1、精選優質文檔-傾情為你奉上 專題 函數的周期性一 知識點精講1周期函數的定義：對于定義域內的每一個，都存在非零常數，使得恒成立，則稱函數具有周期性，叫做的一個周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數叫的最小正周期周期函數的定義域一定是無限集2性質若f(x)的周期中，存在一個最小的正數，則稱它為f(x)的最小正周期；若周期函數f(x)的周期為T，則是周期函數，且周期為。3幾種特殊的具有周期性的抽象函數： 函數滿足對定義域內任一實數（其中為常數）（1），則的周期 （2），則的周期（3），則的周期 （4），則的周期（5），則的周期（6），則的周期數（7），則的周期（8）函數滿足（），若為奇函數，

2、則其周期為，若為偶函數，則其周期為（9）函數的圖象關于直線和都對稱，則函數是以為周期的周期函數（10）函數的圖象關于兩點、都對稱，則函數是為周期的周期函數（11）函數的圖象關于和直線都對稱，則函數是以為周期的周期函數 (12)，則的周期.二 典例解析1設f(x)是(, +)上的奇函數，f(x+2)= f(x)，當0x1時，f(x)=x，則f(7.5)=( )A.0.5 B. 0.5 C.1.5 D. 1.52若y=f(2x)的圖像關于直線和對稱，則f(x)的一個周期為（ ）A B C D3已知在R上是奇函數滿足，則 4已知定義在R上的奇函數滿足，則= 例5已知函數是定義在上的周期函數，周期，函

3、數是奇函數又知在上是一次函數，在上是二次函數，且在時函數取得最小值。證明：； 求的解析式；求在上的解析式。9、函數定義域為R，且恒滿足和，當時，求解析式。10、已知偶函數定義域為R，且恒滿足，若方程在上只有三個實根，且一個根是4，求方程在區間中的根。附參考答案： ： ： ：y軸即 ：y軸： ：C ： ：方程的根為共9個根。2.是定義在R上的以3為周期的偶函數，且，則方程在區間內解的個數的最小值是 （ ） A5 B4 C3 D24.是偶函數，且為奇函數，則f(1992)= 6.數列中 7 已知是以2為周期的偶函數，且當時，.求在上的解析式。8 的定義域是R，且,若,求 的值。9已知函數

4、滿足，若，試求(2005)。（2009山東理）10. 定義在R上的函數f(x)滿足f(x)= ，則f（2009）的值為( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得,所以函數f(x)的值以6為周期重復性出現.,所以f（2009）= f（5）=1,故選C.（2009山東理）16.已知定義在R上的奇函數，滿足,且在區間0,2上是增函數,若方程f(x)=m(m>0)在區間上有四個不同的根,則 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m>0) 【解析】:因為定義在R上的奇函數，滿足,所以,所以, 由為奇函數,

5、所以函數圖象關于直線對稱且,由知,所以函數是以8為周期的周期函數,又因為在區間0,2上是增函數,所以在區間-2,0上也是增函數.如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區間上有四個不同的根,不妨設由對稱性知所以答案:-8（2009全國一）（11）函數的定義域為R，若與都是奇函數，則( D ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) 是偶函數 (B) 是奇函數 (C) (D) 是奇函數解: 與都是奇函數，函數關于點，及點對稱，函數是周期的周期函數.，即是奇函數。故選D專題 函數對稱性一 知識點精講：I 函數圖象本身的對稱性（自身對稱）若，則具有周期性；若，則具有對稱性：“內同表示

6、周期性，內反表示對稱性”。1、 圖象關于直線對稱推論1： 的圖象關于直線對稱推論2、 的圖象關于直線對稱推論3、 的圖象關于直線對稱2、 的圖象關于點對稱推論1、 的圖象關于點對稱推論2、 的圖象關于點對稱推論3、 的圖象關于點對稱II 兩個函數的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）1、與圖象關于Y軸對稱2、與圖象關于原點對稱函數3、函數與圖象關于X軸對稱4、函數與其反函數圖象關于直線對稱5.函數與圖象關于直線對稱 推論1:函數與圖象關于直線對稱推論2:函數與 圖象關于直線對稱推論3:函數與圖象關于直線對稱二 典例解析：1、定義在實數集上的奇函數恒滿足，且時, ,則_

7、。解析：關于直線對稱，又是奇函數，故有，,2、已知函數滿足，則圖象關于_對稱。解析：這是一個函數的對稱性，由上述結論知圖象關于對稱3、函數與函數的圖象關于關于_對稱。解析：這是兩個函數的對稱性，兩函數的圖象關于對稱4、設函數的定義域為R，且滿足，則的圖象關于_對稱。解析：這是一個函數的對稱性，的圖象關于y軸即對稱5、設函數的定義域為R，且滿足，則的圖象關于_對稱。解析：關于直線對稱，是由向左平移一個單位得到的， 故的圖象關y軸對稱6、設的定義域為R，且對任意，有，則關于_對稱，圖象關于_對稱，。解析：令， 則有 關于直線 即關于對稱，是由縱坐標不變，橫坐標變為原來的，關于 對稱。7、已知函數對

8、一切實數x滿足，且方程有5個實根，則這5個實根之和為（ ）A、5 B、10 C、15 D、18解析：的圖象關于直線對稱，故五個實根，有兩對關于直線對稱，它們的和為，還有一個根就是。故這5個實根之和為15，正確答案為8、設函數的定義域為R，則下列命題中，若是偶函數，則圖象關于y軸對稱；若是偶函數，則圖象關于直線對稱；若，則函數圖象關于直線對稱；與圖象關于直線對稱，其中正確命題序號為_。解析： 錯 關于直線對稱， 對 錯 若，則函數圖象關于直線對稱； 對第十五講 抽象函數問題一 知識點精講： 1 所謂抽象函數，是指沒有明確給出函數表達式，只給出它具有的某些特征或性質，并用一種符號表示的函數。由抽象

9、函數構成的數學問題叫抽象函數問題，這類問題是學生學習中的一個難點，也是各種考試測評的熱點問題之一。研究發現，由抽象函數結構、性質，聯想已學過的基本函數，再由基本函數的相關結論，預測、猜想抽象函數可能有的相關結論，是使抽象函數問題獲解的一種有效方法。2中學階段常用抽象函數的“原型”（函數）1(為常數）2=（且）3（且）4(為常數）5或=(常數）6= 方法：想具體函數的運算法則，代特殊值。二典例解析例1設函數滿足，且()=0，、R；求證：為周期函數，并指出它的一個周期例2已知函數對于任意實數、都有，且當0時，0，(-1)=-2，（1）求證在上的奇函數。 (2) 求證在上的增函數（3）求函數在區間-

10、2，1上的值域。例3已知函數對于一切實數、滿足(0)0，且當<0時，1 （1）當0時，求的取值范圍（2）判斷在R上的單調性例4已知函數定義域為(0,+)且單調遞增，滿足(4)=1，（1）證明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+ (-3)1，求的范圍；（4）試證()=（nN）例5已知函數對于一切正實數、都有且1時，1，(2)=(1) 求證：0；（2）求證：（3）求證：在（0，+）上為單調減函數（4）若=9，試求的值。三 課堂檢測例2（2006安徽）函數對于任意實數滿足條件，若則_ ；1.(2006山東)定義在R上的奇函數滿足，則= ( ) A）-1 B 0 C 1 D 22.(200

11、7啟東質檢)已知函數y=f(x)是定義在R上的奇函數，且f(2)=0，對任意xR，都有f(x+4)=f(x)+f(4) 成立，則f(2006)= ( )A4012 B2006 C2008 D03.已知y=f(2x+1)是偶函數，則函數y=f(2x)的圖象的對稱軸是（ ）A.x=1 B.x=2 C.x= D.x=4.已知是偶函數，當時，為增函數，若，且，則 5.(2006安徽)函數對于任意實數滿足條件,若f(1)=5,則f(f(5)=_6已知函數滿足：，則 。7已知函數對一切，都有，求證:（1）是奇函數；（2）若f(x)的圖象關于直線x=1對稱,則f(x)恒等于0.8已知函數f(x)的定義域是x

12、0的一切實數，對定義域內的任意x1,x2都有，且當時，（1）求證：f(x)是偶函數；（2）f(x)在(0,+)上是增函數；（3）解不等式4 (2010重慶)（15）已知函數滿足：，則_.（2009福建理）5.下列函數中，滿足“對任意，（0，），當<時，都有>的是A= B. = C .= D 5【答案】：A解析依題意可得函數應在上單調遞減，故由選項可得A正確。（2009陜西理）12定義在R上的偶函數滿足：對任意的，有.則當時,有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) (B) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (C) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

13、 答案：C (2009四川理) 12.已知函數是定義在實數集上的不恒為零的偶函數，且對任意實數都有，則的值是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.0 B. C.1 D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考點定位】本小題考查求抽象函數的函數值之賦值法，綜合題。（同文12）解析：令，則；令，則由得，所以，故選擇A。（2008陜西理）定義在上的函數滿足（），則等于（ ） A2 B3 C6 D9解：令，令；令，再令得（2007山東理）6 給出下列三個等式：，。下列函數中不滿足其中任何一個等式的是A B C D 【答案】:B【分析】：依據指、對數函數的性質可以發現A，C滿足其中的一個等式

14、，而D滿足，B不滿足其中任何一個等式.（2001廣東理）22(本小題滿分14分)設是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線對稱對任意，都有且()求；()證明是周期函數；22.()解：因為對，都有（）（）·（x）,所以（）0， 3 分（2008重慶理）（(6)若定義在R上的函數滿足：對任意，有,則下列說法一定正確的是A 為奇函數 B為偶函數C 為奇函數 D為偶函數解：令，得，所以,即，所以 為奇函數,選C(2007安徽理)（11）定義在R上的函數既是奇函數，又是周期函數，是它的一個正周期.若將方程在閉區間上的根的個數記為，則可能為D （A）0（B）1（C）3（D）5定義在R上的函數是奇函數

15、，又是周期函數，是它的一個正周期，則可能為5，選D。抽象函數問題的“原型”解法抽象函數問題是學生學習中的一個難點，也是各種考試測評的熱點問題之一。研究發現，由抽象函數結構、性質，聯想已學過的基本函數，再由基本函數的相關結論，預測、猜想抽象函數可能有的相關結論，是使抽象函數問題獲解的一種有效方法。所謂抽象函數，是指沒有明確給出函數表達式，只給出它具有的某些特征或性質，并用一種符號表示的函數。由抽象函數構成的數學問題叫抽象函數問題，這類問題是學生學習中的一個難點，也是各種考試測評的熱點問題之一。研究抽象函數問題的解法，對教師的教學，學生深刻理解并牢固掌握函數的相關內容，學好大綱規定的基本函數知識顯

16、得尤為重要。抽象來源于具體。抽象函數是由特殊的、具體的函數抽象而得到的。如有可抽象為。那么=就叫做抽象函數滿足的“原型”（函數），分析抽象函數問題的解題過程及心理變化規律可知，一般均是由抽象函數的結構，聯想到已學過的具有相同或相似結構的某類（基本）“原型”函數，并由“原型”函數的相關結論，預測、猜想抽象函數可能具有的某種性質使問題獲解的，稱這種解抽象函數問題的方法為“原型”解法。下面給出中學階段常用的“原型”（函數）并舉例說明“原型”解法。一、中學階段常用抽象函數的“原型”（函數）1、(為常數）2、=（0且1）3、 (0且1)4、(為常數）5、或=(為常數） 6、=二、“原型”解法例析【例1】

17、 設函數滿足，且()=0，、R；求證：為周期函數，并指出它的一個周期。分析與簡證：由想：=2coscos原型：=，為周期函數且2為它的一個周期。猜測：為周期函數，2為它的一個周期令=+，= 則=0為周期函數且2是它的一個周期。【例2】 已知函數滿足，若，試求(2005)。分析與略解：由想：(+)=原型：=為周期函數且周期為4×=。猜測：為周期函數且周期為4×1=4=-(+4)=是以4為周期的周期函數又f(2)=2004=-f(2005)=- 【例3】 已知函數對于任意實數、都有，且當0時，0，(-1)=-2，求函數在區間-2，1上的值域。分析與略解：由：想：(+)

18、=+原型：（為常數）為奇函數。0時為減函數，0時為增函數。猜測：為奇函數且為R上的單調增函數，且在2,1上有4,2設<且，R 則>0 ()>0=0,為R上的單調增函數。令=0,則(0)=0,令=，則()=為R上的奇函數。(-1)=- (1)=-2 (1)=2，(-2)=2(-1)=-4-42(x-2,1)故在-2,1上的值域為-4，2【例4】 已知函數對于一切實數、滿足(0)0，且當<0時，1（1）當0時，求的取值范圍（2）判斷在R上的單調性分析與略解：由：想：原型：=（0, 1），=10。當1時為單調增函數，且0時，1，0時，01；01時為單調減函數，且0時，1，0時，01。猜測： 為減函數，且當0時，01。（1）對于一切、R，且(0)0令=0，則(0)=1，現設0，則-0，f(-) 1又(0)=(-)= =1 = 101（2）設<，、R，則<0，()1且1， f(x)在R上為單調減函數【例5】 已知函數定義域為(0,+)且單調遞增，滿足(