1、01數值計算方法 復習試題1,f(2)2, f(3)1，則過這三點的二次插值多項式中x2的系數為拉格朗日插值多項式為1 1L2(X)2(x 2)(x 3) 2(x 1)(x 3)2(x 1)(x 2)4、近似值 x*0.231 關于真值 x 0.229 有(2 )位有效數字;5、設f(x)可微,求方程x f(x)的牛頓迭代格式是()；&對f(x)x3X1,差商f0,1,2,3( 1 ),f0,1,2,3,4( 0 )；7、 計算方法主要研究(截斷)誤差和(舍入)誤差；8、 用二分法求非線性方程 f (x)=0 在區間(a,b)內的根時，二分 n 次后的誤差限為b a(莎)；、填空題:1

2、、,則 A 的 LU 分解為答案:14 154115 40156 152、已知f(1)31f(x)dx1.0, f(2)1.2, f(3)=3，則用辛普生(辛卜生)公式計算求得,用三點式求得f (1)答案： ，Xn 1Xn答案xn1 f (xn)f (Xn)3、f(1)答案：-1，01y= f (x, y)， y(xo)=y的改進的歐拉公式為9、求解一階常微分方程初值問題hYn 1yn-f (xn,yn) f(xn 1, Yn 1)2)；10、已知 f(1) = 2, f (2) = 3, f=，貝次Newton 插值多項式中 x2系數為()；f(x)dxf(遼)(022 32 3)，代數精度

3、為(5 );不為零)。14、 用二分法求方程f(x) x3x10在區間0,1內的根,進行一步后根的所在區間為，1,進行兩步后根的所在區間為 ,。yfxdx15、 計算積分0.5 -,取 4 位有效數字。用梯形公式計算求得的近似值為 ，用辛卜生公式計算求得的近似值為，梯形公式的代數精度為 丄，辛卜生公式的代 數精度為 3。3x15x21x1(k 1(1 5x2k)/316、求解方程組0.2x1 4x2 0的高斯一塞德爾迭代格式為_炒1)X1(k1)/20該迭丄代格式的迭代矩陣的譜半徑(M)=_12 。17、設f(0) 0, f(1) 16, f (2) 46,則 h(x) _h(x) x(x 2

4、)_，f (x)的二次牛頓插值多項式為N2(X)16x 7x(x 1)11兩點式高斯型求積公式0f(x)dx“011、12、 解線性方程組 Ax=b 的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A 的各階順序主子式均1013、為了使計算x 1 (x 1)4623(x 1)的乘除法次數盡量地少，應將該表達式改寫為Y 10(3(46t)t)t,t 、x 1_,為了減少舍入誤差，應將表達式2001. 1999改寫為2001”1999有(2n 1)次代數精度18求積公式bf(x)dxanA -324 . 7500 是舍入得到的近似值，它有(C位有效數字。C. 7 D11、設 f (-1)=1, f (0)=3,

5、 f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數為(A )。-212、三點的高斯型求積公式的代數精度為C. 513、( D )的 3 位有效數字是X102。(A)X103 (B)X10-2 (C)(D)X10-1x(A)(B)(C)x2,迭代公式：Xk 1X 11 A ,迭代公式:Xk 1x1 X2,迭代公式:Xk 11 AXk2J/3(1 Xk)的根是(B)。(A) y= (x)與 x 軸交點的橫坐標(B) y=x 與 y= (x)交點的橫坐標15、16、(C) y=x 與 x 軸的交點的橫坐標用列主元消去法解線性方程組(A) - 4(B) 3 (C) 4(D)(D) y=x3x1花4x-|x

6、24x312x29x3拉格朗日插值多項式的余項是與 y= (x)的交點01，第 1 次消元，選擇主元為),牛頓插值多項式的余項是(C )(A) f(x,x0,x1,x2.,xn)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),(n 1)Rn(x)f (x)(B)Pn(x) j(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2.Rn(x) f(x)17、(D)等距二點求導公式,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn)，(n 1)fn 1(X)Pn(X)d(n 1)!f (x1)( A )。(A)f(x1)f(x0)(B)f(X1) f(X0)(C)f(X0) f(X

7、1)(D)f(X1) f(X0)X0X1X。X1X1X018、用牛頓切線法解方程 f(x)=0，選初始值 x0 滿足(A ),則它的 解數列xnn=0,1,2,一定收斂到方程 f(x)=0 的根。(A)f(x)f(x) 0(B)f(x)f(x) 0(C)f(x)f(x) 0(D) f (x) f (x) 019、為求方程 x3 x2仁 0 在區間,內的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )y f (x, y)20、求解初值問題y(x ) y歐拉法的局部截斷誤差是();改進歐拉法的局部截斷誤差是()；四階龍格庫塔法的局部截斷誤差是(A )hhhf(xn?Y

8、nhf(xnYn)求解初值問題y 2y,y(0) 1，x012f(x)-2-1223、有下列數表所確定的插值多項式的次數是()。(1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次Xi12327、由下列數表進行 Newt on 插值，所確定的插值多項式的最高次數是()x31 x2,迭代公式：Xk 11(D)2XkXk1(A)0(h2)(B)0(h3)21、解方程組Ax b的簡單迭代格式(C)0(h4)(k 1)x(D)0(h5)Bx(k)g收斂的充要條件是(1)(A)2)(B) 1(A)1,(B) 122、在牛頓-柯特斯求積公式:bf(x)dxa(bna)i 0C(n)f(Xi)C(n)中，當系數C

9、i是負值時，公式的穩定性不能保證，所以實際應用中，當()時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。(1)n 8，( 2)n 7，( 3)n10，(4)n 6，試問為保證該公式絕對穩定，步長h的取值范圍為(1)h 1, (2)01,(3)0 h 1, (4)025、31.732計算(巧1)，下列方法中哪種最好(1616(A)28(B)(42.3)2；(4 2,3)2；(D)(3 1)4。26、S(x)已知2(x1)3a(x 2)x 4是三次樣條函數，則a,b的值為()(A)6，6 ；(B)68；(C)8，6；(D)8，8。24、若用二階中點公式yn 1yn31、經典的四階龍格一庫塔公式的局部截斷誤差為()

10、4253(A)O(h)；(B)0(h)；(C)O(h )；(D)O(h )。9kh(k)32、 設li(x)是以xkk(k 0,1丄，9)為節點的 Lagrange 插值基函數，則k 0()(A)x；( B)k；( C)i；( D)1。36、由下列數據f (Xi)-13;5;2。( D)(B)4；(C)(A)9；(B)7;(C)5；(D)3。29、 計算3的 Newton 迭代格式為()Xk3xk3Xk2Xk3Xk 1Xk 1Xk 1Xk 1(A)2Xk；(B)22Xk.(C)2Xk； (D)3 Xko-10330、 用一分法求方程x 4x 100在區間1,2內的實根，要求誤差限為2，則對分(

11、)次數至少為()(A)5 ;(B)4(C)6(D)3。3X0 x2S(X)2(x八3a(x 2)b 2 x 4是三次樣條函數，則a,b的值為()34、已知1)(A)6 , 6;(B)68；(C)8,6;(D)8, 8。33、 5 個節點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數精度0在x 2附近有根，下列迭代格式中在35、已知方程x02不收斂的是(A)28、形如baf(x)dxAif (xi)A2f(X2)Aaf(X3)的高斯(Gauss)型求積公式的代數精度為(A)10 ;(B)12;(C)8(D)9x32x(A)xk1(B)xk 12嚴3xk；(Qxk 1xkxkXk(D)3xi2。X01

12、234f(x)1243-5確定的唯一插值多項式的次數為（）（A） 4 ; （B）2;（C）1；（D）3。37、5 個節點的 Gauss 型求積公式的最高代數精度為（）（A）8 ；（B）9；（C）10； （D）11。三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打，否則打 ）1、 已知觀察值（Xi，yi）（i ，1,2，m）,用最小二乘法求 n 次擬合多項式Pn（x）時,Pn（x）的次數 n 可以任意取。（）2X2、 用 1- 2 近似表示 cosx 產生舍入誤差。（）（X Xo）（ X X2）3、（x1Xo）（X1X2）表示在節點 X1的二次（拉格朗日）插值基函數。（）4、牛頓插值多項式的優點是在計算時

13、，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結果。( )31 125 35、矩陣 A=125具有嚴格對角占優。()四、計算題：4x2X2X311X14X22X3181、用高斯-塞德爾方法解方程組2X1X25X3（0）T22，取x（0,0,0），迭代四次（要求按五位有效數字計算）。答案：迭代格式x；k1-(1142x2k)x3k)x2k 1-(184X1(k 12x3k)x3k1)11- (2252x；k。x2k1）k(k)X1(k)X2(k)X30000123412、求 A、B 使求積公式1f(x)dx Af(里0.692861403、已知Xi1345f (xj2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值

14、法求f (x)的三次插值多項式的近似值(保留四位小數)。L(X)2(x 3)(x 4)(x 5)6(x 1)(x 4)(x 5)3(1 3)(1 4)(1 5)(3 1)(3 4)(3 5)i i1) f(1) Bf(?)9)的代數精度盡量高,并求其代數精度；利用此公式求2-dx1x(保留四位小數)。2答案：f(x)1,x,x是精確成立，即2A 2B2A21求積公式為1f(x)dx11f( 1)f(1)88f(12)1f(-)當f(x)x3時，公式顯然精確成立；當f(x)4x時，左=5，右=3。所以代數精度為 3。21tdx1x2x 311 1 11t 3dt91311 38 191/2311

15、 23P3(x)，并求f(2)答案:5(X1)(X3)(x5)4(X1)(x(4 1)(43)(45)(5 1)(53)(5 4)差商表為Xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-101/4P3(x)N3(X)2 2(x 1) (x 1)(x 3) -(x 1)(x 3)(x 4)4f(2)P3(2) 5.54、取步長 h 0.2，用預估-校正法解常微分方程初值問題V2x 3yv(0)1(0 x1)v(0)yn 1Vn0.2糾3Vn)答案：解：Vn 1Vn0.1(2Xn3Vn)(2Xn 13Vn0)1)即Vn 10. 52Xn1.78 Vn0.04n012345Xn0Vn15

16、、已知Xi-2-1012f (Xi)42135求f (x)的二次擬合曲線P2(X)，并求f (0)的近似值。答案：解:iXiyi2Xi3Xi4XiXiy2Xiyi0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343415a010a21510a13正規方程組為10a34 a24110311a。,a1,a271014103112311P2（X）xXP2（X）X7 10141073f （0） P2（0）-6、已知 sinx 區間,的函數表XiYi如用二次插值求 sin0.63891 的近似值，如何選擇節點才能使誤差最小并求該近似值答

17、案：解：應選三個節點，使誤差M3|R2（X）|訐I3（x）13!盡量小，即應使丨3(x)|盡量小，最靠近插值點的三個節點滿足上述要求。即取節點0.5,0.6,0.7最好，實際計算結果SinO .63891 0.596274,sin0.63891 0.59627413 (0.638910.5)(0.63891940.55032 10則當 x （0，1）時故迭代格式收斂。取x05，計算結果列表如下:n0123xn127 872424 785877 325n4567x595 993517 340525 950525 008且滿足 1x7X6|0.000 000 95106.所以x*0.090 525

18、 008X12X23X3142x5x22X3188、利用矩陣的LU分卜解法解方程組3xX25X320。11 23ALU2 114答案：解：35 124(x)存ex)，1 (x)|；0e100.6)(0.638910.7)7、構造求解方程e10 x 2 0 的根的迭代格式Xn 1（Xn）,n 0,1,2,，討論其收斂性，并將根求出來,|xn 1xn|104o答案：解：令f（x）10 x2,f(0)20,f (1)10 e且f (x) ex10f(x)0在(0,1)內有唯一實根將方程f（x）0變形為x存2令 Ly b 得 y (14, 10,72)T, Ux y 得 x (1,2,3)T.3x12

19、X210 x31510 x4X2X359、對方程組2x110X24X38(1)試建立一種收斂的 Seidel 迭代公式，說明理由；(2)取初值X(0)(0,0,0)T，利用(1)中建立的迭代公式求解，要求|x(k 1)x(k)|103。解：調整方程組的位置，使系數矩陣嚴格對角占優10X14X2X352X110X24X383X12X210X315故對應的高斯一塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取x(o)(0,0,0)T,經 7 步迭代可得:X*X(7)(0.999 991 459, 0.999 950 326, 1.000010)T10、已知下列實驗數據Xif(Xi)試按最小二乘原理求一次多項式擬合以

20、上數據1解：當0X232(B)21, Gauss-Seidel 迭代法發散魚2x y dx38、( 10 分)對于一階微分方程初值問題y()1，取步長h 0.2，分別用 Euler 預報校正法和經典的四階龍格一庫塔法求y(0-2)的近似值。解：Euler 預報校正法yn 1yn0.2(2Xnn)0.4Xn0創.yn 1yn0.1(2Xn:y2Xn 1yn0)1)0.16Xn0.2Xn10.82%y(0.2)y10.2 0.20.82 1 0.86經典的四階龍格一庫塔法yn 1yn6(k12k22k3k4)k12Xnynk22(Xn0.1) (yn0.1k1)k32(Xn0.1) (yn0.1k

21、2)k42(Xn0.2) (yn0巫）y(0.2)y0.8562(k11.5041; k21.5537; k31.5487; k41.5943)39、 （10 分）用二步法yn 1ynh2f（Xn，yn）f（Xn 1，yn 1）求解一階常微分方程初值問題f(x, y)yy(Xo) yo，問：如何選擇參數的值, 才使該方法的階數盡可能地高寫出此時的局部截斷誤差主項，并說明該方法是幾階的。解：局部截斷誤差為Tn 1y(Xn 1)y(Xn)f (Xn 1，y(Xn 1)h2y(Xn) hy (Xn) y2!h2y(Xn) hy (Xn) y(Xn)(Xn)h3y3!h3y3!(Xn)(Xn)O(h4

22、)O(h4)y(Xn)y(Xn)h-y (Xn)y (Xn 1)2h2 y(Xn)h2 y(Xn) hy (Xn)h(122）y（Xn）2!h22!yh2(1(Xn)O(h3).3,3)y(xn)(-4)y (Xn) O(h )因此有1局部截斷誤差主項為5h312y（Xn），該方法是 2 階的。40、（10 分）已知下列函數表:1031解：(1)歐拉預報-校正法：yn0)iyn0.2(8 3yn) 1.6 0.4ynyn 1yn0.1(8 3yn8 3(1.6 0.4yn) 1.12 0.58%y(0.2) yi2.28(2)經典四階龍格-庫塔法：yn 1yn6(ki2k22k3kJki83y

23、nk283(yn0.1k1)k383(yn0.1k2)k483(yn0.2k3)X0123f(x)13927解: (1)(X1)(X2)(X3)(0 1)(0 2)(0 3)(X0)(X2)(X3)(10)(12)(1 3)(X0)(X1)(X3)(2 0)(2 1)(2 3)(X0)(X1)(X2)(3 0)(3 1)(3 2)43281X2XX33011322962(2)均差表：3271864X(X31)(X2)f (1.5) N3(1.5)541、(10分)取步長h0.2，求解初值問題dydxy(0)3y(x 0)，分別用歐拉預報一校正法和經典四階龍格一庫塔法求y(0.2)的近似值。寫出相應的三次 Lagrange 插值多項式;(2)作均差表，寫出相應的三次Newton 插值多項式，并計算f (1.5)的近似值。L3(X)43N3(X)12X2X(X1)y(0.2 )y12.30041200Jacobi 迭代矩陣：2 242、(10 分)取 5 個等距節點，分別用復化梯形公式和復化辛普生公式計算積分近似值(保留 4 位小數)。(2 分)(1)復化梯形公式(n=4,h=2/4=):0.5T41 2 (0.666667 0.333333 0.181818) 0.1111110.868687復化梯形公式(n=2,h=2/2=1 ):1S2-1 4 (0.666667 0.181