1、1996年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、填空題(此題共5小題,每題3分,總分值15分.把答案填在題中橫線上.)(1)設(shè)方程xyy確定y是x的函數(shù)，那么dy設(shè) xf (x)dx arcsinxC ,那么1 dxf(x)設(shè) xD,y°是拋物線y2ax bx c上的一點的關(guān)系是設(shè),假設(shè)在該點的切線過原點，那么系數(shù)應(yīng)滿足111L1X11a1a2a3LanX212a12a22a3L2an,XX3，B1MMMMMMn1n 1n1 1n 11a1a2a3Lanxj1,2,L,n).那么線性方程組ATXB的解是其中 aiaj (i j; i, 設(shè)由來自正態(tài)總體 XN( ,0.92)容量為9的

2、簡單隨機樣本,得樣本均值 X 5,那么未知參數(shù) 的置信度為0.95的置信區(qū)間為二、選擇題(此題共5小題，每題3分,總分值15分.每題給出的四個選項中，只有一項符 合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)COS(1)累次積分。厲0 f(rcos ,rsin )rdr可以寫成1 Jy y2(A)0dy 0 f(x,y)dx1 1(C)0dx 0 f(x,y)dy(2)下述各選項正確的選項是(B)(D)0dy1 y201x x2dx0 0f (x, y)dx(A)假設(shè)2Un和v：都收斂，那么(Un Vn)2 收斂r1n 1n 1(B)UnVn收斂，那么U；與v；都收斂n 1n 1n1(C)假

3、設(shè)正項級數(shù)un發(fā)散,那么un1n 1n(D)假設(shè)級數(shù) Un收斂,且比 Vn (n 1,2丄)，那么級數(shù) Vn也收斂n 1n 1(3)設(shè)n階矩陣A非奇異(n2), A是矩陣A的伴隨矩陣,那么n 1(A) (A) A A(B)n 1(A)|A A(C) (A)|An2 A(D)(A) An2A 設(shè)有任意兩個 n維向量組 1,Lm和1,L , m，假設(shè)存在兩組不全為零的數(shù)和 K丄,km，使(1 kJ 1 L ( m km) m ( 1 kJ 1 L ( m KJ m 0,那么()(A) 1,L , m和1丄，m都線性相關(guān)(B) 1,L , m和1丄，m都線性無關(guān)(C) 11,L ,mm,11,L,m

4、m 線性無關(guān)(D) 11, L ,mm,11,L,mm 線性相關(guān) 0 P(B) 1且P A AB P(A|B) P(A2 B),那么以下選項成立的是()(A) p A a2 |b p(a|b) p(a2|b)(B) P A1B A2BP(AB) P(A2B)(C) p a AP(A B) P(4|B)(D) P B PA P(BA) P(A)P(BA2)設(shè) f (x)g(x) ex0,(此題總分值6分)x 0,其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(0)1,g (0)x 0,(1)求 f (x)；討論f (x)在(，)上的連續(xù)性四、(此題總分值6分)設(shè)函數(shù)z f (u),方程ux(u) p(t)dt

5、確定u是x,y的函數(shù),其中f(u),(u)可y微；p(t),(u)連續(xù)，且(u)1.求 p(y)Z p(x)Z x y五、(此題總分值6分)六、(此題總分值5分)1設(shè)f (x)在區(qū)間0,1上可微，且滿足條件f(1) 2jxf(x)dx.試證：存在 (0,1)使f( ) f ( ) 0.七、(此題總分值6分)設(shè)某種商品的單價為p時，售出的商品數(shù)量 Q可以表示成Q c,其中a b、p bc均為正數(shù)，且a bc.(1) 求p在何范圍變化時，使相應(yīng)銷售額增加或減少.(2) 要使銷售額最大，商品單價p應(yīng)取何值？最大銷售額是多少？ 八、(此題總分值6分)求微分方程31的通解.dxx九、(此題總分值8分)0

6、100設(shè)矩陣A100000y10012(1)A的一個特征值為3,試求y ； 求矩陣P,使(ap)t(ap)為對角矩陣 十、(此題總分值8分)設(shè)向量1, 2 L , t是齊次線性方程組 AX 0的一個根底解系，向量 不是方程組AX 0的解，即A0.試證明：向量組t線性無關(guān).十一、此題總分值7分假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機器發(fā)生故障時全天停止工作，假設(shè)一周5個工作日里無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障仍可獲得利潤5萬元；發(fā)生兩次故障所獲利潤0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元.求一周內(nèi)期望利潤是多少 ？十二、此題總分值6分考慮一元二次方程 x2 Bx C 0,其中B、C

7、分別是將一枚色子骰子接連擲兩次 先后出現(xiàn)的點數(shù)求該方程有實根的概率 p和有重根的概率 q.十三、此題總分值6分假設(shè)Xi,X2丄,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本； EXk akk 1,2,3, 4.1 n 2證明：當(dāng)n充分大時，隨機變量Zn丄X：近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù).n i 11996年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析、填空題(此題共5小題,每題3分,總分值15分,把答案填在題中橫線上.)(1)【答案】dxx 1 In y【解析】方法1:方程yy兩邊取對數(shù)得In x In yy In y ,再兩邊求微分,dx Inxx In y 10 .11 dy dydxx In y 1

8、方法2：把yy變形得xeyln y ,然后兩邊求微分得由此可得dx eylnydyin yyy 1 In y dy x 1 In y dy,dydx.x 1 In y【答案】1x23C【解析】xf(x)dx arcsinxC,兩邊求導(dǎo)數(shù)有于是有【答案】【解析】對所以過x°,y°xf(x)arcs in x0(或 axoy ax2 bx的切線方程為1廠x2x 1 x2dxx23c), b任意c兩邊求導(dǎo)得y ax2 bx°2dx2C.y 2axb,y x02axQ b,y y。 2ax) b xx° ,即c2ax3 b x x0 .又題設(shè)知切線過原點0,0,

9、把x y 0代入上式，得axo bx0 c2 22ax0 bx0,即卩 ax0 c.C2由于系數(shù)a 0,所以,系數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系為0(或ax0c), b任意.a(4)【答案】1,0,0,L 0 T【解析】因為A是范德蒙行列式,由ai aj知Aai aj 0.根據(jù)解與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系,所以方程組 AtXB有唯一解.根據(jù)克萊姆法那么，對于1a12a1Ln 1aX111a22a2Ln 1a2x211a32a3Ln 1a3X31MMMMMM1an2anLn 1anXn1易見D,A ,D2 D3 LDn 0.所以AX B的解為x,1,x2x3LXn0,即1,0,0,L,0T【相關(guān)知識點】克萊姆法那么：假設(shè)

10、線性非齊次方程組a11xa12X2L6 nXnb,a?1 x322X2La2n Xnb2,L LL L LL LL L Lan1 Xan2X2LKnibn.naj xjbi)或簡記為其系數(shù)行列式那么方程組有唯一解j 1a11a12LDa21a22LMMan1an2Lai na2nMannXjDji 1,2,L ,n0,1,2丄，n.其中Dj是用常數(shù)項b1,b2,L ,bn替換D中第j列所成的行列式，即a11La1,j 1a1,j 1La1na21La2,j 1b2a2,j 1La2nMMMMMan1Lan, j 1bnan,j 1LannDj(5)【答案】(4.412,5.588)【解析】可以

11、用兩種方法求解:(1)方差 20.92,對正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行估計，可根據(jù)因X : N( ,0.92),設(shè)有n個樣本,樣本均值X1nXi，n i i2 有X: N(，嗎，將其標(biāo)準(zhǔn)化，由公式X E(X)n N(0,1)得: D(X)n由正態(tài)分布分為點的定義進(jìn)而確定相應(yīng)的置信區(qū)間Xnu2可確定臨界值u2(x u 2.n，x(2)此題是在單個正態(tài)總體方差條件下,求期望值的置信區(qū)間問題由教材上已經(jīng)求出的置信區(qū)間其中P U u_1 ,U : N(0,1),可以直接得出答案2方法1:由題設(shè),10.95,可見0.05.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知分位點u 1.96.本29, X5,因此,根據(jù)PXV.n1.960.9

12、5,有1.96 0.95,即 P4.4125.5880.95,故的置信度為0.95的置信區(qū)間是(4.412,5.588)方法2:由題設(shè)，10.95,PU| u P u U2 2查得u 1.96.2u 2 (u ) 10.95, (u )0.9752"2"20.92, n9, X 5代入(x2 . n,x得置信區(qū)間(4.412,5.588)二、選擇題(此題共5小題，每題3分,總分值15分.每題給出的四個選項中，只有一項符 合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)【答案】(D)【解析】方法1：由題設(shè)知，積分區(qū)域在極坐標(biāo)系 x r cos , y r sin中是D

13、r, 10,0 r cos221 21即是由 X 1 y2丄與x軸在第一象限所圍成的2 4平面圖形，如右圖由于D的最左邊點的橫坐標(biāo)是0,最右點的橫坐標(biāo)是1,下邊界方程是y 0,上邊界的方程是 y , x x2 ,從而D 的直角坐標(biāo)表示是D x,y 10 x 1,0 y x x2故(D)正確.方法2:采取逐步淘汰法.由于(A)中二重積分的積分區(qū)域的極坐標(biāo)表示為D1r, 10,0 r sin2而(B)中的積分區(qū)域是單位圓在第一象限的局部，(C)中的積分區(qū)域是正方形x,y |0 x 1,0 y 1所以，他們都是不正確的故應(yīng)選(D).v2收斂.由不等式【答案】(A)【解析】由于級數(shù)u2和 v2都收斂，

14、可見級數(shù)u2n 1n 1n 1及比較判別法知級數(shù)2unvn收斂,從而2unVn收斂.n 1n 1又因為un2 2 2unvn 2unvn,即級數(shù) un vn收斂，故應(yīng)選(A).n 151設(shè)un 2，Vn 1 n 1,2,L,可知(B)不正確.nm11設(shè)un2 n 1,2,L,可知(C)不正確.n n設(shè)un,Vn1n1,2,L ,可知(D)不正確.n注：在此題中命題(D)"假設(shè)級數(shù)un收斂,且unn 1Vn(n 1,2,L ),那么級數(shù) vn也收斂.n 1不正確，這說明：比較判別法適用于正項級數(shù)收斂(或級數(shù)絕對收斂)的判別，但對任意項級數(shù)一般是不適用的.這是任意項級數(shù)與正項級數(shù)收斂性判

15、別中的一個根本區(qū)別【答案】(C)【解析】伴隨矩陣的根本關(guān)系式為 AA A A AE,現(xiàn)將A視為關(guān)系式中的矩陣 A,那么有A (A ) A E.方法一：由1及(A )AA,可得(A )A (A )An2A.故應(yīng)選(C).方法二：由A (A )A E,左乘A得(AA )(A ) An1 A,即(AE)(A)|An1 A.故應(yīng)選(C).【答案】(D).假設(shè)向量組1, 2,L , s線性【解析】此題考查對向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解無關(guān)，即假設(shè)x-i1x22 Lxss 0,必有x-i0,x20,L , x；0 .既然1,L , m與k1,L ,km不全為零，由此推不出某向量組線性無關(guān)，故應(yīng)排除(

16、B)、(C).一般情況下，對于k11 k22 L ks s l11 L ls s 0,不能保證必有k1 1k22 Lks s0,及 l1 1Lls s 0,故(A)不正確.由條件有1 111kmmm111k1mmm0,又 1，L，m 與 k1，L，km不全為零，故11丄，mm ,11 ,L , mm線性相關(guān)應(yīng)選(D).【答案】(B)【解析】依題意P A A B P A1BP AB P AB AB P A1B) P(A>BP(B)P(B) P(B) ， P(B)P(B) .因 P(B) 0,故有 P A1B A,BP AB) P(A,B .因此應(yīng)選(B).注：有些考生錯誤地選擇(D).他們

17、認(rèn)為(D)是全概率公式，對任何事件B都成立，但是忽略了全概率公式中要求作為條件的事件A, A2應(yīng)滿足P(A,) 0,卩(民)0 ,且&A是對立事件【相關(guān)知識點】條件概率公式:P(B| A)P(AB)P(A)三、(此題總分值6分)【解析】(1)由于g(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故當(dāng)x 0時，f(x)也具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，此時，f (x)可直接計算，且f (x)連續(xù)；當(dāng)x 0時，需用導(dǎo)數(shù)的定義求 f (0).0時，f (x) xg(x)八 g(x) e><xg (x) g(x) (x 1)e xx2x20時，由導(dǎo)數(shù)定義及洛必達(dá)法那么，有所以g(x) e f(0) lim'丿x

18、0xg (x)f (x) f (x)在xxxg (x) e2 洛 limx2 x 02xg(x) (x 1)ex2xg (0) 10點的連續(xù)性要用定義來判定(x) lim0xg(x) g(x) (x洛limL工x 020,0.因為在x 0處，有1)exg (0) 12x 0lim gx 02xx(x) eg (0) 12 2f (0).而f (x)在x0處是連續(xù)函數(shù),所以f (x)在(，)上為連續(xù)函數(shù)四、(此題總分值6分)【解析】由zf (u)可得二f (u),f (u)uxx yyxxg (x) xg (x) g (x) e (x 1)eX叫在方程u (u) p(t)dt兩邊分別對x, y求

19、偏導(dǎo)數(shù)，得 yxxe dx2(1 e )xd -1dxx1 exJdxeed(1 ex)所以x xe0 (1 ex)2dxlimxln(1xxexeXe )ln(1C,In 2.xlim 半；ln(1x 1 exXe )limxxxex1 eInex(1Xe )limxxxex1 exe )(u)P(x),(u)p(y).xxyy所以up(x)up(y)x1(u),y1(u).于是P(y)p(x)zp(x)p(y)P(x)p(y) f (u) 0xy1(u)1(u)五、(此題總分值6分)【分析】題的被積函數(shù)是幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)兩類不同的函數(shù)相乘，應(yīng)該用分部積分法【解析】方法1：因為故原式 In

20、2.方法2:(1xxe pdx e )六、(此題總分值5分)【分析】由結(jié)論可知，假設(shè)令lim -x 1xxecdx0 (1 ex)2(x) xf (x),那么0,1內(nèi)某一區(qū)間上滿足羅爾定理的條件【解析】令(x) xf (x),由積分中值定理可知1xf (x)dx10 (x)dx1由條件，有f(1)2 jxf(x)dx(1) f(1)(),且(X)在(，1)上可導(dǎo),故由羅爾定理可知()0,即 f()【相關(guān)知識點】1.積分中值定理：如果函數(shù)x-0 0,edxx1 e001r(1 e e(x) f(x),存在,存在xddx0 Cx)xf1(。2)ln(1 e x)In 2.(x).因此,只需證明 (

21、x)在),(,1)0.f (x)在積分區(qū)間(0,1),使得a, b上連續(xù)，那么在a, b上至少存在一個點，使下式成立:a)bf (x)dx f ( )(b a這個公式叫做積分中值公式.2.羅爾定理：如果函數(shù)f (x)滿足(1) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù);(2) 在開區(qū)間 a,b內(nèi)可導(dǎo); 在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f (a) f (b),那么在 a,b內(nèi)至少有一點(ab),使得f0.七、(此題總分值6分)【分析】禾U用函數(shù)的單調(diào)性的判定,如果在x的某個區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)x 0,那么函數(shù)f x單調(diào)遞增，反之遞減【解析】(1)設(shè)售出商品的銷售額為R,那么pQa忖 C)，R(p)2ab c p b令R 0,得

22、Poab0.be)時，R 0,所以隨單價p的增加，相應(yīng)銷售額R也將增加.當(dāng)p f abe)時，有R 0,所以隨單價p的增加，相應(yīng)銷售額R將減少.由可知，當(dāng)p' be)時，銷售額R取得最大值,最大銷售額為Rmax,rba礦cc(.,abe)2.八、(此題總分值6分)【解析】令z y,那么史 zdz x .xdxdx當(dāng)x 0時,原方程化為zdzx z1z2 ,即一蘭空,其通解為dx1 z2xln(z 1 z2)In x Ci 或 z . 1 z2C.x代回原變量，得通解yx2 y2 C(x 0).當(dāng)x 0時,原方程的解與x 0時相同，理由如下：令t x ,于是t 0,而且dy dy dxd

23、t dx dtdydx2y從而有通解 y t2 y2 C(t 0),即 y . x2 y2 C(x 0).綜合得，方程的通解為yx2 y2 C.注：由于未給定自變量 x的取值范圍，因而在此題求解過程中，引入新未知函數(shù)z上后得x, x2 y2x 1 z2 ,從而，應(yīng)當(dāng)分別對x 0和x 0求解,在類似的問題中，這一點應(yīng)當(dāng)牢記.九、(此題總分值8分)【分析】此題的(1)是考查特征值的根本概念，而(2)是把實對稱矩陣合同于對角矩陣的問題 轉(zhuǎn)化成二次型求標(biāo)準(zhǔn)形的問題，用二次型的理論與方法來處理矩陣中的問題【解析】(1)因為3是A的特征值，故3E313 y 11 31 18(2 y) 0,所以y2.(2)

24、由于atA,要(AP)T(AP)T " 2PAPA200是對稱矩陣，故可構(gòu)造二次型x，將其化為標(biāo)準(zhǔn)形2y .即有A與合同.亦即pta2p方法一：配方法.由于xTA2x2X1X25x35x4 8228X25(X3-X3X452X25(X34X4)22222X12X116 x：) 5x：259 2X4,516 25 X4那么，令xny2X2, y34X3X4, y45&，即經(jīng)坐標(biāo)變換1000Xy10100X2y24X3001y35X40001y4T 2x A X2y12y25y；9 2y45二次型xTA2x1000A 0100500540045其特征多項式1001E A20000

25、A2的特征值i1,1,230000(1)3(9)544521, 49.由(1E A )x 0,即10000100所以，取P4 ,有001一50001有方法二：正交變換法TT 2(AP) (AP) P A P22 2 2Xi X2 5x3 5x4 8X3X4對應(yīng)的矩陣為0000X.)00000x200044x300044x402和(4E a )x 0 ,即800000800x200 0 44 x300044X40分別求得對應(yīng)1,2,31的線性無關(guān)特征向量1(1,0,0,O)T,2(0,1,0,0)T,3(0,0,1,1)T,和49的特征向量4(0,0,1,1)T.對1, 2, 3用施密特正交化方

26、法得(1,0,0,0)T, 2(0,1,0,0)T, 31, 2, 3,再將4單位化為4,其中:取正交矩陣1000010011P1,2,3,400&211002211 " 2T . 2_112T 2P A P PAP1TT 21(AP) (AP) PAP19十、此題總分值8分【解析】證法1:定義法假設(shè)有一組數(shù)k,k1,k2,L ,kt,使得kK(1) k2(2) Lkt(t)0,(1)那么因1, 2 ,L , t是AX 0的解，知A i0(i1,2,L,t,用A左乘上式的兩邊，有(k k1 k2 L kt)A0.(2)由于 A0,故 k k1 k2 Lkt0.對重新分組為k

27、& k2 L ktk1 1k2 2Lkt t 0.(3)把代入得k1 1 k2 2 Lkt t0.由于1, 2丄，t是根底解系，它們線性無關(guān)，故必有k10*2 0,L ,kt0.代入式得:k 0.因此向量組，1,2丄， t線性無關(guān)證法2:用秩經(jīng)初等變換向量組的秩不變.把第一列的-1倍分別加至其余各列，有,1 ,2 ,L ,t,1 ,2,L , t 因此r ,1 ,2丄， t r , 1， 2，L ， t 由于1, 2,L , t是根底解系，它們是線性無關(guān)的，秩r 1, 2,L , t t,又 必不能 由1, 2,L , t線性表出否那么A 0,故r 1, 2,L , t, t 1.所以r ,1,2丄， t t 1.即向量組 ，1,2,L ,t線性無關(guān).卜一、此題總分值7分【解析】設(shè)一周 5個工作日內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)為X ,那么X服從二項分布即B5,0.2.由二項分布的概率計算公式,有PX00.850.32768,PX1C；0.84 0.20.4096,PX2C；0.83 0.220.2048,PX31 P X 0P X 1 P X 20.0