1、起課后提升作業 十一橢圓方程及性質的應用(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.已知直線l過點(3,-1),且橢圓c:x225+y236=1,則直線l與橢圓c的公共點的個數為()a.1個b.1個或2個c.2個d.0個【解析】選c.因為直線過定點(3,-1)且3225+(-1)236<1,所以點(3,-1)在橢圓的內部,故直線l與橢圓有2個公共點.【補償訓練】直線y=k(x-2)+1與橢圓x216+y29=1的位置關系是()a.相離b.相交c.相切d.無法判斷【解析】選b.直線y=k(x-2)+1過定點p(2,1),將p(2,1)代入橢圓方程,得416+19<1,所以

2、p(2,1)在橢圓內部,故直線與橢圓相交.2.橢圓x24+y23=1的右焦點到直線y=3x的距離是()a.12b.32c.1d.3【解析】選b.橢圓的右焦點為f(1,0),由點到直線的距離公式得d=33+1=32.3.(2016·長沙高二檢測)若直線y=x+6與橢圓x2+y2m2=1(m>0且m1)只有一個公共點,則該橢圓的長軸長為()a.1b.5c.2d.25【解析】選d.由y=x+6,x2+y2m2=1,得(1+m2)x2+26x+6-m2=0,由已知=24-4(1+m2)(6-m2)=0,解得m2=5,所以橢圓的長軸長為25.【補償訓練】直線y=x+m與橢圓x2144+y

3、225=1有兩個公共點,則m的取值范圍是()a.(-5,5)b.(-12,12)c.(-13,13)d.(-15,15)【解析】選c.聯立直線與橢圓方程,由判別式>0,可得-13<m<13.4.(2016·濟南高二檢測)已知橢圓x23+y24=1的上焦點為f,直線x+y-1=0和x+y+1=0與橢圓分別相交于點a,b和c,d,則|af|+|bf|+|cf|+|df|=()a.23b.43c.4d.8【解析】選d.如圖,設f1為橢圓的下焦點,兩條平行直線分別經過橢圓的兩個焦點,連結af1,bf1.由橢圓的對稱性可知,四邊形afdf1為平行四邊形,所以|af1|=|fd

4、|,同理|bf1|=|cf|,所以|af|+|bf|+|cf|+|df|=|af|+|bf|+|bf1|+|af1|=4a=8.5.(2016·馬鞍山高二檢測)已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為f1,f2,右頂點為a,上頂點為b,若橢圓c的中心到直線ab的距離為66|f1f2|,則橢圓c的離心率e=()a.22b.32c.23d.33【解析】選a.設橢圓c的焦距為2c(c<a),由于直線ab的方程為ay+bx-ab=0,所以aba2+b2=63c,因為b2=a2-c2,所以3a4-7a2c2+2c4=0,解得a2=2c2或3a2=c2

5、(舍),所以e=22.6.過點m-1,12的直線l與橢圓x2+2y2=2交于a,b兩點,設線段ab中點為m,設直線l的斜率為k1(k10).直線om的斜率為k2,則k1k2的值為()a.2b.-2c.12d.-12【解析】選d.設a(x1,y1),b(x2,y2),則x12+2y12=2,x22+2y22=2,-得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0.即y2-y1x2-x1=-x1+x22(y1+y2),所以k1=y2-y1x2-x1=-22×1=1,而k2=12-0-1-0=-12,故k1k2=-12.7.(2016·重慶高二檢測)橢圓mx2+

6、ny2=1與直線y=1-x交于m,n兩點,過原點與線段mn中點所在直線的斜率為22,則mn的值是()a.22b.233c.922d.2327【解析】選a.聯立方程組可得y=1-x,mx2+ny2=1(m+n)x2-2nx+n-1=0,設m(x1,y1),n(x2,y2),mn的中點p(x0,y0),則x0=x1+x22=nm+n,y0=1-x0=1-nm+n=mm+n.所以kop=y0x0=mn=22.8.橢圓x216+y24=1上的點到直線x+2y-2=0的最大距離是()a.3b.11c.22d.10【解析】選d.設與直線x+2y-2=0平行的直線為x+2y+m=0,與橢圓聯立得,(-2y-

7、m)2+4y2-16=0,即4y2+4my+4y2-16+m2=0,得2y2+my-4+m24=0.=m2-8m24-4=0,即-m2+32=0,所以m=±42.所以兩直線間距離最大是當m=42時,dmax=|2+42|5=10.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2016·天津高二檢測)直線l交橢圓x216+y212=1于a,b兩點,ab的中點為m(2,1),則l的方程為_.【解析】由點差法求出kab=-32,所以l的方程為y-1=-32(x-2).化簡得:3x+2y-8=0.答案:3x+2y-8=0【補償訓練】直線y=x+1被橢圓x24+y22=1所截得的線段的中點

8、坐標為()a.23,53b.43,73c.-23,13d.-132,-172【解析】選c.由y=x+1,x2+2y2=4消去y,得3x2+4x-2=0.設直線與橢圓的交點a(x1,y1),b(x2,y2),則x1+x2=-43,所以y1+y2=x1+x2+2=23.所以ab中點的坐標為-23,13.10.(2016·邯鄲高二檢測)過橢圓x25+y24=1的右焦點f作一條斜率為2的直線與橢圓交于a,b兩點,o為坐標原點,則oab的面積為_.【解析】由已知可得直線方程為y=2x-2,聯立方程x25+y24=1,y=2x-2得交點坐標,不妨令a(0,-2),b53,43,所以saob=12

9、·|of|·|ya-yb|=53.答案:53三、解答題(每小題10分,共20分)11.已知動點m(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點n(1,0)的距離的2倍.(1)求動點m的軌跡c的方程.(2)過點p(0,3)的直線m與軌跡c交于a,b兩點.若a是pb的中點,求直線m的斜率.【解題指南】由動點m的坐標,根據已知條件列方程即可;設出直線方程與橢圓方程聯立,得出k與x1,x2的關系式,利用中點坐標即可得斜率.【解析】(1)點m(x,y)到直線x=4的距離是它到點n(1,0)的距離的2倍,則|x-4|=2(x-1)2+y2x24+y23=1.所以,動點m的軌跡為橢圓,方程為x

10、24+y23=1.(2)p(0,3),設a(x1,y1),b(x2,y2),由題意知:2x1=0+x2,2y1=3+y2,橢圓的上下頂點坐標分別是(0,3)和(0,-3),經檢驗直線m不經過這兩點,即直線m斜率k存在.設直線m的方程為:y=kx+3.聯立橢圓和直線方程,整理得:(3+4k2)x2+24kx+24=0x1+x2=-24k3+4k2,x1·x2=243+4k2,x1x2+x2x1=12+2(x1+x2)2-2x1·x2x1·x2=52(-24k)2(3+4k2)·24=92k=±32,所以直線m的斜率k=±32.12.已知

11、橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當直線和橢圓有公共點時,求實數m的取值范圍.(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程.【解析】(1)由題意得4x2+y2=1,y=x+m,消y整理得:5x2+2mx+m2-1=0.因為直線與橢圓有公共點,所以=4m2-20(m2-1)=20-16m20,所以-52m52.(2)設直線與橢圓交點a(x1,y1),b(x2,y2),則由(1)得x1+x2=-2m5,x1x2=m2-15.所以|ab|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·425m2-4(m2-1)5=225-4m2+5.因為-52m

12、52,所以0m254,所以當m=0時,|ab|取得最大值,此時直線方程為y=x,即x-y=0.【延伸拓展】解決與橢圓有關的最值問題常用的方法有以下幾種(1)利用定義轉化為幾何問題處理.(2)利用數與形的結合,挖掘數學表達式的幾何特征,進而求解.(3)利用函數的最值,將其轉化為函數的最值問題來處理,此時,應注意橢圓中x,y的取值范圍,常常是化為閉區間上的二次函數的最值來求解.【補償訓練】(2016·池州高二檢測)已知動點p與平面上兩定點a(-1,0),b(1,0)連線的斜率的積為定值-2.(1)試求動點p的軌跡c的方程.(2)設直線l:y=x+1與曲線c交于m,n兩點,求|mn|.【解

13、析】(1)設點p(x,y),則依題意有yx+1·yx-1=-2,整理得x2+y22=1,由于x±1,所以求得的曲線c的方程為x2+y22=1(x±1).(2)由x2+y22=1,y=x+1,消去y得:3x2+2x-1=0,設m(x1,y1),n(x2,y2),則x1+x2=-23,x1x2=-13,|mn|=2|x1-x2|=249-4-13=432.【能力挑戰題】已知abc的頂點a,b在橢圓x2+3y2=4上,c在直線l:y=x+2上,且abl.(1)當ab邊通過坐標原點o時,求ab的長及abc的面積.(2)當abc=90°,且斜邊ac的長最大時,求ab所在直線的方程.【解析】(1)因為abl,且ab邊通過點(0,0),所以ab所在直線的方程為y=x.設a,b兩點坐標為(x1,y1),(x2,y2),由x2+3y2=4,y=x,得x=±1,所以|ab|=2|x1-x2|=22,又因為ab邊上的高h等于原點到直線l的距離,所以h=2,所以sabc=12|ab|·h=2.(2)設ab所在直線方程為y=x+m.由x2+3y2=4,y=x+m,得4x2+6mx+3m2-4=0.因為a,b在橢圓上,所以=-12m2+64&