1、專題06 一次函數(shù)中的存在性綜合問題 1、如圖直線ykx+k交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，且AB2（1）求k的值；（2）點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AB運動，過點P作直線AB的垂線交x軸于點Q，連接OP，設PQO的面積為S，點P運動時間為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍；（3）在（2）的條件下，當P在AB的延長線上，若OQ+AB（BQOP），求此時直線PQ的解析式解：（1）對于直線ykx+k，令y0，可得x1，A（1，0），OA1，AB2，OB，k（2）如圖，tanBAO，BAO60°，PQAB，APQ90°，AQP30°，A

2、Q2AP2t，當0t時，SOQPy（12t）tt2+t當t時，SOQPy（2t1）tt2t（3）OQ+AB（BQOP），2t1+2（），2t+1，4t2+4t+17t27t+7，3t211t+60，解得t3或（舍棄），P（，），Q（5，0），設直線PQ的解析式為ykx+b，則有，解得，直線PQ的解析式為yx+2、在平面直角坐標系xOy中，對于圖形G和圖形M，它們關(guān)于原點O的“中位形”定義如下，圖形G上的任意一點P，圖形M上的任意一點Q，作OPQ平行于PQ的中位線，由所有這樣的中位線構(gòu)成的圖形，叫圖形G和圖形M關(guān)于原點O的“中位形”已知直線yx+b分別與x軸，y軸交于A、B，圖形S是中心為坐標原

3、點，且邊長為2的正方形（1）如圖1，當b2時，點A和點B關(guān)于原點O的“中位形”的長度是 （請直接寫出答案）；（2）如圖2，若點A和點B關(guān)于原點O的“中位形”與圖形S有公共點，求b的取值范圍；（3）如圖3，當b6時，圖形S沿直線yx平移得到圖形T，若圖形T和線段AB關(guān)于原點O的“中位形”與原來的的圖形S沒有公共點，請直接寫出圖形T的中心的橫坐標t的取值范圍解：（1）如圖1中，由題意b2時，直線yx+2，A（4，0），B（0，2），點A和點B關(guān)于原點O的“中位形”是AOB的中位線EF，EFAB×故答案為（2）如圖2中，當AOB的中位線EF經(jīng)過點（1，1）時，直線EF 的解析式為yx+，E

4、（0，），OEEB，B（0，3），當AOB的中位線EF經(jīng)過點（1，1）時，直線EF 的解析式為yx，E（0，），OEEB，B（0，3），觀察圖象可知滿足條件的b的值為3b1或1b3（3）如圖3中，設平移后的正方形T的中心的坐標為（t，t），則C（t1，t+1），OC的中點E（，），OB的中點F（0，3），直線EF的解析式為yx3，當直線經(jīng)過（1，1）時，13，解得t9，觀察圖形可知，t9時，圖形T和線段AB關(guān)于原點O的“中位形”與原來的的圖形S沒有公共點，如圖4中，設平移后的正方形T的中心的坐標為（t，t），則C（t1，t+1），OC的中點E（，），O的中點F（6，0），此時直線EF的解析式為

5、yx，當直線經(jīng)過（1，1）時，1，解得t觀察圖形可知，t時，圖形T和線段AB關(guān)于原點O的“中位形”與原來的的圖形S沒有公共點，綜上所述，滿足條件的t的值為t9或t3、如圖，直線yx+8與x軸、y軸分別交于點A和點B，M是OB的上的一點，若將ABM沿M折疊，點B恰好落在x軸上的點B處（1）求A、B兩點的坐標；（2）求直線AM的表達式；（3）在x軸上是否存在點P，使得以點P、M、B為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由解：（1）當x0時，y8，B（0，8），當y0時，x+80，x6，A（6，0）；（2）在RtAOB中，AOB90°，OA6，OB

6、8，AB10，由折疊得：ABAB'10，OB'1064，設OMa，則BMB'M8a，由勾股定理得：a2+42（8a）2，a3，M（0，3），設AM：ykx+b，則，解得：，直線AM的解析式為：yx+3；（3）在x軸上存在點P，使得以點P、M、B為頂點的三角形是等腰二角形，如圖M（0，3），B（4，0），BM5，當PBBM時，P1（9，0），P2（1，0）；當BMPM時，P3（4，0），當PBPM時，作BM的垂直平分線，交x軸于P4，交BM與Q，易證得P4BQMBO，則，即，P4B，OP44，P4（，0），綜上，P點的坐標為（9，0）或（1，0）或（4，0）或（，0）4、

7、如圖，一次函數(shù)y1x+b的圖象與x軸y軸分別交于點A，點B，函數(shù)y1x+b，與y2x的圖象交于第二象限的點C，且點C橫坐標為3（1）求b的值；（2）當0y1y2時，直接寫出x的取值范圍；（3）在直線y2x上有一動點P，過點P作x軸的平行線交直線y1x+b于點Q，當PQOC時，求點P的坐標解：（1）將x3代入y2x，可得C（3，4），再將C點代入y1x+b，b7；（2）7x3；（3）點P為直線y2x上一動點，設P（a，a），PQx軸，Q（a7，a），PQ|a+7|，C（3，4），OC5，PQOC14，|a+7|14，a3或a9，P（3，4）或P（9，12）5、如圖，在平面直角坐標系中，直線yx+

8、b與x、y軸分別相交于點A、B，與直線yx+2交于點D（3，m），直線yx+2交x軸于點C，交y軸于點E（1）若點P是y軸上一動點，連接PC、PD，求當|PCPD|取最大值時，P點的坐標（2）在（1）問的條件下，將COE沿x軸平移，在平移的過程中，直線CE交直線AB于點M，則當PMA是等腰三角形時，求BM的長解：（1）當x3時，m3+25，D（3，5），把D（3，5）代入yx+b中，3+b5，b8，yx+8，當y0時，x+20，x2，C（2，0），如圖1，取C關(guān)于y軸的對稱點C'（2，0），P1是y軸上一點，連接P1C、P1C'、P1D，則P1CP1C'，|P1DP1C

9、'|P1DP1C|C'D，當P與C'、D共線時，|PCPD|有最大值是C'D，設直線C'D的解析式為：ykx+b，把C'（2，0）和D（3，5）代入得：，解得：，直線C'D的解析式為：y5x10，P（0，10）；（2）分三種情況：當APAM時，如圖2，由（1）知：OP10，由勾股定理得：AP2，AB8，BMAB+AM8+2；同理得：BM128；當APPM時，如圖3，過P作PNAB于N，BNP90°，NBP45°，BNP是等腰直角三角形，PB18，BN9，AB8，AN98，APPM，PNAM，AM2AN2，BM8+210

10、；當AMPM時，如圖4，過P作PNAB于N，AN，PN9，設MNx，則PMANx+，由勾股定理得：PN2+MN2PM2，解得：x40，BMAB+AN+MN8+4049；綜上，當PMA是等腰三角形時，BM的長是8+2或28或10或496、如圖，已知一次函數(shù)y3x+3與y軸交于A，與x軸交于點B，直線AC與正半軸交于點C，且ACBC（1）求直線AC的解析式（2）點D為線段AC上一點，點E為線段CD的中點，過點E作x軸的平行線交直線AB于點F，連接DF并延長交x軸于點G，求證；ADBG（3）在（2）的條件下，若AFD2BAO，求點D坐標解：（1）當x0時，y3，A（0，3）令y0得：3x+30，解得

11、：x1，B（1，0）設OCx，則ACBCx+1在RtAOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2AC2，即32+x2（x+1）2，解得：x4，C（4，0）設直線AC的解析式為ykx+b，則 ，解得：，直線AC的解析式為yx+3（2）如圖1所示：過點D作DHx軸，則HDFBGFHDEFCG，E為CD的中點，F(xiàn)為DG的中點FGDF在BGF和HDF中，BGFHDF（ASA）HDBGACBC，CABABCHDCG，AHDABC，HADAHDADDH，ADBG（3）如圖2所示：連接AG，過點C作CHAB，垂足為H，過D作DMx軸于M，在RtABO中，依據(jù)勾股定理可知AB，CBCA，CHAB，AHAB，BCA

12、2ACHRtBCH中，依據(jù)勾股定理可知CH，BAO+ABOABO+BCH，BAOBCHACH，BCA2BAO又AFD2BAO，AFDBCA又FADBAC，F(xiàn)ADCAB，AFDF又GFFD，GAD為直角三角形OGOCOA2，OGG（，0）ADBGRtAOC中，OA3，OC4，AC5，DMOA，即，OM1，當x1時，yx+3+3，D（1，）7、已知，如圖，在第一象限中，點A的坐標是（3，6），射線OM的解析式為yx，作線段ACx軸于點C，點B在射線OM上，且OB的長度為3（1）求AOB的面積；（2）試判斷AOB的形狀，并說明理由；（3）直線AB交坐標軸于E、F兩點，若點P在線段EF上，點Q在線段O

13、F上，且FPQ與AOC全等，求點Q的坐標解：（1）如圖1，過B作BGx軸于點G，點B在射線OM上，可設B（x，x），OB3，由勾股定理得：，解得：x±9，B（9，3），A（3，6），SAOBSAOC+S梯形ACGBSBOG，22.5；（2）OAB為直角三角形，理由如下：A（3，6），B（9，3），O（0，0），OA232+6245，AB2（93）2+（36）245，OB292+3290，OA2+AB2OB2，OAB為直角三角形；（3）設直線AB解析式為ykx+b，A（3，6），B（9，3），解得：，直線AB解析式為yx+，令y0可求得x15，F(xiàn)（15，0），由（2）可知OAB90&#

14、176;，OAC+CAFCAF+AFC90°，OACPFQ，當PQF90°時，如圖2，則有PQFOCA，PQOC3，即P點縱坐標為3，在yx+中，令y3可求得x9，P（9，3），Q（9，0），此時P與B重合；當QPF90°時，如圖3，則有PQFCOA，F(xiàn)QOA3，OQ153，Q（153，0）；綜上可知Q點坐標為（9，0）或（153，0）8、如圖1，直線yx+b分別與x軸，y軸交于A（6，0），B兩點，過點B的另一直線交x軸的負半軸于點C，且OB：OC3：1（1）求直線BC的解析式；（2）直線yaxa（a0）交AB于點E，交BC于點F，交x軸于點D，是否存在這樣的直

15、線EF，使SBDESBDF？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，點P為A點右側(cè)x軸上一動點，以P為直角頂點，BP為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形BPQ，連接QA并延長交y軸于點K當P點運動時，K點的位置是否發(fā)生變化？若不變，求出它的坐標；如果會發(fā)生變化，請說明理由解：（1）直線yx+b分別與x軸交于A（6，0），b6，直線AB的解析式是：yx+6，B（0，6），OB6，OB：OC3：1，OC2，C（2，0）設BC的解析式是ykx+b，解得，直線BC的解析式是：y3x+6；（2）存在理由如下：如圖1中，SBDFSBDE，只需DFDE，即D為EF中點，點E為直線AB與EF的交點

16、，點E（，）點F為直線BC與EF的交點，點F（，）D為EF中點，+，a0舍去，a（3）K點的位置不發(fā)生變化理由如下：如圖2中，過點Q作CQx軸，設PAm，POBPCQBPQ90°，OPB+QPC90°，QPC+PQC90°，OPBPQC，PBPQ，BOPPCQ（AAS），BOPC6，OPCQ6+m，ACQC6+m，QACOAK45°，OAOK6，K（0，6）9、如圖，在平面直角坐標系中，直線y2x+8與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的直線交x軸于點C，且ABBC（1）求直線BC的解析式；（2）點P為線段AB上一點，點Q為線段BC延長線上一點，且AP

17、CQ，PQ交x軸于N，設點Q橫坐標為m，PBQ的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量m的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，點M在y軸負半軸上，且MPMQ，若BQM45°，求直線PQ的解析式解：（1）直線y2x+8與x軸交于點A，與y軸交于點B，點B（0，8），點A（4，0）AO4，BO8，ABBC，BOAC，AOCO4，點C（4，0），設直線BC解析式為：ykx+b，由題意可得：解得：直線BC解析式為：y2x+8；（2）如圖1，過點P作PGAC，PEBC交AC于E，過點Q作HQAC，ABCB，BACBCA，點Q橫坐標為m，點Q（m，2m+8）HQ2m8，CHm4，APC

18、Q，BACBCAQCH，AGPQHC90°，AGPCHQ（AAS），AGHCm4，PGHQ2m8，PEBC，PEAACB，EPFCQF，PEAPAE，APPE，且APCQ，PECQ，且EPFCQF，PFECFQ，PEFQCF（AAS）SPEFSQCF，PBQ的面積四邊形BCFP的面積+CFQ的面積四邊形BCFP的面積+PEF的面積四邊形PECB的面積，SSABCSPAE×8×8×（2m8）×（2m8）16m2m2；（3）如圖2，連接AM，CM，過點P作PEAC，ABBC，BOAC，BO是AC的垂直平分線，AMCM，且APCQ，PMMQ，APMC

19、QM（SSS）PAMMCQ，BQMAPM45°，AMCM，ABBC，BMBM，ABMCBM（SSS）BAMBCM，BCMMCQ，且BCM+MCQ180°，BCMMCQPAM90°，且APM45°，APMAMP45°，APAM，PAO+MAO90°，MAO+AMO90°，PAOAMO，且PEAAOM90°，AMAP，APEMAO（AAS）AEOM，PEAO4，2m84，m6，Q（6，4），P（2，4）設直線PQ的解析式為：yax+c，解得：直線PQ的解析式為：yx+210、已知：在平面直角坐標系中，直線yx+4與x軸

20、交于點A，與y軸交于點B，點C是x軸正半軸上一點，ABAC，連接BC（1）如圖1，求直線BC解析式；（2）如圖2，點P、Q分別是線段AB、BC上的點，且APBQ，連接PQ若點Q的橫坐標為t，BPQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍；（3）如圖3，在（2）的條件下，點E是線段OA上一點，連接BE，將ABE沿BE翻折，使翻折后的點A落在y軸上的點H處，點F在y軸上點H上方EHFH，連接EF并延長交BC于點G，若BGAP，連接PE，連接PG交BE于點T，求BT長解：（1）由已知可得A（3，0），B（0，4），OA3，OB4，AB5，ABAC，AC5，C（2，0），設BC的直線解

21、析式為ykx+b，將點B與點C代入，得，BC的直線解析式為y2x+4；（2）過點Q作MQy軸，與y軸交于點M，過點Q作QEAB，過點C作CFAB，Q點橫坐標是 t，MQt，MQOC，BQt，APBQ，APt，AB5，PB5t，在等腰三角形ABC中，ACAB5，BC2，AB×CFAC×OB，CFOB4，EQCFEQ2t，S×（5t）（0t2）；（3）如圖3，將ABE沿BE翻折，使翻折后的點A落在y軸上的點H處，AHAB5，AEEH，OHBHOB1，EH2EO2+OH2，AE2（4AE）2+1，AEEH，OE，點E（，0）EHFH，OF點F（0，）直線EF解析式為yx

22、+，直線BE的解析式為：y3x+4，2x+4x+，x，點G（，）BG，BGAP，AP1，設點P（a，a+4）1a，點P（，），直線PG的解析式為：yx+，3x+4x+，x1，點T（1，1）BT11、如圖，已知一次函數(shù)yx+7與正比例函數(shù)yx的圖象交于點A，且與x軸交于點B（1）求AOB的面積：（2）在y軸上找一點C，使AC+BC最小，求最小值及C點坐標（3）點P從O出發(fā)向B點以1個單位每秒的速度運動，點Q從B點出發(fā)向A點以同樣的速度運動，兩個點同時停止，當BPQ為等腰三角形時，求Q點坐標解：（1）一次函數(shù)yx+7與正比例函數(shù)yx的圖象交于點A，且與x軸交于點B點B（7，0），x+7xx3，點A

23、（3，4）SAOB×7×414；（2）如圖1，作點B關(guān)于y軸的對稱點H（7，0），連接AH，交y軸于點C，此時AC+BC最小值為AH，點A（3，4），點H（7，0），AH2，AC+BC最小值為2，設直線AH解析式為：ykx+b，且過點A（3，4），點H（7，0），解得：直線AH解析式為：yx+；（3）如圖2，過點Q作QEOB，以同樣的速度運動，BQOP，一次函數(shù)yx+7與y軸交于點D，點D（0，7），ODOB7，且DOB90°，DBO45°，且QEOB，QBEEQB45°，QEBE，QBQEEB，若PBQB，且OPBQ，OPPBBQ，BEEQ，OE7，點Q（7，），若QPQB，且QEOB，PEBE，OB7OP+PE+BE，7BE+2BE，BEQE，OE點Q（，），如圖3，若BPPQ，過點P作PFBQ，BFFQBQ，ABO45°，PFAB，F(xiàn)PBABO45°，PFBF，PBBF，7BQBQ，BEQE，點Q坐標為（7，）12、一邊長為4正方形OACB放在平面直角坐標系中，其中O為原點，點A、B分別在x軸、y