1、基礎知識復習1、正弦定理2、余弦定理2222222222cos2cos2cosabcbcabacacbcababc2sinsinsin()abcrabcr其中 為外接圓的半徑定理正弦定理余弦定理解決的問題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角.已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.a為銳角a為鈍角或直角圖形a為銳角a為鈍角或直角關系式absinaabsinabsin aabab解的個數無解一解兩解一解一解無解1、分析分析：理解題意，畫出示意圖 2、建模建模：把已知量與求解量集中在一個三角形中3、求解求解：運用正弦定理和余弦定理

2、，有順序地解這些三角形，求得數學模型的解。4、檢驗檢驗：檢驗所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解。 實際問題實際問題數學問題（三角形）數學問題（三角形）數學問題的解（解三角形）數學問題的解（解三角形）實際問題的解實際問題的解解斜三角形應用題的一般步驟是：解斜三角形應用題的一般步驟是：:多應用實際測量中有許正弦定理和余弦定理在(1)測量距離.(2)測量高度.)3(測量角度解斜三角形中的有關名詞、術語解斜三角形中的有關名詞、術語： （1）坡度：斜面與地平面所成的角度。）坡度：斜面與地平面所成的角度。 （2）仰角和俯角：在）仰角和俯角：在視線視線和和水平線水平線所成的角中，所成的角中，視線

3、在水平線視線在水平線上方上方的角叫仰角，視線在水平線的角叫仰角，視線在水平線下下方方的角叫俯角。的角叫俯角。 （3）方位角：從正北方向）方位角：從正北方向順時針順時針轉到目標方向轉到目標方向的夾角。的夾角。 （4）視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球）視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角內交叉而成的角:多應用實際測量中有許正弦定理和余弦定理在(1)測量距離.例例1.設設a、b兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離。兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離。測量者在測量者在a的同測，在所在的河岸邊選定一點的同測，在所在的河岸邊選定一點c，測出測出ac的距離是的距離是55cm，bac51o

4、， acb75o，求，求a、b兩點間的距離（精確到兩點間的距離（精確到0.1m）分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形sinsinabaccb解：根據正弦定理，得解：根據正弦定理，得答：答：a,b兩點間的距離為兩點間的距離為65.7米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54abacacbabcacacbacbababcabcm變式練習：兩燈塔變式練習：兩燈塔a a、b b與海洋觀察站與海洋觀察站c c的距離都的距離都等于等于a km,a km,燈塔燈塔a a在觀察站

5、在觀察站c c的北偏東的北偏東3030，燈塔，燈塔b b在觀察站在觀察站c c南偏東南偏東6060，則，則a a、b b之間的距離為多少？之間的距離為多少？例例2.a、b兩點都在河的對岸（不可到達），設計兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量兩點間的距離的方法。一種測量兩點間的距離的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以計算出河的這一岸的一的方法，可以計算出河的這一岸的一點點c到對岸兩點的距離，再測出到對岸兩點的距離，再測出bca的大小，的大小，借助于余弦定理可以計算出借助于余弦定理可以計算出a、b兩點間的距離。兩點間的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點解：測量者可以在河岸邊選定兩點c

6、、d，測得，測得cd=a,并并且在且在c、d兩點分別測得兩點分別測得bca=, acd=, cdb=, bda=.在在 adc和和 bdc中，應用正弦定理得中，應用正弦定理得計算出計算出ac和和bc后，再在后，再在 abc中，應用余弦定理計中，應用余弦定理計算出算出ab兩點間的距離兩點間的距離sin()sin()sin()sin 180()sinsinsin()sin 180()aaacaabc222cosabacbcacbc變式訓練：若在河岸選取相距變式訓練：若在河岸選取相距4040米的米的c c、d d兩兩點，測得點，測得 bca= bca= ， acd= acd= ， cdb= cdb=

7、 ，bda=bda=60304560求求a、b兩點間距離兩點間距離 .注：閱讀教材注：閱讀教材p12p12，了解，了解基線基線的概念的概念練習練習1.一艘船以一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在a處看燈塔處看燈塔s在船的北偏東在船的北偏東20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到b處，在處，在b處看燈塔處看燈塔在船的北偏東在船的北偏東65o的方向，已知距離此燈塔的方向，已知距離此燈塔6.5n mile 以外的海區為航行安全區域，這以外的海區為航行安全區域，這艘船可以繼續沿正北方向航行嗎？艘船可以繼續沿正北方向航行嗎？11545sin2016.1s

8、in207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5asbsbasabsbn milesabhhsbn milehn mile 解：在中，由正弦定理得設點 到直線的距離為則此船可以繼續沿正北方向航行答：此船可以繼續沿正北方向航行練習練習2自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構。設計時需要計算自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構。設計時需要計算油泵頂桿油泵頂桿bc的長度已知車廂的最大仰角是的長度已知車廂的最大仰角是60，油泵頂點，油泵頂點b與車廂支點與車廂支點a之間的距離為之間的距離為1.95m，ab與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，ac長為長為1.40m，計算，計算bc

9、的長（精確到的長（精確到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例題中涉及一個怎樣的三角）例題中涉及一個怎樣的三角形？形？ 在在abc中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？cab練習練習2自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構。設計時需要計算自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構。設計時需要計算油泵頂桿油泵頂桿bc的長度已知車廂的最大仰角是的長度已知車廂的最大仰角是60，油泵頂點，油泵頂點b與車廂支點與車廂支點a之間的距離為之間的距離為1.95m，ab與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為6202

10、0，ac長為長為1.40m，計算，計算bc的長（精確到的長（精確到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知abc中中ab1.95m，ac1.40m， 夾角夾角cab6620，求，求bc解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：頂桿答：頂桿bcbc約長約長1.89m。 cab22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)bcabacab acabc :多應用實際測量中有許正弦定理和余弦定理在(2)測量高度.測量垂直高度測量垂直高度 1 1、底部可以到達的、底部可以到達的 測量出角測

11、量出角c c和和bcbc的長度，解直的長度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出abab的長。的長。 .,. 3的方法物高度設計一種測量建筑為建筑物的最高點不可到達的一個建筑物是底部例ababab圖中給出了怎樣的一個圖中給出了怎樣的一個幾何圖形？已知什么，幾何圖形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想beaghdc2 2、底部不能到達的、底部不能到達的 例例3 ab是底部是底部b不可到達的一個建筑物，不可到達的一個建筑物，a為建筑為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度物的最高點，設計一種測量建筑物高度ab的方法的方法分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部b是不可到達的，所以不能直是不

12、可到達的，所以不能直接測量出建筑物的高。由解接測量出建筑物的高。由解直角三角形的知識，只要能直角三角形的知識，只要能測出一點測出一點c到建筑物的頂部到建筑物的頂部a的距離的距離ca,并測出由點并測出由點c觀察觀察a的仰角，就可以計算的仰角，就可以計算出建筑物的高。所以應該設出建筑物的高。所以應該設法借助解三角形的知識測出法借助解三角形的知識測出ca的長的長。beaghdc)sin(sinaachahachaeab)sin(sinsinsin解：選擇一條水平基線解：選擇一條水平基線hg,使使h,g,b三點在同一條直線上。由三點在同一條直線上。由在在h,g兩點用測角儀器測得兩點用測角儀器測得a的的

13、仰角分別是仰角分別是，cd=a,測角儀測角儀器的高是器的高是h.那么，在那么，在 acd中，中，根據正弦定理可得根據正弦定理可得例例3. ab是底部是底部b不可到達的一個建筑物，不可到達的一個建筑物，a為建筑為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度物的最高點，設計一種測量建筑物高度ab的方法的方法beaghdc).1(,3 .27.150, 4054,. 400mdcmbcacab精確到求出山高部分的高為塔已知鐵角處的俯處測得在塔底的俯角面上一點處測得地鐵塔上在山頂如圖例分析：根據已知條件，應該設分析：根據已知條件，應該設法計算出法計算出ab或或ac的長的長)(177)1504054sin(4

14、054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mbcbadabbdabdrt得解cd=bd-bc177-27.3=150(m)答：山的高度約為答：山的高度約為150米。米。)sin(cos)sin()90sin(bcbcab所以，)90sin()sin(abbc解：在解：在abc中，中，bca= 90 +, abc= 90 -, bac=-, bad=.根據正弦定理，根據正弦定理，例例3 3：如圖：如圖, ,一輛汽車在一條水平的公路上向一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛正西行駛, ,到到a a處時測得公路北側遠處一山頂處時測得公路北側遠處一山頂d d在西偏北在西偏北1515

15、0 0的方向上的方向上, ,行駛行駛5km5km后到達后到達b b處處, ,測測得此山頂在西偏北得此山頂在西偏北25250 0的方向上的方向上, ,仰角為仰角為8 80 0, ,求求此山的高度此山的高度cd cd 分析：要測出高分析：要測出高cd,只要測出只要測出高所在的直角三角形的另一條高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長。根據已知直角邊或斜邊的長。根據已知條件，可以計算出條件，可以計算出bc的長。的長。例例5 一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到a處時測得處時測得公路南側遠處一山頂公路南側遠處一山頂d在東偏南在東偏南15的方向上，行駛的方向

16、上，行駛5km后到后到達達b處，測得此山頂在東偏南處，測得此山頂在東偏南25的方向上，仰角的方向上，仰角8，求此山，求此山的高度的高度cd.解：在解：在abc中，中，a=15, c= 25 15=10.根據正弦定理，根據正弦定理，cababcsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmcaabbccd=bctandbcbctan81047(m)答：山的高度約為答：山的高度約為1047米。米。變式：某人在變式：某人在m m汽車站的北偏西汽車站的北偏西20200 0的方的方向上的向上的a a處，觀察到點處，觀察到點c c處有一輛汽車處有一輛汽車沿公路向沿公路向m m站行駛

17、。公路的走向是站行駛。公路的走向是m m站站的北偏東的北偏東40400 0。開始時，汽車到。開始時，汽車到a a的距離的距離為為3131千米，汽車前進千米，汽車前進2020千米后，到千米后，到a a的的距離縮短了距離縮短了1010千米。問汽車還需行駛千米。問汽車還需行駛多遠，才能到達多遠，才能到達m m汽車站？汽車站？ :多應用實際測量中有許正弦定理和余弦定理在.)3(測量角度).01. 0,1 . 0(,.0 .5432,5 .6775,. 6000nmilecacnmilebbnmilea確到距離精角度精確到需要航行多少距離航行此船應該沿怎樣的方向出發到達航行直接從如果下次后到達海島的方向

18、航行東沿北偏出發然后從后到達海島航行的方向沿北偏東出發一艘海輪從如圖例例例6 一艘海輪從一艘海輪從a出發，沿北偏東出發，沿北偏東75的方向航行的方向航行67.5n mile后到達海島后到達海島b,然后從然后從b出發，沿北偏東出發，沿北偏東32的方向航行的方向航行54.0n mile后到達海島后到達海島c.如果下次航行直接從如果下次航行直接從a出發到達出發到達c,此船應該此船應該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到0.1,距距離精確到離精確到0.01n mile）?解：在解：在 abc中，中，abc1807532137，根據余弦定理，根據余

19、弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222abcbcabbcabac練習練習1 1如下圖是曲柄連桿機構的示意圖，當曲柄如下圖是曲柄連桿機構的示意圖，當曲柄cb繞繞c點旋轉點旋轉時，通過連桿時，通過連桿ab的傳遞，活塞作直線往復運動，當曲柄在的傳遞，活塞作直線往復運動，當曲柄在cb。位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點a在在a。處，設連處，設連桿桿ab長為長為340mm，由柄，由柄cb長為長為85mm，曲柄自，曲柄自cb按順時針方按順時針方向旋轉向旋轉80，求活塞移動的距離（即連桿的端點，求活塞移動的距離（即連桿的端點a移動的距移動的距離離 ）（精確到）（精確到1mm） aa0已知已知abc中，中， bc85mm，ab340mm，c80，求求ac 解：（如圖）在解：（如圖）在abc中，中， 由正弦定理可得：由正弦定理可得：2462. 034080sin85sinsin abcbca因為因為bcab，所以，所以a為銳角為銳角 ， a14