1、江蘇省2012年普通高校“專轉本”統一考試模擬試卷（四）解析高等數學注意事項：1.考生務必將密封線內的各項填寫清楚。2.考生必須要鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上，寫在草稿紙上無效。3.本試卷五大題24小題，滿分150分，考試時間120分鐘。一、 選擇題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的，請把所選項前的字母填在題后的括號內）。1、下列極限存在的是（ ）A 、 B 、 C 、 D 、2、函數在則處（ ）A 、連續 B 、不連續 C 、可導 D 、可微3、函數 在閉區間上的最大值為（ ）A、 B、 C、 D、4、不定積分（ ）A、 B、 C、 D

2、、5、方程的特解形式為（ ）A、 B、 C、 D、6、直線與平面的的位置關系是（ ）A、垂直 B、平行 C、夾角為 D、夾角為二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共24分，請把正確答案的結果添在劃線上）。7、已知為常數，則。8、。9、的拐點是 。10、定積分。11、冪級數的收斂域是_。12、設，則_。三、計算題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）。13、求極限。14、已知擺線的參數方程，求。15、求不定積分。16、計算定積分。17、計算，其中由在第一象限所圍的區域。18、已知函數，其中有二階連續偏導數，求。19、求一曲線方程，使得此曲線在任一點處的切線斜率等于，并且曲線通過原點。20、

3、求過點，平行于直線且垂直于平面的平面方程。四、證明題（每小題9分，共18分）21、證明：當時，。 22、設在上有連續導數，且，證明：五、綜合題（每小題10分，共20分）23、 計算與直線之間位于第一象限內的平面圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體體積。24、在半徑為的半圓內作內接梯形，何時面積最大？江蘇省2012年普通高校“專轉本”統一考試模擬試卷解析（四）高等數學一、 選擇題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的，請把所選項前的字母填在題后的括號內）。1、下列極限存在的是（ ）A 、 B 、 C 、 D 、解析：求極限時，先判斷極限類型，若是或型可以直

4、接使用羅比達法則，其余類型可以轉化為或型。不過，在求極限時應靈活使用多種方法，特別是無窮小量或是無窮大量階的比較，無窮小量與有界變量的乘積還是無窮小量等性質。極限存在是指它的極限為一個有限的數值，無窮或振蕩均屬極限不存在情況。（最高次系數比值）,故本題答案選B2、函數在則處（ ）A 、連續 B 、不連續 C 、可導 D 、可微解析：本題考查可導與連續之間的關系。也可從幾何直觀上加以解釋。連續是指曲線在該點沒有斷開，可導是在連續的基礎上考查曲線在該點的光滑性（“尖”點處沒有導數）。連續是可導的必要而非充分條件。故本題答案選A3、函數 在閉區間上的最大值為（ ）A、 B、 C、 D、解析：本題考查

5、閉區間上連續函數最值求法。先求區間內部的可能極值點（駐點、不可導點），再將它們所對應的函數值與區間端點的函數值進行比較即可。又， 在閉區間上單調遞增，故在處取得最大值，最大值，故本題答案選C4、不定積分（ ）A、 B、 C、 D、解析：該題考察不定積分的基本概念以及湊微分法。求的不定積分就是找那些導數為的所有函數全體，不定積分求解正確與否，只要反過來求導是否為被積函數即可。,故本題答案選B5、方程的特解形式為（ ）A、 B、 C、 D、解析：解微分方程首先要判別類型，該方程是二階常系數線性非齊次方程。（1）齊次方程，其中為常數。求解步驟：1）特征方程 ，求根。 2） 互異實根， ，； ，。（2

6、）非齊次方程，通解為其所對應的齊次方程通解加上本身特解。第一種：，其中表示次多項式。解結構：齊次方程通解特解。特解形式設定如下： （1）識別；（2）考查作為特征根的重數個數；（3）特解可設為，其中表示次多項式。第二種：，其中，表示次多項式。解結構：齊次方程通解特解。特解形式設定如下： （1）識別；（2）計算，和特征根相等個數，。（3）特解可設為，其中為次多項式。其中 故本題答案為C:，其中待定系數。6、直線與平面的的位置關系是（ ）A、垂直 B、平行 C、夾角為 D、夾角為解析：考查直線與平面之間的位置關系，主要是平面的法向量與直線的方向向量之間的關系。直線的方向向量為，平面的法向量為；顯然，

7、即，故直線平行于平面或在平面內。又直線上點不滿足平面方程，所以，該直線平行于已知平面。故本題答案選B二、填空題（本大題共6小題，每小題6分，共24分，請把正確答案的結果添在劃線上）。7、已知為常數，則。解析：該題為極限反問題，考查有理分式極限，只需比較分子與分母的次數即可，先判斷極限類型，若是或型可以直接使用羅比達法則，其余類型可以轉化為或型。；故,故本題答案選B8、。解析：該題考查微分的形式不變性，常規湊微分方法。9、的拐點是 。解析： 曲線上凹凸性發生改變的界點稱為拐點。它可能出現在的點或不存在的點。由于多項式函數處處二階可導，故拐點處的二階導數一定為零。然后再看該點左右二階導數是否變號求

8、出拐點。令，得，此時。又時，；時，。故拐點為。10、定積分。解析：該題考察奇偶函數的定積分在對稱區間上的積分性質以及定積分的幾何意義。；這里因為函數是奇函數，故積分為零，積分表示半徑為的上半圓的面積。11、冪級數的收斂域是_。解析：對于冪級數，如果，則收斂半徑，收斂區間為。再將代入級數具體考查。若冪級數缺少的奇次項（偶次項）或上述極限不存在（不是無窮），則此時將當作常量轉化為常數項級數處理。本題，所以，時，級數收斂，時，級數發散，故收斂域為。對于冪級數只需作變量代換即可。12、設，則_。解析：由方程決定隱函數。求偏導公式為：，（也可方程或等式兩邊直接對某個變量求偏導，將看作該變量的一元函數，另

9、外一個變量當作常量），。三、計算題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）。13、求極限。解析：（當時，與為等價無窮小量，與為等價無窮小量）14、已知擺線的參數方程，求。解析：由參數方程所確定函數的導數是常考的一個內容，首先需要熟記求導公式 15、求不定積分。解析：該題使用湊微分法，是經常遇見的固定類型=16、計算定積分。解析：該題使用第二類換元法，作三角代換令，且時，；時，；所以17、計算，其中由在第一象限所圍的區域。解析：二重積分問題是很多“專轉本”同學的難點。首先要理解二重積分的幾何意義，特別是對稱型簡化積分計算。首先要畫出積分區域（如圖），然后根據被積函數的特點與區域的形狀選擇適當的坐

10、標以及適當的積分順序。一般當被積函數形如，區域形狀為圓形、圓環、扇形（環）等，往往使用極坐標計算；否則，往往用直角坐標計算。 17題1 。17、解析：積分限為無窮的廣義積分，當收斂時其收斂值的計算和正常的定積分一樣，也有類似的牛頓-萊布尼茲公式：，所以18、已知函數，其中有二階連續偏導數，求。解析：該題型是幾乎每年必考，需要認真掌握。第一步：變量的關系網絡圖其中1，2分別表示第二步：尋找與對應的路徑，計算的過程可以總結為“路中用乘，路間用加” 19、求一曲線方程，使得此曲線在任一點處的切線斜率等于，并且曲線通過原點。解析：導數的幾何意義表示曲線在該點切線的斜率，由此先建立微分方程。一階線性非齊

11、次方程 的通解為 本題且，即， 通解 由于 得 所以，曲線方程為 20、求過點，平行于直線且垂直于平面的平面方程。解析：求平面方程，基本方法是使用點法式。求出平面上的一個定點和法向量。平面上的定點已知，直線的方向向量，平面的法向量；由條件容易得到，故可取平面點法式方程為： ，即。四、證明題（每小題9分，共18分）21、證明：當時，。 解析：函數不等式的證明方法很多，其中利用單調性證明不等式是經常使用的一種方法。可使用單調性證明的問題通常形式為或時，證明；通常設輔助函數，證明是單調的。設，當時，是嚴格單調遞減的，即。22、設在上有連續導數，且，證明：。解析：定積分是一個值，計算的基本方法是牛頓-萊布尼茲公式。本題被積函數為抽象函數，一般使用定積分的分部積分法。五、綜合題（每小題10分，共20分）23、 計算與直線之間位于第一象限內的平面圖形繞軸旋轉一周所得的旋轉體體積。解析：該類題型是定積分應用中常考的題型，但是近兩年在該知識點常出綜合題。結合微分方程，極限等知識點出題。首先畫出圖形，根據圖形，寫處體積微元則由題意，可得24、在半徑為的半圓內作內接梯形，何時面積最大？解析：將導數應用到實際問題的最大、最小或更廣泛的最優化問題的求解中