1、專題27 二次函數中的線段長度有關的綜合問題1、如圖拋物線yax2+bx+c的圖象過點A（1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求拋物線的解析式，并指出拋物線的頂點坐標（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得PAC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標及PAC的周長；若不存在，請說明理由（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點M（不與C點重合），使得SPAMSPAC，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由【答案】（1）yx2+2x+3，頂點坐標為（1，4）；（2）存在，點P的坐標為（1，2），PAC的周長是；（3）存在，點M的坐標為（1，4），（，）或（，）【解析】（1）拋物

2、線yax2+bx+c的圖象過點A（1，0），B（3，0），C（0，3），得，yx2+2x+3（x1）2+4，該拋物線的頂點坐標為（1，4），即該拋物線的解析式為yx2+2x+3，頂點坐標為（1，4）；（2）點A關于對稱軸的對稱點是點B，連接CB與對稱軸的交點為P，此時點P即為所求，如圖所示：設過點B（3，0），點C（0，3）的直線解析式為ykx+m，得，直線BC的解析式為yx+3，當x1時，y1+32，點P的坐標為（1，2），點A（1，0），點C（0，3），點B（3，0），AC，BC3，PAC的周長是：AC+CP+PAAC+CB，即點P的坐標為（1，2），PAC的周長是；（3）存在點M（不與C

3、點重合），使得SPAMSPAC，SPAMSPAC，當以PA為底邊時，只要兩個三角形等高即可，即點M和點C到PA的距離相等，當點M在點C的上方時，則CMPA時，點M和點C到PA的距離相等，設過點A（1，0），點P（1，2）的直線l1解析式為：ykx+m，得，直線AP的解析式為yx+1，直線CM的解析式為yx+3，由得，點M的坐標為（1，4）；當點M在點C的下方時，則點M所在的直線l2與AP平行，且直線l2與直線AP之間的距離與直線l1與直線AP之間的距離相等，直線l2的的解析式為yx1，由得，M的坐標為（，）或（，）；由上可得，點M的坐標為（1，4），（，）或（，）2、如圖，拋物線y=ax2 x

4、+c（a0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，2），已知B點坐標為（4，0） （1）求拋物線的解析式；（2）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，記點M到線段BC的距離為d，當d取最大值時，求出此時M點的坐標；（3）若點P是拋物線上一點，點E是直線y=x上的動點，是否存在點P、E，使以點A，點B，點P，點E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E坐標；若不存在，請說明理由【答案】（1）y= x2  x-2；（2）M（2，-3）；（3）存在；點E坐標為(,)、(,)、（,)或(,).【解析】（1）解：由題意得c=-2，0=a×42-×

5、4-2， 解得a= ， 拋物線的解析式為：y= x2  x-2.（2）解：作MNy軸交BC于點N，的面積=2MN=，當MN最大時，的面積也最大，此時M到線段BC的距離d也最大，設直線BC的解析式為y=kx+b, ,解得,y=x-2，MN=x-2-( x2 - x-2)=- x2+2x=-(x-2)2+2，當x=2時，MN有最大值2，M（2，-3）.當d取最大值時， M點的坐標是（2，-3）；（3）解：存在，理由如下：設點 E 的坐標為 (n,n),  以點A,點B,點P,點E為頂點的平行四邊形分兩種情況，如圖，以線段AB為邊，點E在點P的左邊時

6、，A(1,0),B(4,0),E(n,n)，P(5+n,n)，點P(5+n,n)在拋物線y= x2 - x-2上，n=(5+n)2(5+n)2,解得：n1=, n2= ， 此時點E的坐標為(,)或(,)；以線段AB為邊，點E在點P的右邊時，A(1,0),B(4,0),E(n,n)，P(n5,n)，點P(n5,n)在拋物線y=x2x2上，n=(n5)2(n5)2,即n211n+36=0，此時=(11)24×36=23<0，方程無解；以線段AB為對角線時，A(1,0),B(4,0),E(n,n)，P(3n,n)，點P(3n,n)在拋物線y=x2x2上，n=(3n

7、)2(3n)2,解得：n3=,n4= ， 此時點E的坐標為（,)或(,).綜上可知：存在點P、E, 使以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形, 點E坐標為(,)、(,)、（,)或(,).3、如圖，拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A，B兩點（A點在B點左側），A(-1,0)，B(3,0)，直線l與拋物線交于A，C兩點，其中C點的橫坐標為2。（1）求拋物線的函數解析式；（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A，C，F，G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在，求出所有滿足條件

8、的F點坐標；如果不存在，請說明理由。【答案】（1）y=x22x3；（2）94；（3）存在4個符合條件的F點，分別為F（3，0），（1，0），（4+7，0），（47，0）【解析】（1）將A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：a=1，b=2，y=x22x3（2）將C點的橫坐標x=2代入y=x22x3，得：y=3，C（2，3），直線AC的函數解析式是y=x1設P點的橫坐標為x（1x2），則P、E的坐標分別為：P（x，x1），E（x，x22x3）P點在E點的上方，PE=（x1）（x22x3）=x2+x+2，當x=12時，PE的最大值=94（3）存在討論如下：如圖，連接C與拋物線和y軸

9、的交點C（2，3），G（0，3），CGx軸，此時AF=CG=2，F點的坐標是（3，0）；如圖，AF=CG=2，A點的坐標為（1，0），因此F點的坐標為（1，0）；如圖，設F（x，0）ACFG是平行四邊形，AF的中點與CG的中點重合AF的中點的縱坐標為0，C，G兩點的縱坐標互為相反數，G點的縱坐標為3，x22x3=3，解得：x=1±7，G點的坐標為（1±7，3），AF的中點的橫坐標=CG的中點的橫坐標，2+1±72=1+x2 ，解得：x=4±7，F的坐標為（4±7，0）綜上所述：存在4個符合條件的F點，分別為F（3，0），（1，0），（4+7，0

10、），（47，0）4、在如圖的平面直角坐標系中，拋物線yax22amx+am2+1（a0）與x軸交于點A和點B，點A在點B的左側，與y軸交于點C，頂點是D，且DAB45°（1）填空：點C的縱坐標是 （用含a、m的式子表示）；（2）求a的值；（3）點C繞O逆時針旋轉90°得到點C，當12m52時，求BC的長度范圍【答案】（1）am2+1；（2）a1；（3）0BC94【解析】解：（1）當x0時，yax22amx+am2+1am2+1，點C的縱坐標為am2+1故答案為：am2+1（2）設拋物線對稱軸與x軸交于點E，如圖1所示DADB，DAB45°，ABD為等腰直角三角形，

11、AB2DEyax22amx+am2+1a（xm）2+1，點D的坐標為（m，1）當y0時，ax22amx+am2+10，即a（xm）21，解得：x1m1a，x2m+1a，AB21a2，解得：a1（3）由（1）（2）可知：點C的坐標為（0，1m2），點B的坐標為（m+1，0）點C繞O逆時針旋轉90°得到點C，點C的坐標為（m21，0），BC|m+1（m21）|m2+m+2|m2+m+2（m12）2+94，12m52，當m52時，m2+m+2取得最小值，最小值為74；當m12時，m2+m+2取得最大值，最大值為94，當12m52時，74m2+m+294，當12m52時，0BC945、如圖，

12、直線yx+5與x軸交于點B，與y軸交于點D，拋物線yx2+bx+c與直線yx+5交于B，D兩點，點C是拋物線的頂點（1）求拋物線的解析式；（2）點M是直線BD上方拋物線上的一個動點，其橫坐標為m，過點M作x軸的垂線，交直線BD于點P，當線段PM的長度最大時，求m的值及PM的最大值；（3）在拋物線上是否存在異于B、D的點Q，使BDQ中BD邊上的高為3，若存在求出點Q的坐標；若不存在請說明理由【答案】（1）拋物線的表達式為：yx2+4x+5；（2）當m時，PM有最大值；（3）存在滿足條件的點Q，其坐標為Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（1，0），Q4（6，7）【思路引導】（1）y=-x+5，令

13、x=0，則y=5，令y=0，則x=5，故點B、D的坐標分別為（5，0）、（0，5），利用待定系數法即可求解；（2）由題意可得M點坐標為（m，m2+4m+5），則則P點坐標為（m，m+5），表示出PM的長度：PM=-m2+4m+5-（-m+5）=-m2+5m=-（m-）2+，利用二次函數的性質即可求解；（3）過Q作QGy軸交BD于點G，交x軸于點E，作QHBD于H，設出Q點坐標Q（x，x2+4x+5），則G（x，x+5），表示出QG的長度QG=|-x2+4x+5-（-x+5）|=|-x2+5x|，由條件可得BOD是等腰直角三角形，可證得QHG為等腰直角三角形，則當BDQ中BD邊上的高為3時，即Q

14、H=HG=3，QG=×3=6，|-x2+5x|=6，即可求解【解析】解：（1）yx+5，令x0，則y5，令y0，則x5，故點B、D的坐標分別為（5，0）、（0，5），則二次函數表達式為：yx2+bx+5，將點B坐標代入上式并解得：b4，故拋物線的表達式為：yx2+4x+5；（2）設M點橫坐標為m（m0），則P（m，m+5），M（m，m2+4m+5），PMm2+4m+5（m+5）m2+5m（m-）2+，當m時，PM有最大值；（3）如圖，過Q作QGy軸交BD于點G，交x軸于點E，作QHBD于H，設Q（x，x2+4x+5），則G（x，x+5），QG|x2+4x+5（x+5）|x2+5x|，

15、BOD是等腰直角三角形，DBO45°，HGQBGE45°，QHG是等腰直角三角形，當BDQ中BD邊上的高為3時，即QHHG3，QG×36，|x2+5x|6，當x2+5x6時，解得x2或x3，Q（2，9）或（3，8），當x2+5x6時，解得x1或x6，Q（1，0）或（6，7），綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（1，0），Q4（6，7）【方法總結】本題考查二次函數綜合運用，待定系數法求函數解析式，二次函數的性質，等腰直角三角形的判定和性質及方程思想等知識，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段

16、的長度，從而求出線段之間的關系在（1）中主要是待定系數法的考查，在（2）中用P點坐標表示出PM的長是解題的關鍵，在（3）中構造等腰直角三角形求得QG的長是解題的關鍵6、如圖1，拋物線yx2+mx+n交x軸于點A(2，0)和點B，交y軸于點C(0，2)(1)求拋物線的函數表達式；(2)若點M在拋物線上，且SAOM2SBOC，求點M的坐標；(3)如圖2，設點N是線段AC上的一動點，作DNx軸，交拋物線于點D，求線段DN長度的最大值【答案】（1）y=x2x+2； （2）（0，2）或（1，2）或（，2）或（，2）；（3）1.【解析】解：（1）A（2，0），C（0，2）代入拋物線的解析式y=x2+mx+

17、n，得，解得，拋物線的解析式為y=x2x+2（2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=x2x+2，則易得B（1，0），設M（m，n）然后依據SAOM=2SBOC列方程可得：AO×|n|=2××OB×OC，×2×|m2m+2|=2，m2+m=0或m2+m4=0，解得m=0或1或，符合條件的點M的坐標為：（0，2）或（1，2）或（，2）或（，2）（3）設直線AC的解析式為y=kx+b，將A（2，0），C（0，2）代入得到，解得，直線AC的解析式為y=x+2，設N（x，x+2）（2x0），則D（x，x2x+2），ND=（x2x+2）（x+2）

18、=x22x=（x+1）2+1，10，x=1時，ND有最大值1ND的最大值為17、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx（xb）12與y軸相交于A點，與x軸相交于B、C兩點，且點C在點B的右側，設拋物線的頂點為P（1）若點B與點C關于直線x1對稱，求b的值；（2）若OBOA，求BCP的面積；（3）當1x1時，該拋物線上最高點與最低點縱坐標的差為h，求出h與b的關系；若h有最大值或最小值，直接寫出這個最大值或最小值【答案】（1）2（2）2764（3）h存在最小值，最小值為1【解析】解：（1）點B與點C關于直線x1對稱，yx（xb）12x2bx12，b21，解得：b2（2）當x0時，yx2bx1212

19、，點A的坐標為（0，12）又OBOA，點B的坐標為（12，0）將B（12，0）代入yx2bx12，得：014+12b12，解得：b12，拋物線的解析式為yx212x12yx212x12（x14）2916，點P的坐標為（14，916）當y0時，x212x120，解得：x112，x21，點C的坐標為（1，0）SBCP12×1（12）×|916|2764（3）yx2bx12（xb2）212b24當b21，即b2時，如圖1所示，y最大b+12，y最小b+12，h2b；當0b21，即0b2時，如圖2所示，y最大b+12，y最小12b24，h1+b+b24（1+b2）2；當1b20，2

20、b0時，如圖3所示y最大12b，y最小12b24，h1b+b24（1b2）2；當b21，即b2時，如圖4所示，y最大b+12，y最小b+12，h2b綜上所述：h2b(b2)1+b22(0b<2)1b22(2<b<0)2(b2)，h存在最小值，最小值為18、如圖，拋物線交x軸于點A（3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）（1）求拋物線的函數表達式；（2）若點P在拋物線上，且，求點P的坐標；（3）如圖b，設點Q是線段AC上的一動點，作DQx軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值【答案】（1）；（2）P（1，4），；（3）【解析】（1）把A（3，0），C（0，3）代入，得：，解

21、得：，故該拋物線的解析式為：；（2）由（1）知，該拋物線的解析式為，則易得B（1，0），設P點坐標為（x，），整理，得或，解得x=1或x=，則符合條件的點P的坐標為：（1，4），；（3）設直線AC的解析式為，將A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，即直線AC的解析式為設Q點坐標為（x，x+3），（3x0），則D點坐標為（x，），QD=，當x=時，QD有最大值9、如圖，二次函數的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，點在函數圖像上，軸，且，直線是拋物線的對稱軸，是拋物線的頂點（1）求、的值；（2）如圖，連接，線段上的點關于直線的對稱點恰好在線段上，求點的坐標；（3）如圖，動點在線段上，過點作軸

22、的垂線分別與交于點，與拋物線交于點試問：拋物線上是否存在點，使得與的面積相等，且線段的長度最小？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由【答案】（1），；（2）點的坐標為；（3）點的坐標為和【解析】解：（1）軸，拋物線對稱軸為直線點的坐標為解得或（舍去），（2）設點的坐標為對稱軸為直線點關于直線的對稱點的坐標為.直線經過點利用待定系數法可得直線的表達式為.因為點在上，即點的坐標為（3）存在點滿足題意.設點坐標為，則作垂足為點在直線的左側時，點的坐標為點的坐標為點的坐標為在中，時，取最小值.此時點的坐標為點在直線的右側時，點的坐標為同理，時，取最小值.此時點的坐標為綜上所述：滿足題意得點的坐

23、標為和10、函數y=x2+bx+c的圖像與x 軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，OB=OC點D在函數圖像上，CD/x軸，且CD=2，直線l 是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點（1）求b、c 的值； （2）如圖，連接BE，線段OC 上的點F 關于直線l 的對稱點F 恰好在線段BE上，求點F的坐標； （3）如圖，動點P在線段OB上，過點P 作x 軸的垂線分別與BC交于點M，與拋物線交于點N試問：拋物線上是否存在點Q，使得PQN與APM的面積相等，且線段NQ的長度最小？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由 圖       

24、0;                                   圖【答案】（1）c=-3；（2）點F的坐標為（0，-2）；（3）滿足題意的點Q的坐標為（12,154）和(32,154)【解析】（1）CDx軸，CD=2，拋物線對稱軸為x=1，b2=1，

25、b=2OB=OC，C（0，c），B點的坐標為（c，0），0=c2+2c+c，解得：c=3或c=0（舍去），c=3；（2）設點F的坐標為（0，m）對稱軸為直線x=1，點F關于直線l的對稱點F的坐標為（2，m）由（1）可知拋物線解析式為y=x22x3=（x1）24，E（1，4）直線BE經過點B（3，0），E（1，4），利用待定系數法可得直線BE的表達式為y=2x6點F在BE上，m=2×26=2，即點F的坐標為（0，2）；（3）存在點Q滿足題意設點P坐標為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3n，PN=n2+2n+3作QRPN，垂足為RSPQN=SAPM，12（n+1）（3n）=12（

26、n2+2n+3）QR，QR=1分兩種情況討論：點Q在直線PN的左側時，Q點的坐標為（n1，n24n），R點的坐標為（n，n24n），N點的坐標為（n，n22n3），在RtQRN中，NQ2=1+（2n3）2，n=32時，NQ取最小值1此時Q點的坐標為（12，154）；點Q在直線PN的右側時，Q點的坐標為（n+1，n24）同理，NQ2=1+（2n1）2，n=12時，NQ取最小值1此時Q點的坐標為（32，154）綜上可知存在滿足題意的點Q，其坐標為（12，154）或（32，154）11、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數a0）與x軸，y軸分別交于A，B，C三點，已

27、知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），動點E從拋物線的頂點點D出發沿線段DB向終點B運動（1）直接寫出拋物線解析式和頂點D的坐標；（2）過點E作EFy軸于點F，交拋物線對稱軸左側的部分于點G，交直線BC于點H，過點H作HPx軸于點P，連接PF，求當線段PF最短時G點的坐標；（3）在點E運動的同時，另一個動點Q從點B出發沿直線x=3向上運動，點E的速度為每秒個單位長度，點Q速度均為每秒1個單位長度，當點E到達終點B時點Q也隨之停止運動，設點E的運動時間為t秒，試問存在幾個t值能使BEQ為等腰三角形？并直接寫出相應t值 【答案】（1）拋物線y=-x2+2x+3，頂點D為（1，4）（2）G點

28、的坐標（，）（3）存在3個t值：t=，【解析】解：(1)由題意得解得，拋物線y=x2+2x+3，頂點D為(1,4)；(2)如圖，連接OH，EFy軸，HPx軸，x軸y軸，四邊形HPOF是矩形，PF=OH，當OH最短時，PF最短，OHBC時，PF最短，可得H的縱坐標為，把y=代入y=x2+2x+3中，則=x2+2x+3，解得x1=,x2= (舍去)；G點的坐標(，)（3）如圖，DB=2，yBD=-2x+6，即點E坐標為（，）,Q(3，t) 當BE=BQ時，2-t=t t=；當BE=EQ時(2-t)2=(+(,當BQ=EQ時 t2=(+( , 所以存在3個t值：t=，12、如圖（1），二次函數yax2bx（a0）的圖象與x軸、直線yx的交點分別為點A(4，0)、B(5，5)（1）a ，b ，AOB °；（2）連接AB，點P是拋物線上一點（異于點A），且PBOOBA，求點P的坐標 ；（3）如圖（2），點C、D是線段OB上的動點，且CD2設點C的橫坐標為m過點C、D分別作x軸的垂線，與拋物線相交于點F、E，連接EF當CF+DE取得最大值時，求m的值并判斷四邊形CDEF的形狀；連接AC、AD，求m為何值時，AC+AD取得最小值，并求出這個最小值【答案】（1）1，4，45°；