p k xi x yj y p ij fx ( x ) fx ( x )x xi x j 1 pf x ( x) 連 f ( x) 續 x 型 f (t )dt f ( x, y )x y 分 p x xi ,y y j p x xi pij p x xi pij 布 p x xk pk pij j 1

10、律 j 1 概 p( x1 x x2 ) f ( x2 ) f ( x1 ) x f ( x)dx p ( x , y ) g f ( x , y )dxdx pij x 第10頁 共23頁 率 ( xi , y j ) g g f (u, v )dudv d x f ( x, y)d y f ( x, y )dy f x ( x) 2 1 第三章z g( x , y ) 第四節 兩個隨機變量的函數的分布f ( x ,y ) f z (z) ? ( z) f z ( z ) fz z max x , y z min x ,y x , y獨立 fz ( z ) fx ( z )fy ( z )

11、x , y獨立 fz ( z ) 1 1 fx ( z )1 fy ( z ) x1 , x 2 , , x n獨立， fxi ( x) f ( x ) m max( x1 , x 2 , x n ) 與 n min( x1 , x 2 x n ) fmax (m z ) fx1 (m z ) fx2 (m z ) fxn (m z ) f ( z )nz ) 1 fx2 (n z ) 1 fxn (n z ) 1 1 f ( z )n z ) 1 1 fx1 (n fmin (n 第11頁 共23頁 第三章x y 計算難點 1)f ( x, y ) f (u, v )dudv 2)p( x

12、, y ) g f ( x , y )dxdx 3)f x ( x ) f ( x, y )dy4 ) z g( x , y )f ( x ,y ) ( z) f z ( z ) ? f z ( z ) fzg ( x , y ) z g fz ( z ) p( z z ) p g( x , y ) z d( z ) f ( x , y )dxdy f ( x , y )dxdy d是積分區域g( x , y ) z與f ( x , y ) 取值非零區域的交集第12頁 共23頁 第四章x 隨機變量的數學期望與方差離散型隨機變量e ( x ) xk pkk 1 連續型隨機變量e( x ) xf

13、( x )dx y g( x ) e (y ) e g( x ) e (y ) e g( x ) g連續 g ( x k ) pkk 1 g( x ) f ( x )dx ) e g( x , y ) z g( x , y ) e ( z e ( z ) e g( x , y ) g連續 g( xi , y j ) pijj 1 i 1 g( x, y ) f ( x, y )dxdy d( x ) 2 d ( x ) ( x e ( x ) pk k 2 e x e( x ) k 1 d( x ) ( x e ( x )2 f ( x )dx 第13頁 共23頁 第四章e(x)性質e (c

14、) c 隨機變量的數字特征e (c x ) c e ( x )e ( x y ) e ( x ) e (y ) x,y獨立 d(x)性質 e ( xy ) e ( x ) e (y ) d( x ) e ( x 2 ) e ( x )2 d(c ) 0 d(c x ) c 2 d( x )x,y獨立， d( x y ) d( x ) d(y ) p( x c) 1 d( x ) 0 第14頁 共23頁 第四章 幾種常見分布的數學期望和方差 概率分布 e( x )p np d( x )pq npq (0-1)分布 x b(1, p) 離 x b( n, p) 二項分布 散 型 泊松分布 x p

15、( ) 連 續 指數分布 x e ( ) 型 正態分布 x n ( , 2 ) 勻稱分布 x u (a , b) (a b) 2 (b a)2 12 2 2第15頁 共23頁 第六章 分布22 常用統計量及抽樣分布x i n (0,1) i 1,2, , n 獨立 x ( n)i 1 2 i 2 n 2 t分 布 e ( 2 ) n d( 2 ) 2n x n (0,1), y 2 (n), 獨立 x t ( n) n 45 t t ( n) y n t (n) t1 (n), t (n) z x t ( n 1) s n ( n) 2 (n) ( z 2n 1)2 2 n 45 x n (

16、, 2 ) th1 x n ( , 2 n), th2 x1 , x 2 , , x n (n 1) s 2 2 2 (n 1) 獨立 x, s2 n 1 n 1 2 2 x xi s ( x x ) i n i 1 n 1 i 1 第17頁 共23頁 第六章 統計量22 常用統計量及抽樣分布 x i2i 1 n x n ( , 2 ) x1 , x 2 , , x n 2 (n) t ( n) t 統計量 t x y n 樣本均值 樣本方差 x 1 xi n i 12 n 2 n ( , ) n (n 1)2 x 2 n n (0,1) ( n 1) s 2 s 1 n 2 s ( x x

17、) i n 1 i 1 x n t ( n 1)第18頁 共23頁 第六章x u (a , b) 連續型隨機變量及其分布 1 f ( x) b a 0 a x b1 b a 其它x 0 其它 ( x )2 2 2 a 0b x e ( ) x 1 e f ( x ) 0 1 x x n ( , )2 f ( x) 1 2 e 第19頁 共23頁 第六章 常用統計量及抽樣分布x 0 x 0 n x 1 1 x2 e 2 n2 2 2 (n) f ( x ) 2 ( n 2) 0 t t ( n) 1 x 2 n2 t ( x) (1 ) n ( n 2) n ( n 1) 2 第20頁 共23頁 第七章點估量 總體x f ( x, ), x1 x 2 , , x n x1 x2 , , xn 對 進行估量 ( x , x , , x ) 的估量量 統計量 1 2 n i ai , i 1,2, , k *1)矩估量法： 求解： ) m axl( ) 2)極大似然估量法：求解：l( h ) e( 估量量的 1)無偏性： ) d( ) 優良性 2)有效性： d( 1 2p( ) 1 ( , ) 是置信度為 1 的置信區間 區間估量 對 , 2 進行區間估量 x n ( , 2 ), 1)