1、第三講第三講 定積分的計算定積分的計算 內容提要內容提要 1 1. . 定積分的換元積分法；定積分的換元積分法； 2.2.定積分的分部積分法定積分的分部積分法 。 教學要求教學要求 熟練掌握熟練掌握定積分的換元積分和分部積分法定積分的換元積分和分部積分法 ； 一、定積分的換元法一、定積分的換元法,)(上上連連續續在在設設baxf:)(滿滿足足下下列列條條件件而而ux 零的導數，零的導數，上單調且有連續并不為上單調且有連續并不為在在,)()1( ux ,)()2(a b )( dxxfba )(duuuf)()( 定積分的換元積分公式定積分的換元積分公式注意：注意：,)(時時換換成成新新變變量量

2、把把原原來來變變量量用用uxux .的的積積分分限限新新變變量量積積分分限限也也要要換換成成相相應應于于u則則解解,3ux 設設,3ux 則則.32duudx ；時，時，當當00 ux，時，時，當當28 ux例例1dxx 80311求求duuu220311 duuu 20211)1(3dxx 80311duuu 20213duuu 201113202|1|ln213 uuu3ln3 解解,12ux 設設例例2dxxx 40122求求,212 ux則則.ududx ；時，時，當當10 ux，時，時，當當34 uxdxxx 40122duuuu 312221duu 312)3(2131333121

3、 uu317 解解例例4dxxx 20224求求,sin2ux 設設，時，時，當當00 ux,cos2ududx 則則,cos242ux ，時，時，當當22 uxdxxx 20224uduuucos2cos2)sin2(202 duu 2022sin4 duu 2024cos14 4sin41 22020 uu duu 20)4cos1(2 )4cos(22020duudu )4(4cos41 22020ududu .sincos205 xdxx求求解一解一 令令,cosxu 2 x, 0 u0 x, 1 u 205sincosxdxx 015duu1066u .61 ,sin xdxdu 例

4、例4解二解二.sincos205 xdxx)(coscosxxd 205 2066cos x 61 顯然顯然,解法二簡單解法二簡單用換元積分法麻煩！用換元積分法麻煩！ 610dxxx 053sinsin5求求例例解解xx53sinsin )sin1(sin23xx dxxx 023|cos|sindxxx 053sinsindxxx 2023cossin dxxx)cos(sin223 |cos|sin23xx )(sinsin2023xdx )(sinsin223xdx 2025sin52 x 225sin52x 54 例例6dxex 2ln01求求解解,1uex 設設),1ln(2 ux則

5、則. 0,0 ux時時當當. 1,2ln ux時時當當dxex 2ln01duuuu 10212duu 102)111(210arctan 2uu )41(2 duuudx122 duuu 102212證：證： 0)(adxxf 0)(aduuf aduuf0)(;0,0 ux時時.,auax 時時例例7試證明試證明上連續且為偶函數上連續且為偶函數在在設設,)(aaxf ，則則dudx adxxf0)( aadxxf)( adxxf0)(2，令令對對uxdxxfa 0)( aadxxfdxxf00)()( adxxf0)( adxxf0)( aadxxf)( adxxf0)(2 aadxxf)

6、( adxxf0)(,)(上上連連續續且且為為奇奇函函數數在在設設aaxf 0)( aadxxf證：證： 0)(adxxf 0)(aduuf aduuf0)(;0,0 ux時時.,auax 時時，則則dudx adxxf0)( aadxxf)(，令令對對uxdxxfa 0)( aadxxfdxxf00)()( adxxf0)( adxxf0)( aadxxf)( adxxf0)(0 試證明試證明練習練習 2121251dxxx奇函數奇函數例例8 8 計算計算解解.11212125 dxxx原式原式偶函數偶函數 2121211dxx 2102112dxx210arcsin2x 3 練習練習計算下

7、列定積分：計算下列定積分：dxxxxx 332423122sin. 1dxxx 44cos1. 2 0 0 定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式證明：證明： ,vuvuuv . bababavduuvudvdxvuvudxuvbaba )()( bavdxu上上有有連連續續導導數數，在在及及設設函函數數,)()(baxvvxuu 移項移項 bauv即即 . bababavduuvudv則有則有二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 badxvuduvba , baudv.110 dxxex求求例例解解 10dxxex)(10 xexd 10|xxe e 1 10dxex10|xe e

8、 1 e . bababavduuvudv.arctan210 xdxx求求例例解解 10arctan xdxx)(arctan21102 xxd102|arctan21xx 421 421 )414(21 214 . bababavduuvudv11022 dxxx)111(102 dxx| )arctan(10 xx .2cos320 xdxex求求例例解解 . bababavduuvudv 202cos xdxex)(2cos20 xexd 202cos xex )2(cos20 xdex 12 exdxex2sin220 12 e)(2sin220 xedx 12 e)2(sin20

9、xdex 20)2sin( 2 xex 12 e 202cos4 xdxex 202cos xdxex)1(512 e所以所以 202cos xdxx求求解解xdxx cos202 )(sin202xdx 20202sin2sinxdxxxx 20)(cos2xxd 20202cos2cos24xdxxx42 202sin24x 242 練習練習 . bababavduuvudv.cos41602 dxx求求例例解解 . bababavduuvudv,ux 設設,2ux ,2ududx ；時，時，當當00 ux.4162 ux時，時，當當 1602cos dxx 40cos2 uduu 40)

10、(sin uud 40cos uduu40)sin( uu sin40 udu224 40cos u 12282 1602cos dxx2242 所以所以例例5 eedxx1ln求求解解 eedxx1ln 111lnlneedxxdxx 111lnlneexdxxdx 11lnexdx 11111lneedxxxxx12 e1lnln111 eeexxxxdx eedxx1lne22 exdxe21ln11 . bababavduuvudv例例6 6 計算計算解解 402cos xxdx xdxtan40 40tan xx xdxtan40 4 .22ln4 . bababavduuvudv

11、402cos xxdx 40cosln x 設設函函數數)(xu、)(xv在在區區間間 ba,上上具具有有連連續續導導數數，則則有有 bababavduuvudv. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導推導 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv二、分部積分公式二、分部積分公式例例1 1 計算計算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 2

12、1021x . 12312 則則例例2 2 計算計算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例3 3 計算計算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例4 4 設設 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10

13、dxxxf因為因為ttsin沒有初等形式的原函數，沒有初等形式的原函數，無法直接求出無法直接求出)(xf，所以采用分部積分法，所以采用分部積分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf例例5 5 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossi

14、nxdxxdxinnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數為正偶數為大于為大于1的正奇數的正奇數證證 設設,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv dxxxnxxinnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxninnn 22002sin)1(sin)1( nninin)1()1(2 21 nninni積分積分 關于下標的遞推公式關于下標的遞推公式ni4223 nninni,直到下標減到直到下標減到0或或1為止為止,214365223221202immmmim ,3254761

15、222122112immmmim ), 2 , 1( m,2200 dxi, 1sin201 xdxi,221436522322122 mmmmim.325476122212212 mmmmim于是于是定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(duuuf )()(注意：注意：當被積函數在不定積分中用第二換元當被積函數在不定積分中用第二換元 .)(, 0.)(,)(2)(0為為奇奇函函數數時時當當為為偶偶函函數數時時當當xfxfdxxfdxxfaaa小結小結:積分法時積分法時,定積分的分部積分法定積分的分部積分法 . bababavduuvudv在定積分中用換元法在定積分中用換元法.思考題思

16、考題設設)(xf 在在 1 , 0上連續，且上連續，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx. 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 解解思考題思考題設設)(xf 在在 1 , 0上連續，且上連續，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.思考題解答思考題解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2

17、一、一、 填空題：填空題：1 1、設、設 n n 為正奇數，則為正奇數，則 20sin xdxn_；2 2、設、設 n n 為正偶數，則為正偶數，則 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二、二、 計算下列定積分：計算下列定積分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；練練 習習 題題3 3、 0sin)(xdxxmjm， （m為自然數）為自然數）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 連連續續，,1)(,2)0