1、6.7 多元函數的極值及其求法多元函數的極值及其求法6.7.1 多元函數的極值多元函數的極值6.7.2 條件極值條件極值,lagrange乘數法乘數法6.7 多元函數的極值及其求法多元函數的極值及其求法6.7.1 多元函數的極值多元函數的極值1 多元函數極值的定義多元函數極值的定義 （以二元函數為例）（以二元函數為例） 極大值、極小值統稱為極值極大值、極小值統稱為極值. . 使函數取得極值的點稱為極值點使函數取得極值的點稱為極值點. . 同理可定義同理可定義n元函數元函數u=f(x1， x2， ，xn)的極值。的極值。(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數函數)0 , 0(4

2、322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數函數)0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數函數)0 , 0(xyz 2 2 多元函數取得極值的必要條件多元函數取得極值的必要條件不妨設不妨設),(yxfz 在點在點),(00yx處有極大值處有極大值, 則對于則對于),(00yx的某鄰域內任意的某鄰域內任意 ),(yx),(00yx 都都有有 ),(yxf),(00yxf, 證明證明故故當當0yy ，0 xx 時時， 有有 ),(0yxf),(00yxf, 說明一元函數說明一元函數),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx; 類類似似地地可可證

3、證 0),(00 yxfy. 仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零的點，均稱為函數的的點，均稱為函數的駐點駐點.注注 (1) (1) 函數的駐點不一定是極值點，例如，點函數的駐點不一定是極值點，例如，點(0，0)是函數是函數z=xy的駐點，但函數在該點并無極值。的駐點，但函數在該點并無極值。 (2) (2) 函數的極值點不一定是駐點，偏導數不函數的極值點不一定是駐點，偏導數不存在的點仍可能為極值點。存在的點仍可能為極值點。2210 00 0( , )( , )zxy 例例 中中在在處處取取得得極極大大值值，但但它它在在處處的的偏偏導導數數不不存存在在。(

4、3) (3) 可能極值點可能極值點 ( (i)i)駐點。（駐點。（ii)ii)偏導數偏導數 不不存在的點。存在的點。(4) 幾何意義：若幾何意義：若fx(x0 ,y0)= fy (x0 ,y0) =0, 且且(x0 ,y0)為極值點為極值點則曲面則曲面z=f(x,y)在在(x0 ,y0)處的切平面方程為：處的切平面方程為：z=z0即：極值點處的切平面平行于即：極值點處的切平面平行于xoy面。面。問題問題：如何判定一個駐點是否為極值點？：如何判定一個駐點是否為極值點？3 極值的充分條件極值的充分條件 定理定理6.7.2 (充分條件充分條件)設函數設函數z=f (x，y)在點在點(x0，y0)的某

5、鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數， ( (3) ) acb2 = 0時可能有極值，也可能沒有極值，時可能有極值，也可能沒有極值，還需要另作討論還需要另作討論 (1) acb2 0時具有極值，且當時具有極值，且當a 0時有極小值；時有極小值；(2) acb2 0，又又 a0fxx(x，y) = 6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=6y+6 所以函數在（所以函數在（1，0）處有極小值）處有極小值f（1，0）=5； 在點（在點（3，0）處，）處，acb2 =1260, ,又又 a 0，f（3，2）=31。 在點（在點（1，2）處，）處，acb2

6、 = 12(6)0，y0內取得。內取得。 )2,2(33,23 x32 y323233222 32 又函數在又函數在d內只有唯一的駐點內只有唯一的駐點因此可斷定當因此可斷定當a取得最小值取得最小值水箱所用的材料最省。水箱所用的材料最省。當水箱的長為當水箱的長為寬為寬為高為高為 實際問題中，有時會遇到對函數的自變量另有實際問題中，有時會遇到對函數的自變量另有附件條件的極值問題，這類極值稱為條件極值。附件條件的極值問題，這類極值稱為條件極值。 1引入引入 上面討論的極值問題，對于函數的自變量，除上面討論的極值問題，對于函數的自變量，除了要限制在函數的定義域內以外并無其他條件，了要限制在函數的定義域

7、內以外并無其他條件，所以也稱為無條件極值。所以也稱為無條件極值。例如例如 求表面積為求表面積為a2的體積最大的長方體。的體積最大的長方體。目標函數：目標函數：v=xyz；附加條件：附加條件：2(xy+yz+zx)=a2。6.7.2 條件極值條件極值,lagrange乘數法乘數法.)(2)2(2yxxyaxyv 再代入目標函數得再代入目標函數得 則化成求上函數的無條件極值問題，進而可求解。則化成求上函數的無條件極值問題，進而可求解。 問題（問題（1）并不總是可化成無條件極值）并不總是可化成無條件極值（2）即使化了，但這個無條件極值問題的）即使化了，但這個無條件極值問題的 求解可能困難。求解可能困

8、難。 希望：能否找到一種直接求解條件極值，而不必希望：能否找到一種直接求解條件極值，而不必化為無條件極值問題的方法。事實上拉格朗日乘數化為無條件極值問題的方法。事實上拉格朗日乘數法就是解決這一問題的有效方法。法就是解決這一問題的有效方法。 由附加條件可解得由附加條件可解得 ,)(222yxxyaz 在條件在條件2 探求方法探求方法)2( 0),( yx 下取得極值的必要條件。下取得極值的必要條件。 我們假定在我們假定在(x0，y0)的某一鄰域內的某一鄰域內f (x，y)與與 (x,y) 均有連續的一階偏導數，而均有連續的一階偏導數，而 y(x0 ,y0 ) 0 。由隱函數由隱函數存在定理可知，

9、方程（存在定理可知，方程（2）確定一個單值可導且具有）確定一個單值可導且具有連續導數的函數連續導數的函數 y= (x),將其代入（將其代入（1）式，結果得到）式，結果得到一個自變量一個自變量x的函數的函數z=fx, (x). (4)如果函數（如果函數（1）在）在(x0，y0)取得所求的極值，取得所求的極值，)3(. 0),(00 yx 尋求函數尋求函數 z=f (x，y) (1)那末首先有那末首先有 于是函數（于是函數（1）在）在(x0，y0)取得所求的極值，也就取得所求的極值，也就是相當于函數（是相當于函數（4）在）在x= x0取得極值。由一元函數取得極值。由一元函數取得極值的必要條件知道取

10、得極值的必要條件知道)5( , 0),(),(000000 xxyxxxdxdyyxfyxfdxdz而由（而由（2）用隱函數求導公式，有）用隱函數求導公式，有.),(),(00000yxyxdxdyyxxx 把上式代入（把上式代入（5）得）得)6( 0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx （3）、（）、（6）兩式就是函數（）兩式就是函數（1）在條件（）在條件（2）下在下在(x0，y0)取得極值的必要條件。取得極值的必要條件。 ：，上述必要條件舊變成，上述必要條件舊變成設設,),(),(0000 yxyxfyy )7( . 0),(, 0),(),(, 0),(

11、),(0000000000yxyxyxfyxyxfyyxx 容易看出，（容易看出，（7）中的前兩式的左端正是函數）中的前兩式的左端正是函數),(),(),(yxyxfyxf 的兩個一階偏導數在的兩個一階偏導數在(x0，y0)的值，其中的值，其中是一個是一個待定常數。待定常數。 由以上討論，我們可得以下結論由以上討論，我們可得以下結論:拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法:要找函數要找函數z=f (x，y) (1)在附加條件在附加條件 (x,y)=0 (2) 下的可能極值點，下的可能極值點，),(),(),(yxyxfyxf 求其對求其對x與與y的一階偏導數，并使之為零，然后與的一階偏導數，并使之為零，

12、然后與方程（方程（2）聯立起來：）聯立起來： )8( . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 由這方程組解出由這方程組解出x，y及及，則其中則其中x，y就是函數就是函數f (x，y)在附加條件在附加條件 ( (x,y)=0)=0下的可能極值點的坐標。下的可能極值點的坐標。 其中其中為某一常數。為某一常數。可以先構成輔助函數可以先構成輔助函數 (1) 這方法還可以推廣到自變量多于兩個情況。這方法還可以推廣到自變量多于兩個情況。例如，要求函數例如，要求函數 u=f (x，y，z，)在附加條件在附加條件下下的的極極值值。, 0) ,( zyx 3推廣推廣可以

13、先構造輔助函數可以先構造輔助函數),() ,() ,(zyxzyxfzyxf )8( . 0),(, 0),(),(, 0),(),(, 0),(),(zyxzyxzyxfzyxzyxfzyxzyxfzzyyxx 滿滿足足： (2)這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情況。例如，要求函數于一個的情況。例如，要求函數 u=f (x，y，z，t)在在附加條件附加條件下下的的極極值值。)9( 0),(, 0),( tzyxtzyx 可以先構造輔助函數可以先構造輔助函數),(),(),(),(21tzyxtzyxtzyxftzyxf 其中其中1，2均

14、為常數，求其一階偏導數，并使之均為常數，求其一階偏導數，并使之為零，然后與（為零，然后與（9）中的兩個方程聯立起來求解，這）中的兩個方程聯立起來求解，這樣得出的樣得出的x、y、z、t就是函數就是函數f(x，y，z，t)在附加條在附加條件件(9)下的可能極值點下的可能極值點例例1 求表面積為求表面積為a2而體積為最大的長方形的體積。而體積為最大的長方形的體積。 解：解：設長方形的三棱長為設長方形的三棱長為x，y，z，則問題就是在則問題就是在條件條件下下求求函函數數)10( 0222),(2 axzyzxyzyx v = xyz (x0，y0，z0)的最大值。的最大值。 構成輔助函數構成輔助函數求

15、其對求其對x，y，z的偏導數，并使之為零，得到的偏導數，并使之為零，得到 )11(0)(20)(20)(2 yxxyzxxzzyyz f(x，y，z)= xyz+(2xy+2yz+2xza2)， 再與（再與（10）聯立求解。）聯立求解。因因x，y，z都不為零，所以由（都不為零，所以由（11）可得）可得.,zxyxzyzyzxyx 由以上兩式解得由以上兩式解得 x = y = z。將此代入（將此代入（10）式，便得）式，便得,66azyx 這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知最這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個可能的極值點大值一定存在，所以最大值就在這

16、個可能的極值點處取得。處取得。.3663av 最大體積為最大體積為的最大體積。的最大體積。的長方體的長方體求內接于橢球面求內接于橢球面1222222 czbyax解解 設設m(x，y，z)是所求長方體在第一卦限的頂是所求長方體在第一卦限的頂 點的坐標，點的坐標，下下的的最最大大值值問問題題。1222222 czbyax構造輔助函數構造輔助函數 , 8),(222222 czbyaxxyzzyxl 則問題化為求函數則問題化為求函數v = 8xyz 在條件在條件 ：例例2求其對求其對x，y，z的一階偏導數的一階偏導數并使之為零，再與條件方程并使之為零，再與條件方程聯立，有聯立，有 10280280

17、28222222222czbyaxczxybyxzaxyz 由其中的前由其中的前3個方程可推出個方程可推出222222czbyax （因為（因為0，否則否則xyz=0與題意不合），得與題意不合），得 而依題意知體積最大的內接長方形存在。而依題意知體積最大的內接長方形存在。3,3,3czbyax .938maxabcv 故內接長方形最大體積為故內接長方形最大體積為是唯一的可能極值點，是唯一的可能極值點，例例3 求求z= x3+y3在在d：x2+y21上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。 解解 函數函數z= x3+y3在有界閉區域在有界閉區域 x2+y21上一定上一定可取得最大值和最小值可取得最大值和最小值 先求駐點先求駐點.3,322yyzxxz 唯一駐點為唯一駐點為(0，0)。該點的函數值為該點的函數值為z(0，0)=0 在在d的邊界上求的邊界上求z=x3+y3的極值的極值.這里用拉格朗日乘這里用拉格朗日乘數求解數求解。 引入輔助函數引入輔助函數 )1(),(2233 yxyxzyxl 得得 10230232222yxyylxxlyx )23(0, 1