1、函數的單調性與導數函數的單調性與導數(2)1 1、函數、函數f(xf(x) )在點在點x x0 0處的處的2 2、某點處導數的、某點處導數的3 3、導函數的定義、導函數的定義xyx 0lim )()(lim000 xxfxxfx)(0 xf 函數函數y=f(xy=f(x) )在點在點x x0 0處的導數處的導數f f (x(x0 0) )就是曲線就是曲線y=f(xy=f(x) )在點在點m(xm(x0 0,y,y0 0) )處的切線的斜率處的切線的斜率. .x x0 0f f( (x xx x) ) f f( (x x) )f f ( (x x) )l li im mx x4 4、四個常見函數

2、的導數公式、四個常見函數的導數公式 公式公式1 （c 為常數）為常數） 0 c)q()(1 nxnxnn公式公式2公式公式3 .cos)(sinxx 公式公式4 .sin)(cosxx 一、復習歸納一、復習歸納5 5、導數的四則運算法則、導數的四則運算法則6 6、復合函數的導數、復合函數的導數()u vuv( )uvuv uv) 0(2 vvuvvuvu)()()(xufxfx 7 7、對數函數的導數、對數函數的導數（1）xx1)(ln （2）exxaalog1)(log xxee )(aaaxxln)(8、指數函數的導數、指數函數的導數1）、）、0)( xf在某區間恒成立在某區間恒成立)(x

3、f為常函數為常函數3）、）、)(xf為某區間的增函數為某區間的增函數0)(xf且且0)( xf的點離散的點離散0)(xf4）、）、)(xf為某區間的增函數為某區間的增函數fx ( )02）、）、f xa b( )( , )在在內內單單調調遞遞增增理由：理由：0)( xf如：如：3xy 可能可能理由：理由：0)( xf可能可能恒成立恒成立1510、已知函數求單調區間方法、已知函數求單調區間方法f(x)f(x) 1111、已知單調性求參數方法、已知單調性求參數方法求出參數范圍后，再說明參數取邊界點時，求出參數范圍后，再說明參數取邊界點時， )(xf為某區間的增（減）函數為某區間的增（減）函數)0(

4、0)(xf0)( xf解為有限個，也符合題意。解為有限個，也符合題意。19二、拓展運用二、拓展運用例題例題1:證明方程證明方程 只有一個根只有一個根x=0.0sin31 xx證證:設設 則則 0恒成立恒成立.xxfrxxxxfcos311)(),(sin31)( 故故f(x)是是r上的增函數上的增函數.而而f(0)=0,故原方程有唯一根故原方程有唯一根x=0.例題例題2: 求函數求函數 的值域的值域.342 xxy解解:函數的定義域是函數的定義域是-2,+),又易得又易得:.)4232(342282 xxxxxy當當x-2時時, 即已知函數在即已知函數在(-2,+)上是增函數上是增函數., 0

5、 y又又f(-2)=-1,故所求函數的值域是故所求函數的值域是-1,+).證明：證明：令令f(x)=ef(x)=e2x2x1 12x. 2x. f(x)=2e f(x)=2e2x2x2=2(e2=2(e2x2x1)1)xx0 0，ee2x2xe e0 0=1=1，2(e2(e2x2x1)1)0, 0, 即即f(x)f(x)0 0f(x)=ef(x)=e2x2x1 12x2x在在(0(0，+)+)上是增函數上是增函數. .f(0)=ef(0)=e0 01 10=0.0=0.即即e e2x2x1 12x2x0.0.1+2x1+2xe e2x2x例例3.3.當當x x0 0時，證明不等式：時，證明不

6、等式：1+21+2x xe e2 2x x. .分析：分析：假設令假設令f(x)=ef(x)=e2x2x1 12x.f(0)=e2x.f(0)=e0 01 10=0, 0=0, 如果能夠證明如果能夠證明f(x)f(x)在在(0(0，+)+)上是增上是增函數，那么函數，那么f(xf(x) )0 0，則不等式就可以證明，則不等式就可以證明. .點評：點評：證明不等式時，可以利證明不等式時，可以利用函數的單調性進行證明，把用函數的單調性進行證明，把特殊點找出來使函數的值為特殊點找出來使函數的值為0.0.cossin335(,)( ,2 )(,)(2 ,3 )22.2.2.yxxxabcd 函函數數在

7、在下下面面哪哪個個區區間間內內是是增增函函數數( ( ) ) b ( ,2 )該該函函數數在在上上為為增增函函數數。xxxx ( ,2 )sin0,sin0,如如圖圖, ,當當時時，yxxxxx cos(cos ) (sin )解解： xxxxxx cossinossincy 0即即：xyo 2 3yx sin1、三、練習三、練習解解: :. 13)(2 axxf若若a0, a0, 對一切實數恒成立對一切實數恒成立, ,此時此時f(xf(x) )只只有一個單調區間有一個單調區間, ,矛盾矛盾. .0)( xf若若a=0, a=0, 此時此時f(xf(x) )也只有一個單調區間也只有一個單調區間

8、, ,矛盾矛盾. . , 01)( xf若若a0a0則則 , ,易知此易知此時時f(xf(x) )恰有三個單調區間恰有三個單調區間. .)31)(31(3)(axaxaxf 故故a0,a0,其單調區間是其單調區間是: : 單調遞增區間單調遞增區間: :).31,31(aa 單調遞減區間單調遞減區間: :11(,) (,).33aa 、2 2、設、設f(xf(x)=ax)=ax3 3+x+x恰有三個單調區間恰有三個單調區間, ,試確定試確定a a的取值范圍的取值范圍, ,并求其單調區間并求其單調區間. . , 3 單調區間的）（求函數設), 0 ( ,ln)(, 04.xaxxxfa)0( ,1

9、21)(xaxxxf解：單調區間的）（求函數設), 0( ,ln)(, 04.xaxxxfaaaaaxaxxfy144)42()42()(2222考察函數0)42(0)(0)42(0)(0)42(0)(2201210)(0,0222222axaxxfaxaxxfaxaxaxxxaxaxxxfxa同理即令是減函數）上在區間（解得令是增函數上）和在區間（或解得即令時，當)(122 ,122122122, 0)()(),122(1220,1221220)42(, 0)(, 010) 122xfaaaaaaxaaxfxfaaaaaaxaaxaxaxxfa上單調遞增在處連續在又上是遞增）和在區間（，解得令時