1、 復、實變函數的比較與應用作 者：阮玲花 學 號：201310401205專 業：數學與應用數學 復、實變函數的比較與應用 姓名：阮玲花 班級：數學132 學號：201310401205 數域從實數域擴大到復數域后，便產生了復變函數論，并且深入到了微分方程、拓撲學等數學分支。復變函數論著重討論解析函數，而解析函數的實部與虛部是相互聯系的,這與實函數有根本的區別。有關實函數的一些概念，很多都是可以推廣到復變函數上。例如：函數的連續性、函數的導數、有（無）界函數、中值定理、泰勒展式、基本初等函數等等。 在中學我們主要了解學習了實變函數，與大學期間我們又更加深入的學習研究了實變函數，與此同時，也開始

2、復變函數的學習。由此我們看到了：“數的擴展：正數負數實數”,在實數范圍內：當方程判別式小于0時，沒有實根。擴大數域，引進復數，這樣容易給人一種由淺入深、由簡入繁、由特殊到一般的感覺，它們有很深的聯系，然而事實上，他們有很大的不同，有很大的區別。下面我們從幾個方面來說明實變函數與復變函數的聯系與區別。（一）實變函數實變函數論即討論以實數為變量的函數,然而實變與常微分方程等不同,簡單地說就是恰當的改造積分定義使得更多的函數可積。由于諸如狄利克雷這樣的簡單函數都不可積，所以原有的積分范圍太窄了，進而便產生了Lebesgue創立新積分的原始思路。Lebesgue積分：（二）復變函數 復變函數是數學分析

3、的繼續，復變函數的定義：若在復數平面上存在一個點集，對于的每一點z，按照一定規律，有一個或多個復數值與之相對應，則稱為z的函數，記作，z 鄰域：以復數為圓心，以任意小正實數為半徑做一個圓，則圓內所有點的集合稱為的鄰域。把復變函數的的實部和虛部分別記作u(x,y)和v(x,y)，=u(x,y)+iv(x,y)，所以，復變函數可以歸結為一對二元實變函數。（三） 實變函數及與復變函數比較1自變量的不同 以實數作為自變量的函數就做實變函數；即實數實變量實變函數。以復數作為自變量的函數就叫做復變函數；即復數復變量復變函數。2.實變函數與復變函數的聯系區別 因為z=x+yi,所以復變函數y=的實部與虛部都

4、是x,y的函數，即=u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一個復變函數是兩個實變函數的有序組合。這樣，實變函數的許多定義、公式，定理可直接移植到復變函數中。然而同時，由于復變函數的虛部，實變函數的許多定義、公式，定理也不再是用于復變函數。對于復變函數與實變函數，我們分別學習了兩者的點集、序列、極限、連續性、可微性、積分等性質與應用。然而同時，由于復變函數的虛部，所要求的點集、序列、極限、連續性、可微性、積分等性質與應用的定義也不盡相同。3復變函數與實變函數關于導數概念的敘述是相似的，即都是由函數值的差與自變量的差之商的極限來定義導數，它們的聯系也是密切的，區別則是整個取值的差異。復變函數

5、在復數域中取值，實變函數在實數域內取值，但兩種微分的幾何意義是相同的。對于微分的性質，實變函數與復變函數有以下三大點的不同。（1）微分中值定理微分中值定理是微分學的重要內容，表現形式一般為柯西中值定理，羅爾中值定理及拉格朗日中值定理，微分中值定理在復數域中是不成立的。我們以羅爾定理來舉例證明。羅爾定理：若函數滿足：在閉區間上連續；在開區間內可導，且；則必存在，使得。證明：取，在整個復平面上解析，且，但，無論取什么值都不會為零，也就是說羅爾定理的結論對函數不成立。 故微分中值定理不能直接推廣到復變函數中來。（2）解析函數零點的孤立性 在復變函數論中，區域D內點可微的復變解析函數的零點總是孤立的。

6、而實變函數體現出的性質則截然相反。例1：如在|<R內的解析函數不恒為零，a為其零點，則必有a的一個鄰域，使得在其中無異于a的零點（不恒為零的解析函數零點必孤立）。 證明：設a為的m級零點，則=()(z) . 其中(z)在|<R內解析，且（a）0. 從而(z)在點a連續 . 于是存在鄰域|<r<R使得(z)在其中恒不為零. 故在其中無異于a的零點. 例2：一個實函數的零點不一定是孤立的。 如函數，當x0時=xsin，當x=0時=0. 證明：由題意得，函數在x=0處可微，且以x=0為零點，此外x=也是它的零點，并以0為聚點。（3） 解析函數的無窮可微性在復變函數中，若在區域

7、D內解析，則在區域D內具有各階導數，并且它們也在區域D內解析。復變函數的這一性質稱為解析函數的無窮可微性。但在實變函數中，區間上的可微函數，是不一定具有二階導數的，更談不上具有高階導數，這樣的例子是很多的。例：由高階導數的柯西積分公式可得設函數在閉區域D上解析（D為單連通區域或多連通區域），則在D內的任意階導數存在，且 ()= (n=1,2,.). 其中C為D的邊界，取正向：. 但實變函數中，任意=不具有二階導數。4.復變函數積分性質與實變函數積分性質的區別復變函數積分的定義類似數學分析里積分的方法，采取的是分割、近似替代、求和、取極限等步驟來建立的，但形式像一元積分，而實質像曲線積分，也就是

8、復變函數的積分在本質上與實變函數中第一類曲線積分相似。復變函數積分的牛頓萊布尼茲公式與實一元函數的牛頓萊布尼茲公式在形式和結果上幾乎是完全一致，但實變函數積分對函數的要求比復變函數積分對函數的要求要低得多。用牛頓萊布尼茲公式計算復變函數積分，首先要解決的是，積分上下限的兩點是否可以包含在一個單連通域內，且被積函數是否在該單連通域內解析。復變函數與實變函數積分最大的不同之處是復變函數積分主要研究簡單閉曲線上的積分dz，方法不同于高等數學中的方法，但思想有相同之處。復合閉路定理或留數定理，表達了邊界與內部的聯系，在高等數學中的牛頓萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式同樣表達了邊界與內部的聯系。（四）復變函數微積分理論在實際中的應用復變函數論的方法在力學、物理學、以及工程技術中都有應用，就是把流體力學、彈性力學、電磁學、熱學、電工以及通訊中的一些問題轉化為復變函數中的一些問題，用解析函數來解決。而計算一些實積分可以采用留數定理。 利用復變函數的微分性質研究平面向量場的相關問題 可以統一研究靜電場的里函數和勢函數，討論電力線和等勢線的分布，描繪出靜電場的圖像。 復變函數積分的相關理論在流體力學中的應用留數的相關理論在積分計算中應