1、函數的奇偶性 【學習目標】1.理解函數的奇偶性定義；2.會利用圖象和定義判斷函數的奇偶性；3.掌握利用函數性質在解決有關綜合問題方面的應用.【要點梳理】要點一、函數的奇偶性概念及判斷步驟1函數奇偶性的概念偶函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數.奇函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數.要點詮釋：（1）奇偶性是整體性質；（2）x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？-具有奇偶性的函數，其定義域必定是關于原點對稱的；（3）f(-x)=f(x)的等價形式為：， f(-x)=-f(x)的等價形式為：；（4）由定義不

2、難得出若一個函數是奇函數且在原點有定義，則必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函數又是偶函數，則必有f(x)=0.2.奇偶函數的圖象與性質（1）如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數.（2）如果一個函數為偶函數，則它的圖象關于軸對稱；反之，如果一個函數的圖像關于軸對稱，則這個函數是偶函數.3.用定義判斷函數奇偶性的步驟（1）求函數的定義域，判斷函數的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則該函數既不是奇函數，也不是偶函數，若關于原點對稱，則進行下一步；（2）結合函數的定

3、義域，化簡函數的解析式；（3）求，可根據與之間的關系，判斷函數的奇偶性.若=-，則是奇函數；若=，則是偶函數；若，則既不是奇函數，也不是偶函數；若且=-，則既是奇函數，又是偶函數要點二、判斷函數奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數的定義域不是關于原點對稱，則立即可判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數；若函數的定義域是關于原點對稱的，再判斷與之一是否相等.（2）驗證法：在判斷與的關系時，只需驗證=0及是否成立即可.（3）圖象法：奇（偶）函數等價于它的圖象關于原點（軸）對稱.（4）性質法：兩個奇函數的和仍為奇函數；兩個偶函數的和仍為偶函數；兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的積是偶函數；一個奇函數與

4、一個偶函數的積是奇函數.（5）分段函數奇偶性的判斷判斷分段函數的奇偶性時，通常利用定義法判斷.在函數定義域內，對自變量的不同取值范圍，有著不同的對應關系，這樣的函數叫做分段函數.分段函數不是幾個函數，而是一個函數.因此其判斷方法也是先考查函數的定義域是否關于原點對稱，然后判斷與的關系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應段的函數表達式中，與對應不同的表達式，而它們的結果按奇偶函數的定義進行比較.要點三、關于函數奇偶性的常見結論奇函數在其對稱區間a,b和-b，-a上具有相同的單調性，即已知是奇函數，它在區間a,b上是增函數（減函數），則在區間-b，-a上也是增函數（減函數）；偶函數在其對稱區

5、間a,b和-b，-a上具有相反的單調性，即已知是偶函數且在區間a,b上是增函數（減函數），則在區間-b，-a上也是減函數（增函數）.【典型例題】類型一、判斷函數的奇偶性例1. 判斷下列函數的奇偶性：(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)； (5)； (6)【思路點撥】利用函數奇偶性的定義進行判斷.【答案】（1）非奇非偶函數；（2）偶函數；（3）奇函數；（4）奇函數；（5）奇函數；（6）奇函數【解析】(1)f(x)的定義域為，不關于原點對稱，因此f(x)為非奇非偶函數； (2)對任意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(

6、x)，則f(x)=x2-4|x|+3為偶函數 ；(3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)為奇函數；(4)，f(x)為奇函數；(5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)為奇函數；(6)，f(x)為奇函數.【總結升華】判定函數奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數的定義域.函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的前提條件，因此研究函數的奇偶性必須“堅持定義域優先”的原則，即優先研究函數的定義域，否則就會做無用功.如在本例（4）中若不研究定義域，在去掉的絕對值符號時就十分麻煩

7、.舉一反三：【變式1】判斷下列函數的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】（1）奇函數；（2）偶函數；（3）非奇非偶函數；（4）奇函數【解析】(1)的定義域是，又，是奇函數（2）的定義域是，又，是偶函數（3），為非奇非偶函數（4）任取x>0則-x<0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，則-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0時，f(0)=-f(0) xR時，f(-x)=-f(x) f(x)為奇函數.【高清課堂：函數的奇偶性3

8、56732例2（1）】【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數，f(x)·g(x)為偶函數.證明：設F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·-g(x)=f(x)·g(x)=G(x)f(x)+g(x)為奇函數，f(x)·g(x)為偶函數.【高清課堂：函數的奇偶性356732例2（2）】【變式3】設函數和g(x)分別是R上的偶函數和奇

9、函數，則下列結論恒成立的是 （ ）.A+|g(x)|是偶函數 B-|g(x)|是奇函數C| +g(x)是偶函數 D|- g(x)是奇函數【答案】A例2.已知函數，若對于任意實數都有，判斷的奇偶性.【答案】奇函數【解析】因為對于任何實數，都有，可以令為某些特殊值，得出.設則，.又設，則，是奇函數.【總結升華】判斷抽象函數的單調性，可用特殊值賦值法來求解.在這里，由于需要判斷與之間的關系，因此需要先求出的值才行.舉一反三：【變式1】 已知函數，若對于任意實數，都有，判斷函數的奇偶性.【答案】偶函數【解析】令得，令得由上兩式得：，即是偶函數.類型二、函數奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合)例

10、3. f(x)，g(x)均為奇函數，在上的最大值為5，則在（-）上的最小值為 【答案】 -1【解析】考慮到均為奇函數，聯想到奇函數的定義，不妨尋求與的關系+= ， 當時， 而， 在上的最小值為-1 【總結升華】本例很好地利用了奇函數的定義，其實如果仔細觀察還可以發現也是奇函數，從這個思路出發，也可以很好地解決本題過程如下：時，的最大值為5，時的最大值為3，時的最小值為-3，時，的最小值為-3+2=-1舉一反三：【變式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).【答案】-26【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=

11、-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易證g(x)為奇函數g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【總結升華】本題要會對已知式進行變形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx為奇函數，這是本題的關鍵之處，從而問題便能迎刃而解.例4. 已知是定義在R上的奇函數，當時，求的解析式【答案】【解析】是定義在R上的奇函數，當時， =又奇函數在原點有定義，【總結升華】若奇函數在處有意義，則必有，即它的圖象必過原點（0，0）舉一反三：【

12、高清課堂：函數的奇偶性 356732 例3】【變式1】（1）已知偶函數的定義域是R，當時，求的解析式.（2）已知奇函數的定義域是R，當時，求的解析式.【答案】（1）；（2）例5. 定義域在區間2，2上的偶函數，當x0時，是單調遞減的，若成立，求m的取值范圍【思路點撥】根據定義域知1m，m1，2，但是1m，m在2，0，0，2的哪個區間內尚不明確，若展開討論，將十分復雜，若注意到偶函數的性質：，可避免討論【答案】【解析】由于為偶函數，所以，因為x0時，是單調遞減的，故，所以，解得故m的取值范圍是【總結升華】在解題過程中抓住偶函數的性質，將1m，m轉化到同一單調區間上，避免了對由于單調性不同導致1m

13、與m大小不明確的討論，從而使解題過程得以優化另外，需注意的是不要忘記定義域類型三、函數奇偶性的綜合問題例6. 已知是偶函數，且在0，+）上是減函數，求函數的單調遞增區間【思路點撥】本題考查復合函數單調性的求法。復合函數的單調性由內層函數和外層函數的單調性共同決定，即“同增異減”。【答案】0，1和（，1【解析】 是偶函數，且在0，+）上是減函數，在（，0上是增函數設u=1x2，則函數是函數與函數u=1x2的復合函數當0x1時，u是減函數，且u0，而u0時，是減函數，根據復合函數的性質，可得是增函數當x1時，u是增函數，且u0，而u0時，是增函數，根據復合函數的性質，可得是增函數同理可得當1x0或

14、x1時，是減函數所求的遞增區間為0，1和（，1【總結升華】（1）函數的奇偶性與單調性的綜合問題主要有兩類：一類是兩個性質交融在一起（如本例），此時要充分利用奇偶函數的圖象的對稱性，從而得到其對稱區間上的單調性；另一類是兩個性質簡單組合，此時只需分別利用函數的這兩個性質解題（2）確定復合函數的單調性比較困難，也比較容易出錯確定x的取值范圍時，必須考慮相應的u的取值范圍本例中，x1時，u仍是減函數，但此時u0，不屬于的減區間，所以不能取x1，這是應當特別注意的例7. 設a為實數，函數f(x)=x2+|x-a|+1，xR，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.【思路點撥】對a進行討論，把絕對

15、值去掉，然后把f(x)轉化成二次函數求最值問題。【答案】當a=0時，函數為偶函數；當a0時，函數為非奇非偶函數.當.【解析】當a=0時，f(x)=x2+|x|+1，此時函數為偶函數；當a0時，f(x)=x2+|x-a|+1，為非奇非偶函數.(1)當時，且上單調遞增，上的最小值為f(a)=a2+1.(2)當時，上單調遞減，上的最小值為上的最小值為綜上：.舉一反三：【變式1】 判斷的奇偶性【答案】當時，函數既是奇函數，又是偶函數；當時，函數是奇函數【解析】對進行分類討論若，則，定義域關于原點對稱，函數既是奇函數，又是偶函數當時，是奇函數綜上，當時，函數既是奇函數，又是偶函數；當時，函數是奇函數例8

16、. 對于函數，若存在x0R，使成立，則稱點（x0，x0）為函數的不動點（1）已知函數有不動點（1，1），（3，3），求a，b的值；（2）若對于任意的實數b，函數總有兩個相異的不動點，求實數a的取值范圍；（3）若定義在實數集R上的奇函數存在（有限）n個不動點，求證：n必為奇數【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略【解析】 （1）由已知得x=1和x=3是方程ax2+bxb=x的根，由違達定理a=1，b=3（2）由已知得：ax2+bxb=x（a0）有兩個不相等的實數根，1=(b1)2+4ab0對于任意的實數b恒成立即b2+(4a2)b+10對于任意的實數b恒成立也就是函數的圖象與橫

17、軸無交點又二次函數的圖象是開口向上的拋物線，從而2=(4a2)240，即|4a2|2，0a1滿足題意的實數a的取值范圍為（0，1）（3）是R上的奇函數，.令x=0，得，（0，0）是的一個不動點設（x0，x0）（x00）是的一個不動點，則又，（x0，x0）也是的一個不動點又x0x0，的非零不動點是成對出現的又（0，0）也是的一個不動點，若存在n個不動點，則n必為奇數【總結升華】本例是一個信息遷移問題，解這類問題關鍵在于準確理解新定義，充分利用新定義分析解決問題本例的“不動點”實質是關于x的方程的解的問題本例（3）的解決主要是結合奇函數關于原點的對稱性從而得到有關的結論【鞏固練習】1 函數是( )

18、A奇函數B偶函數C既是奇函數又是偶函數 D既不是奇函數又不是偶函數2若函數是偶函數，則有 ( )A. B. C. D. 3設函數，且則等于（ ）A.-3 B.3 C.-5 D. 54若偶函數在上是增函數，則下列關系式中成立的是( )ABCD5如果奇函數在區間 上是增函數且最大值為，那么在區間上是( )A增函數且最小值是 B增函數且最大值是C減函數且最大值是 D減函數且最小值是6設是定義在上的一個函數，則函數，在上一定是( )A奇函數 B偶函數 C既是奇函數又是偶函數 D非奇非偶函數.7設函數的圖象關于軸對稱，且，則 .8如果函數為奇函數，那么= .9設函數是定義在R上的奇函數，且，在上單調遞減，在上單調遞減，則不等式的解集為 10若函數是偶函數，則的遞減區間是_.11函數在R上為奇函數，且，則當，_.12已知函數，試判斷的奇偶性.13設函數是偶函數，且在上是增函數，判斷在上的單調性，并加以證明.14定義在上的偶函數滿足：對任意 ，有成立，試