1、優秀學習資料歡迎下載高一下期末復習五：解三角形一、知識梳理1 正弦定理：a=bc=2R（ R 為 ABC 外接圓半徑），了解正弦定理以下變形：sin B=sin Asin Ca 2Rsin A, b2R sin B,c2R sin Csin Aa ,sin Bb , sin Cc2R2R2Ra : b : csin A : sin B : sinCabcabcsin Asin Bsin Csin Asin Bsin C最常用三角形面積公式：S ABC1 aha1 ab sin C1 ac sin B1 bc sin A22222 正弦定理可解決兩類問題：1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；（唯

2、一解）2兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角（解可能不唯一）了解：已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 時的各種情況 :absin A無解若 A 為銳角時 :absinA一解(直角)bsinAa b二解(一銳, 一鈍)ab一解(銳角)已知邊 a,b 和ACCCCbbbbaaaaaAAAAHBB1 HB2HBa<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<ba b僅有一個解無解僅有一個解有兩個解ab無解若 A 為直角或鈍角時:a b 一解 (銳角 )3 余弦定理： a 2b 2c22bc cos Acos Ab 2c2a22bcb 2c

3、2a22ac cos Bcos Bc2a2b22cac2a2b22ab cosCcosCa 2b 2c 22ab4 余弦定理可以解決的問題：（ 1）已知三邊，求三個角；（解唯一）（ 2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角（解唯一）：（ 3）兩邊和其中一邊對角，求另一邊，進而可求其它的邊和角（解可能不唯一）5掌握用解三角形的知識解決測量、航海、幾何、物理學等方面的簡單應用問題解三角形問題一般解題思想：一般來講，無論是應用性問題，還是純數學問題，如果涉及到一個三角形中的邊角關系的計算與證明，常應聯想到正弦定理和余弦定理。二典型例題例 1.在ABC 中，已知a3 ， b2 ，B45，求A,C

4、及 c優秀學習資料歡迎下載解：（法一）由正弦定理得：a sin B3 sin 453，sin Ab2290 ，即 ba ， B45 A60 或 120，當 A60時 C75， cb sin C2 sin 7562，sin Bsin 452當 A120時 C15， cb sin C2 sin 1562sin Bsin 452（法二）：設 cx ，由余弦定理b2a 2c 22ac cos B ，將已知條件代入，整理得：x26x10 ，解之得： x62；262時， cos Ab2c2a 22(622 ) 2313當 c22bc622( 31) 222262時， cosA=1當 c22變式 :在 AB

5、C 中，已知 sin A4 ， cosB5，則 cosC 的值為.513解 : sin A4( 2 ,3)，4A或 2A3，522334 cosB51 ， B，從而 A為銳角，（ 2A3， A+B 應 舍 去 ）， 于 是1323234312， cos Ccos( AB)(cos A cosBsin Asin B)33cos A,sin B13655例 2、根據所給的條件，判斷 ABC 的形狀（）b cos B（ ） abc1 a cos A2cos BcosCcos A(1) ABC為等腰三角形或直角三 角形。( 2)ABC 為等邊三角形例 3：在 ABC中，已知 a b4， a c2b,

6、且最大角為 120 0 ，求三邊的長和它的面積a=14,b=10,c=6S=15 3例 4：如圖，在海岸 A 處發現北偏東45°方向， 距 A 處( 31)海里的 B 處有一艘走私船 在 A 處北偏西 75°方向，距 A 處 2海 里 的C 處的我方緝私船， 奉命以 10 3 海里時的速度追截走私船 ， 此時走私船正以10 海里時的速度， 從 B 處向北偏東 30°方向逃竄問：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間解：設輯私船應沿CD方向行駛 小時，才能最快截獲( 在 D點) 走私船，優秀學習資料歡迎下載則 CD 103 海里， BD 10海里22

7、2 BCAB AC 2AB· AC· cos A（3 1） 2 22 2（ 3 1）· 2cos120 ° 6,BC 6BCACsin Asin ABCAC sin A2 sin1202sin ABC62BC ABC 45°， B 點在 C點的正東方向上， CBD 90° 30° 120°BDCDsin BCDsin CBDsin BCDBD sin CBD10t sin 1201 ,CD10 3t2 BCD 30°, DCE 90° 30° 60°由 CBD 120

8、6;， BCD 30°得 D 30° BDBC，即 10 6 6( 小時)15(分鐘)10例 5.（ 05 全國 III ）ABC 中，內角 A， B，C 的對邊分別為 a,b,c ，已知 a, b, c 成等比數列，且 cosB3。4（I）求11的值；tan AtanC（II ）設 BA BC3，求 ac 的值。2解：（ I ）由 cosB3得 sin B7，由 b2ac 得 sin2B sin Asin C 于是44cot Acot Ccos AcosCsin( AC)sin B147 。sin Asin Csin 2 Bsin2 Bsin B7（II ）由 BA BC

9、3，得 cacosB3，由 cosB3，得 ca2 ，即 b22 。224又 b2a2c22ac cos B 。得 a2c25 ， (a c)2a2c22ac9 ，得 a c3。三課后作業：中 、 、 分別為 A、B、C的對邊,如果 、 、 成等差數列, B30,的面積為31.ABC, a bcab cABC,2那么 b=()優秀學習資料歡迎下載A.1 3B.13C . 23D .2322答案： B2.設 A 是 ABC 中的最小角，且cos Aa1（ A）a，則實數 a 的取值范圍是1A a 3B a 1C 1 a3D a03.飛機沿水平方向飛行，在A 處測得正前下方地面目標C 得俯角為 3

10、0°，向前飛行10000 米，到達 B處，此時測得正前下方目標C的俯角為75°，這時飛機與地面目標的水平距離為（2500 3 1）A 5000 米B 50002 米C 4000 米D 40002米4.已知 ABC 的三邊長a3,b5,c6 ，則 ABC的面積為（B）A 14B2 14C 15D2 155.在 ABC 中， a=x， b=2， B=45 ° .若解此三角形可得兩解，則x 的取值范圍是 _2X22tan Aa26.在 ABC 中，若 tan Bb2 ，試判斷 ABC 的形狀 .sin AcosBsin 2AcosBsin A解法 1：由正弦定理：sin

11、 2A即：sin 2A sin 2Bsin B cosAcosAsin B2A=2B 或 2A=1802B 即：A=B 或 A+B=90 ABC 為等腰或直角三角形sin A cos Ba2aa2c 2b 2a 2解法 2：由題設：2R2accos Asin Bb2b2c2a2bb 22bc2R化簡： b2(a2 + c2b2) = a2(b2 + c2a2) (a2b2)( a2 + b2c2)=0222 ABC 為等腰或直角三角形 a = b 或 a+ b= c7. 在 ABC 中，已知 a 2 3, c62, B45 O 求， b, A,C（ 2） b 22 A=60 0C=75 08.

12、在 ABC 中， ab10 ， cosC 是方程2x23x 20 的一個根，求 ABC 周長的最小值。解： 2 x23x2 0x12, x2121又cosC 是方程 2x23x20 的一個根c o Cs2優秀學習資料歡迎下載由余弦定理可得：c2a 2b 22ab1ab 2ab2則： c 2100a 10aa5 275當 a 5時， c 最小且 c755 3此時 ab c105 3 ABC 周長的最小值為 10 539 在 ABC中，已知角B45°， D是 BC邊上一點， AD 5， AC7， DC3，求 AB解：在中，ADCcos C AC 2DC 2AD 272325211 ,2AC DC27314又 0C 180°， sin C 5 314在中， ACABABCsin Bsin C AB sin C AC532756 .sin B14210. 在ABC 中， A . B . C 的對邊分別為 a . b . c 。若 a,b,c成等比數列， 求 f(B)=sinB+3 cosB 的值域。解析(1) b2ac ,a 2c22accos Ba 2c2b 22acac 12