1、均值不等式應用當且僅當 a b時取“ =”)當且僅當 a b時取“ =”)221. (1)若 a,b R，則 a2 b2 2ab* a b2. (1)若 a,b R* ，則ab2a2 b2(2)若 a,b R，則 ab a b2(2)若 a,b R* ，則 a b 2 ab(3)若a,b R*，則 ab ab2(當且僅當 a b時取“ =”)13.若 x 0 ，則 x2 (當且僅當 xx1若 x 0 ，則 x 2 ( 當且僅當xx1xab若 x 0 ，則4.若 ab 0，則1 時取“ = ”)x1時取“ = ”)2即x 1 2或x 1 -2 (當且僅當 a b時取“ =”) xx2 ( 當且僅

2、當 a b 時取ba= ”)若 ab 0 ，則abba2即 a b 2或 a b a bbb -2 (當且僅當 a b 時取“ = ”)a225.若a,b R，則(a2b)2 a 2b (當且僅當 a b時取“=”)ps.(1) 當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所 謂“積定和最小，和定積最大” (2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用應用一：求最值例 1 ：求下列函數的值域11)y3x 22x 212)yxx(2) 當 x>0 時，

3、2；解： (1)y 3x 2值域為 6 ，+ )當 x< 0 時，1y x =x=21 x )x值域為(， 2 2 ， + )解題技巧技巧一：湊項的最大值。51例 已知 x ，求函數 y 4x 2 14 4x 5解：因 4x 5 0 ，所以首先要“調整”符號，又 (4x 2) 1 不是常數，所以對 4x 2 要進行拆、湊項， 4x 551x , 5 4x 0， y 4x 24 4x 55 4x 1 3 2 3 15 4x1當且僅當 5 4x ，即 x 1 時，上式等號成立，故當 x 1時， ymax 1。5 4x評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數

4、例 1. 當時，求 y x(8 2x) 的最大值。解析：由知， ，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到 2x (8 2x) 8為定值，故只需將 y x(8 2x) 湊上一個系數即可。當，即 x2 時取等號 當 x2 時， y x(8 2x) 的最大值為 8。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。3變式：設 0 x ，求函數 y 4x(3 2x) 的最大值。23解： 0 x3 2x 0 y4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 22x 3 2x當且僅當 2x 3 2x, 即 x 340

5、,3 時等號成立。2af(x) x 的單調性。x11因 t 0,t1，但 t解得 t1不在區間 2,tt1因為 y t 在區間 1, 單調遞增，所以在其子區間，故等號不成立，考慮單調性。2, 為單調遞增函數，故 y5。2技巧三： 分離2x2 7x 10 例 3. 求 y (x 1) 的值域。x1解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有(x 1)的項，再將其分離。當,即時,y 2(x 1) 4 5 9 (當且僅當 x1 時取“”號)。x1技巧四：換元 解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x 1 ，化簡原式在分離求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t 2 5

6、t 4 4 y = t 5 t t t當,即t=時,y 2 t 4 5 9(當 t=2 即x1 時取“”號)。評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為Ay mg(x) B(A 0,B 0)，g(x) 恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。 g(x)技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結合函數例：求函數 y x2 5 的值域。例：求函數 x2 4 的值域。x2 4x 5x2 421t 1(t 2)x4x2 4 t所以，所求函數的值域為 5,2練習求下列函數的最小值，并求取得最小值時， x 的值 .x2 3x

7、11) yx1,(x 0) (2) y 2x,x 3 (3) y 2sin x x31,x (0, ) sin x2已知 0 x 1，求函數 y x(1 x)的最大值 .；30 x 2，求函數 y x(2 3x)的最大值 .條件求最值ab1.若實數滿足 a b 2，則 3a 3b的最小值是分析：ab“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3a 3b 定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a和3b 都是正數， 3a 3b2 3a 3b 2 3a b 6a b a b a b當 33 時等號成立，由 a b 2及 33 得 a b 1即當 a b 1時， 33 的最小值是 6 11變式：若 log

8、4 x log4 y 2，求的最小值 .并求 x,y 的值xy技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知 x 0, y 0，且 1 9 1，求 x y 的最小值。 xy1 91 9錯解： x 0,y 0 ，且1 ， x y 1 9x yx yx y 2 x9y2 xy 12 故 x y min 12 。1 錯因：解法中兩次連用均值不等式， 在x y 2 xy等號成立條件是 x y，在1 9 2 9 等號成立條件是x y xy x即 y 9x ,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而

9、且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解： x 0,y 0, 191， x y x y 19y9x10 6 10 16xy xyxy當且僅當 yx9x時，y上式等號成立，又 1 9 1，可得 x 4,y 12 時，xyx y min16 。變式：1)若 x,y(2)已知 a,b,x,y RR 且 2x y 1 ，求 1 1 的最小值 xy且 a b 1，求 x y 的最小值 xy技巧七已知 x，y 為正實數，且 x 2y2 221，求 x 1 y 2的最大值 .分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式2 2a bab2同時還應化簡 1y 2 中 y2 前面的系數為 12x 1y 22 x1

10、y 2 22分別看成兩個因式：x 2y 2 12234技巧八：1已知 a，b 為正實數， 2baba30 ，求函數 y 的最小值 . ab分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求 解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式， 不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。30 2b30 2b法一： a b1 ， ab b1由 a>0 得， 0 <b<152t 234t31令 tb+1 ，1<t<16，abtb

11、1161616 2 （ t ） 34t 2t·8ttt2 b 230b1 ab18y18 當且僅當 t4，即 b3，a6 時，等號成立。法二：由已知得： 30aba2ba2b2 2 ab 30 ab2 2 ab令 u ab則 u22 2 u30 0， 5 2 u3 2 ab 3 2 ，ab18 ，y18ab點評：本題考查不等式a bab（a,b R ）的應用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等式2 ab a 2b 30（a,b R ）出發求得 ab 的范圍，關鍵是尋找到 a b與ab 之間的關系，由此想到不等式a bab（a,b R ），這樣將已知條件轉換為含 ab的不等式，進而

12、解得 ab 的范圍.2變式： 1.已知 a>0 ，b>0 ，ab （ab）1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周長為 1 ，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知 x， y 為正實數， 3x2y 10，求函數 W 3x 2y 的最值 .解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，ab a 2b 22 2 ，本題很簡單3x 2y 2 （3x）2（2y） 2 23x2y25解法二： 條件與結論均為和的形式， 設法直接用基本不等式， 應通過平方化函數式為積的形式， 再向“和為定值” 條件靠攏W>0，W210 2 3x · 2y 10 ）2）2 10 （3 x2

13、y） 20 W 20 2 5變式 : 求函數 y 2x 1 5 2x( 1x5 ) 的最大值。 22解析：注意到 2x 1與5 2x 的和為定值。y2 ( 2x 1 5 2x)2 4 2 (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8 又 y 0 ，所以 0 y 2 23當且僅當 2x 1= 5 2x ，即 x 時取等號。 故 ymax 2 2 。2評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創造了條件。總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均 值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式1已知

14、a,b,c 為兩兩不相等的實數，求證：a2 b2 c2 ab bc ca1)正數 a，b，c 滿足 a b c1 ，求證： (1a)(1b)(1c)8abc例6：已知 a、b、cR ，且a b c 1。求證：1111118例 6：已知 a、b 、cR ，且 。求證：a1b1c18，aa分析：不等式右邊數字 8 ，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又 1 1 1 a b c 2 bcaa可由此變形入手。解： a、b、c R ， a b c 1。1 1 1 a b ca2 bc 。同理 1 1 2 ac ， a b b1 1 2 abcc。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得1a 1 1b 1 c1 1 2 abc8。當且僅當a b c 1時取等號。3應用三：均值不等式與恒成立問題x y m恒成立的實數 m的取值范圍。19例：已知 x 0,y 0 且1 ，求使不等式xy解：令 x y k,x 0,y 0,1 9 1 ，