1、第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力5 51 1 引言引言 5 52 2 平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力5 53 3 慣性矩的計算慣性矩的計算5 54 4 梁橫截面上的切應(yīng)力梁橫截面上的切應(yīng)力5 55 5 正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和剪應(yīng)力的強度計算5 56 6 開口薄壁截面的彎曲中心開口薄壁截面的彎曲中心第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力5 51 1 引引 言言 第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力1 1、彎曲構(gòu)件橫截面上的內(nèi)力、彎曲構(gòu)件橫截面上的內(nèi)力內(nèi)力剪力Q Q 應(yīng)力 ？彎矩M M 應(yīng)力 ？5 51 1 引引 言言5 51 1 引引 言言2 2、研究方法、研究方法縱向?qū)ΨQ面

2、縱向?qū)ΨQ面P1P2例如：平面彎曲：5 51 1 引引 言言平面彎曲時橫截面s 純彎曲梁 (橫截面上只有M 而無Q 的情況)平面彎曲時橫截面t 剪切彎曲 (橫截面上既有Q 又有M 的情況)5 51 1 引引 言言 某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB 段。aaABQMxx純彎曲純彎曲( (Pure Bending):):5 52 2 平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力5 52 2 平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力1.梁的純彎曲實驗 橫向線(a b、c d）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍€

3、，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：（一）變形幾何規(guī)律：一、一、 純彎曲時梁橫截面純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力上的正應(yīng)力中性層中性層縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面中性軸中性軸bdacabcdMM5 52 2 平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力橫截面上只有正應(yīng)力。平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。（可由對稱性及無限分割法證明）3.推論2.兩個概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。5 52 2 平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力平面彎曲時梁橫截

4、面上的正應(yīng)力A1B1O1O4. 4. 幾何方程：幾何方程：(1) . yx abcdABdq q xy11111OOBAABABBAx) ) ) )OO1) )qqqyyddd)(5 52 2 平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力（二）物理關(guān)系：（二）物理關(guān)系：假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應(yīng) 力狀態(tài)。(2) . EyExxs sx xs sx x（三）靜力學(xué)關(guān)系：（三）靜力學(xué)關(guān)系：ddd0 xAAzAEyNAAESEy A軸過形心中性)( 0zSzEIEIz z 桿的抗彎剛度。桿的抗彎剛度。5 52 2 平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的

5、正應(yīng)力0dd)d(yzAAAyEIAyzEAEyzzAM（對稱面）（對稱面）MEIAyEAEyyAMzAAAzdd)d(22zzEIM1 (3)(3)(4) . zxIM y 2zAIy dA其中：zWMmax (5)(5)maxyI Wzz抗彎截面模量。抗彎截面模量。5 52 2 平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力（四）最大正應(yīng)力：（四）最大正應(yīng)力：2zAIy dA其中：m axzzIWym axxzM yI5 53 3 慣性矩的計算慣性矩的計算第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力5 53 3 慣性矩的計算慣性矩的計算AyAzdAzIdAyI22一 簡單截面 矩形(bh)22

6、32212hhAzbhdybydAyI1232hbdAzIAyyzhb5 53 3 慣性矩的計算慣性矩的計算 圓形222zy zyAAAPIIdAzdAydAI22)1 (64244DIIIPzyyzyz5 53 3 慣性矩的計算慣性矩的計算AbIIczz2abAIIcczyyz二 平行移軸公式AaIIcyy2cozyzybacycyczczAAAAcccydAadAzadAzdAazI2222)(AaIAaaSIcccyyy22202cyyIIa A5 53 3 慣性矩的計算慣性矩的計算三 組合截面的慣性矩 幾個簡單圖形)()(2iizzizAaIIIic5 53 3 慣性矩的計算慣性矩的計

7、算例：T形截面如圖所示，求其對中性軸的慣性矩解：(1) 形心的位置： （中性軸）以z軸為參考軸mmamma20202160602020zz120a220a1y2ymmAAyAyAyc3012001200101200501200212222115 53 3 慣性矩的計算慣性矩的計算(2) 求各組成部分對z軸的慣性矩45231211104 . 8206020126020)(1mmAaIIzz45232222102 . 5206020126020)(2mmAaIIzz(3) 求組合截面的慣性矩461036. 1)(mmIIizz60602020zz120a220a1y2y5 53 3 慣性矩的計算慣

8、性矩的計算解： 查表20a號工字鋼42123705 .351cmIcmAz16號槽鋼4224 .8315.252cmIcmAz 形心：為輔助軸以1zcmAa86. 4)75. 110(15.2505 .351cma89. 6210101.751zz例：圖示20a號工字鋼和16號槽鋼組成的截面，求其對 中性軸的慣性矩5 53 3 慣性矩的計算慣性矩的計算 慣性矩：42221448715.2589. 64 .835 .3586. 42373)()(cmIIIzzz20a號工字鋼42123705 .351cmIcmAz16號槽鋼4224 .8315.252cmIcmAz10101.751zz5 54

9、 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度條件正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度條件第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力5 53 3 平面彎曲時梁橫截面上的切應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的切應(yīng)力一、一、 矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、兩點假設(shè)： 剪應(yīng)力與剪力平行；矩中性軸等距離處，剪應(yīng)力 相等。2、研究方法：分離體平衡。 在梁上取微段如圖b ； 微段上取一塊如圖c，平衡0)(112dxbNNXdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxs sx xy yz zs s1 1t t1 1t tb b圖圖a a圖圖b b圖圖c c5 53 3 平面彎曲時梁橫截面上的切應(yīng)力平面彎曲時梁橫

10、截面上的切應(yīng)力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx xyz 1 1 1 1 b圖圖a圖圖b圖圖czzAzAIMSAyIMANdd1zzISMMN)d(2zzzzbIQSbISxMdd1由剪應(yīng)力互等由剪應(yīng)力互等zbIQSy1)(221() ()2 22()24zchhSy Ay byb hy5 53 3 平面彎曲時梁橫截面上的切應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的切應(yīng)力5 . 123maxAQ)4(222yhIQz矩Q Qt t方向：與橫截面上剪力方向相同；t t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。 最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的

11、剪應(yīng)力二、其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;剪應(yīng)力的計算公式亦為：zzbIQS1其中Q為截面剪力；Sz 為y點以下的面積對中性軸之靜矩；結(jié)論：結(jié)論： 翼緣部分tmax腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。 鉛垂剪應(yīng)力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字鋼最大剪應(yīng)力5 53 3 平面彎曲時梁橫截面上的切應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的切應(yīng)力2、幾種常見截面的最大彎曲剪應(yīng)力 Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b 為y點處截面寬度。工字鋼截面：工字鋼截面：maxmin; ;maxmaxA A Q Qt tf fAf 腹板的面積。; ;maxmaxA A Q Qt tf

12、 f5 53 3 平面彎曲時梁橫截面上的切應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的切應(yīng)力 圓截面：3434maxAQ 薄壁圓環(huán)：22maxAQ槽鋼：exyzPQRRzzbIQS，合力為腹板上; 。合力為翼緣上HzIQA; 210)d(AxdAM力臂RHhe QeQeh5 53 3 平面彎曲時梁橫截面上的切應(yīng)力平面彎曲時梁橫截面上的切應(yīng)力工字鋼截面：工字鋼截面：Af 腹板的面積。; ;maxmaxA A Q Qt tf f矩形截面：3434maxAQ 圓截面：22maxAQ薄壁圓環(huán)：5 . 123maxAQ5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力5 54 4

13、 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算1 1、危險面與危險點分析：、危險面與危險點分析：一般截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩絕對值最大的截面的上下邊緣上；最大剪應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。Q Qt ts ss ss sM Mt t一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件一、梁的正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算2 2、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件：、正應(yīng)力和剪應(yīng)力強度條件：帶翼緣的薄壁截面，最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力的情況與上述相同；還有一個可能危險的點，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交處。 zzIbSQmaxmaxmax zWMmaxmax3

14、 3、強度條件應(yīng)用：依此強度準(zhǔn)則可進行、強度條件應(yīng)用：依此強度準(zhǔn)則可進行 三種強度計算：三種強度計算：s sM MQ Qt t 5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算4 4、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核剪應(yīng)力。梁的跨度較短，M 較小，而Q較大時，要校核剪應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。校核強度：設(shè)計截面尺寸：設(shè)計載荷： ;maxmaxmaxMWz)( ;maxmaxMfPWMz3 3、強度計算：、強度計算：最大正應(yīng)力：最大正應(yīng)力：zWMmax

15、 (5)(5)d3max 32zzIDWy圓形bh2max 6zzIbhWy矩形截面maxyI Wzz抗彎截面模量。抗彎截面模量。5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算DdDd=amax34 (1)32zzIWyD圓環(huán)bBhH)1 (6 332maxBHbhBHyIWzz回字框maxyI Wzz抗彎截面模量。抗彎截面模量。5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算例例1 1 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E =200GPa，求11截面的曲率半徑。

16、Q=Q=60kN/m60kN/mAB1m1m2m2m1 11 1xM+82qLM M1 1M Mmaxmax1 12 2120120180180zy解：畫M 圖求截面彎矩kNm60)22(121xqxqLxM30305 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120zy22max/860 3 /867.5kNmMqL331254120 1801012125.832 10 mzbhI34m1048. 62/zzIWMPa7 .6110832. 56060 5121zIyM求應(yīng)力180305 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的

17、強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算MPa6 .921048. 66041max1zWMm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .1041048. 65 .674maxmaxzWM求曲率半徑Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120180305 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，=7MPa，=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強度。N54002336002m

18、axqLQNm4050833600822maxqLMq=q=3.6kN/m3.6kN/mxM+82qLA AB BL L=3m=3mQ2qL2qL+x5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算求最大應(yīng)力并校核強度應(yīng)力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMzq=q=3.6kN/m3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxAQ5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算

19、y1y2GA1A2A3A4解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力例例3 3 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強度。并說明 T 字梁怎樣放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BM畫危面應(yīng)力分布圖，找危險點P P1 1= =9kN9kN1m1m1m1m1m1mP P2 2= =4kN4kNA AB BC CD Dx2.5kNm-4kNmM5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算校核強度MPa2 .2

20、810763885 . 2822zCLAIyMMPa2 .2710763524813zBLAIyMMPa2 .4610763884824zByAIyMLL2 .28maxyy2 .46maxT字頭在上面合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A45 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算二、梁的合理截面二、梁的合理截面（一）矩形木梁的合理高寬比（一）矩形木梁的合理高寬比R北宋李誡于1100年著營造法式 一書中指出:矩形木梁的合理高寬比 ( h/b = 1.5 )英(T.Young)于1807年著自然哲學(xué)與機械技術(shù)講義 一書中指出:矩形木梁的合

21、理高寬比 為剛度最大。時強度最大時, 3 ;, 2bhbhbh5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算AQ3433. 1mmax 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1)2/( ;,41221 DRaaD時當(dāng)強度：正應(yīng)力：剪應(yīng)力：1 1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面 zWM zzbIQS* 其它材料與其它截面形狀梁的合理截面zDzaa5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算m2max143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 .

22、0(4 DDDDD時當(dāng)1121212,24 DaaD時當(dāng)1312467. 1 646zzWabhWm5 . 1maxzD0.8Da12a1z5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算)(= 3 . 2mmaxfAQ工字形截面與框形截面類似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD時當(dāng)0.8a2a21.6a22a2z5 54 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算正應(yīng)力和切應(yīng)力的強度計算s sGz 對于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：2 2、根據(jù)材料特性選擇截面形狀、根據(jù)材料特性選擇截面形狀5 55 5 開口薄壁截面的彎曲中心開口薄壁截面的彎曲中心第五章第五章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力5 55 5 開口薄壁截面的彎曲中心開口薄壁截面的彎曲中心槽鋼： 非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲的條件：外力必須作用