1、-作者xxxx-日期xxxx空間向量及其運(yùn)算知識(shí)總結(jié)【精品文檔】空間向量及其運(yùn)算1空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量向量一般用有向線(xiàn)段表示同向等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一或相等的向量空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線(xiàn)段來(lái)表示2空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下;運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3平行六面體：平行四邊形ABCD平移向量到的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作：ABCD它的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱4. 平面向量共線(xiàn)定理方向相同或者相反的非零向量

2、叫做平行向量由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線(xiàn)上，所以平行向量也叫做共線(xiàn)向量向量與非零向量共線(xiàn)的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使.要注意其中對(duì)向量的非零要求5 共線(xiàn)向量如果表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量平行于記作當(dāng)我們說(shuō)向量、共線(xiàn)（或/）時(shí)，表示、的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)可能是同一直線(xiàn)，也可能是平行直線(xiàn)6 共線(xiàn)向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（），/的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使.推論：如果為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線(xiàn)，那么對(duì)于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足等式 其中向量叫做直線(xiàn)的方向向量.空間直線(xiàn)的向量參數(shù)表示式：或，

3、中點(diǎn)公式 7向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線(xiàn)平行于或在內(nèi)，那么我們說(shuō)向量平行于平面，記作：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的8共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線(xiàn)，與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)使推論：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使 或?qū)臻g任一點(diǎn)，有或 上面式叫做平面的向量表達(dá)式9 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三

4、個(gè)有序?qū)崝?shù)，使10 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱(chēng)與互相垂直，記作：.11向量的模：設(shè)，則有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：.12向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點(diǎn)在上的射影，作點(diǎn)在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影. 可以證明的長(zhǎng)度13空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）（2）（3）14空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）（2）（交換律）（3）（分配律）空間向量的直角坐標(biāo)及其運(yùn)算 1 空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，這個(gè)基底

5、叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱(chēng)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為平面，平面，平面；2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)AA'DBB'D'CC'yzx常見(jiàn)坐標(biāo)系正方體：如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，一般選擇點(diǎn)為原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)

6、為亦可選點(diǎn)為原點(diǎn).在長(zhǎng)方體中建立空間直角坐標(biāo)系與之類(lèi)似. BCADOzxy正四面體：如圖所示，正四面體的棱長(zhǎng)為，一般選擇在上的射影為原點(diǎn)，、（或）、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為正四棱錐：ABCDPOxyz如圖所示，正四棱錐的棱長(zhǎng)為，一般選擇點(diǎn)在平面的射影為原點(diǎn)，（或）、（或）、所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為正三棱柱：如圖所示，正三棱柱 的底面邊長(zhǎng)為，高為，一般選擇中點(diǎn)為原點(diǎn)，（或）、（為在上的射影）所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為 3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：B'C'A'CABxyzOE（1）

7、若，則， ，（2）若，則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)4 模長(zhǎng)公式：若，則，5夾角公式：6兩點(diǎn)間的距離公式：若，則，或 空間向量應(yīng)用一、直線(xiàn)的方向向量把直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱(chēng)為直線(xiàn)的方向向量.在空間直角坐標(biāo)系中，由與確定直線(xiàn)的方向向量是.平面法向量 如果，那么向量叫做平面的法向量.二、證明平行問(wèn)題1線(xiàn)線(xiàn)平行：證明兩直線(xiàn)平行可用或.：直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，且，若即則.：平面的法向量為，平面的法向量為，若即則.三、證明垂直問(wèn)題1線(xiàn)線(xiàn)垂直：證明兩直線(xiàn)垂直可用2線(xiàn)面垂直：直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，且，若即則.：平面

8、的法向量為，平面的法向量為，若即則.四、求夾角1線(xiàn)線(xiàn)夾角：設(shè)為一面直線(xiàn)所成角，則：；.2線(xiàn)面夾角：如圖，已知為平面的一條斜線(xiàn)，為平面的一個(gè)法向量，過(guò)作平面的垂線(xiàn)，連結(jié)則為斜線(xiàn)和平面所成的角，記為易得nOPA.3 面面夾角：設(shè)、分別是二面角兩個(gè)半平面、的法向量，當(dāng)法向量、同時(shí)指向二面角內(nèi)或二面角外時(shí)，二面角的大小為；當(dāng)法向量、一個(gè)指向二面角內(nèi)，另一外指向二面角外時(shí)，二面角的大小為.五、距離1點(diǎn)點(diǎn)距離：設(shè)，2點(diǎn)面距離：為平面任一點(diǎn)，已知為平面的一條斜線(xiàn)，為平面的一個(gè)法向量，過(guò)作平面的垂線(xiàn)，連結(jié)則為斜線(xiàn)和平面所成的角，記為易得.3線(xiàn)線(xiàn)距離：、的公垂線(xiàn)的方向向量為, 這時(shí)分別在、上任取、兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線(xiàn)、的距離.即兩異面直線(xiàn)間的距離等于兩異面直線(xiàn)上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線(xiàn)方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線(xiàn)的方向向量模的比值.直線(xiàn)、的距離.4線(xiàn)面距離：一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線(xiàn)上任