1、1要極限兩個重極限存在準則第六節(jié)一、極限存在準則二、兩個重要極限三、小結及作業(yè)2一、極限存在準則1.夾逼準則夾逼準則準準則則 如如果果數(shù)數(shù)列列nnyx ,及及nz滿滿足足下下列列條條件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn lim. .證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 3,1 ayNnn時時恒恒有有當當,max21NNN 取取恒恒有有時時當當,Nn , ayan即即,2 azNnn時時恒恒有有當當, azan上兩式同時成立上兩式同時成立, azxyannn,成立

2、成立即即 axn.limaxnn 上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限4準準則則 如如果果當當),(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那那末末)(lim)(0 xfxxx 存存在在, , 且且等等于于A. . 注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構造出鍵是構造出利用夾逼準則求極限關利用夾逼準則求極限關nnnnzyzy準則準則1 和和準則準則 2稱為稱為夾逼準則夾逼準則.5例例1 1).12111(

3、lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn6記住結果：記住結果：11nnnlim)()(lim)(012aannnnnnn43212lim例例解：解：nnnnn4443214444nnlim而而44321nnnnnlim7x1x2x3x1 nxnx2.單調有界準則單調有界準則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121nnxxxx單調增加單調增加,121 nnxxxx單調減少單調減少單調數(shù)列單調數(shù)列準準則則 單單

4、調調有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.幾何解釋幾何解釋:AM8例例3 3.)(333的極限存在的極限存在式式重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn證證,1nnxx 顯然顯然 ;是單調遞增的是單調遞增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是是有有界界的的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx94例例),()(321211nxaxxnnn設設.lim,nnxax求求001解：解：)(nnnxaxx211nnxax annxx1)(

5、2121nxa)1 (21aa1nnxx1即即,limAxnn設設存在，存在，nnxlim),(AaAA21由由,aA.limaxnn10AC二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設設單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 AOB 的面積圓扇形AOB的面積 AOC的面積,tan2121sin21xxx即即11,tansinxxx, 1sincos xxx即即,coslim10 xx. 1sinlim0 xxx

6、xxxcossin1112例例4 4.cos1lim20 xxx 求求解解22022xxxsinlim原式原式220)2(2sinlim21xxx 說明：說明：）更一般形式：）更一般形式：（1,)()(sinlim)(10 xfxfxf1330 xxxsinlim如如）不要混淆：）不要混淆：（2sinlim0.xxx例例3 3xxxtanlim0 xxxxcossinlim101111320)22sin(lim21xxx 2121 .21 5例例.arcsinlimxxx0解解:,arcsin xt 令令,sintx 則則原式tttsinlim0tttsinlim10114(2)exxx )1

7、1(lim存在：存在：先證先證nnn)(lim11nnnx)(11設設2121111nnnnn!)(!).()(!)(!nnnnnn1121111112111nnnnnnn1!)1()1( 15).11 ()221)(111 ()!1(1)111 ()221)(111 (!1)111 (! 21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調調遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,16.)11 (limexxx可證：可證

8、：注：注：exxx1011)(lim）等價形式：）等價形式：（exfxfxf)()()(lim1012）一一般般形形式式：（例例6 6xxx231)(lim6331xxx)(lim6331)(limxxx6e17例例7 7.)(limxxx521求求解解10221)(limxxx原式原式10 e例例8 8xxxxcot)(lim110 xxxxxxxxxsincos)(lim12210121xxxxxxxxxsincos)(lim122101212e189例例.)cos(sinlimxxxx112211xxxx)cos(sinlim221xxx)sin(limxxxxx222121sinsin

9、)sin(lime1910例例 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e20三、小結1.兩個準則兩個準則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準則夾逼準則; 單調有界準則單調有界準則 .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某某過過程程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設設 21作業(yè)作業(yè)561 6P習題)5 , 3 , 2(4),4 , 2 , 1 (2),6 , 5 , 4 , 3( 122思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 23思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xx

10、xxx 313311lim9990 e24._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習習 題題._cotlim30 xxx、arc25xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各極限二、求下列各極限:nnnn)11(lim42 、26 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用極限存在準則證明數(shù)列利用極限存在準則證明數(shù)列,.222,22, 2 的極限存在，并求的極限存