1、第十講余數問題常考的余數問題基本可以分成四類：帶余除法、余數周期問題、同余問題、 “物不知 其數”。解題時關鍵要分清楚它到底是想考你什么，這樣才能拿出正確的破解方法。下面 我簡單談談這四類問題： 帶余除法。一般地，如果.a是整數，b是整數(bM0),那么一定有另外兩個整數q和r, 使得 a十b = q r 或a = bx q+ r當r=0時，我們稱a能被b整除。當r工0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數，q為a除以b的不完全 商( 也簡稱為商 ) 。帶余除法最關鍵就是理清被除數、除數、商、余數的關系，特別需要注意的是，余數 肯定小于除數。出題者常常會在這里設置陷阱。 余數周期。這其中

2、又分為遞推數列(給一串數，要求第x個數除以某個數的余數)和 n次幕(求 一個數的 n 次方除以某個數的余數) 相關的余數問題， 處理這兩類問題一個最直接的做法 就是找規律，因為它們除以某數的余數都是有周期的。例如，求3130 13的余數。例如尖子班作業 1 。 同余問題。1、什么是“同余”？整數a和b除以整數c,得到的余數相同，我們就說整數a、b對于模c同余記作：a = b (mod c)例如：15寧4= 3323-4= 5315 和23對于除數 4同余。記作：15 = 23(mod4可以理解為 15和 23除以 4的余數相同。2、“同余”的四個常用性質是什么？同余性質1: 如果a = b (

3、mod m)，則 m|(a b) 若兩數同余，他們的差必是除數的倍數。例如， 73 三 23 (mod 10)貝U 10 |( 73 23) 73 與23的差是10的倍數。同余性質2：如果a = b (mod m)c = d (mod m), 貝Ua ± c = b ± d (mod m) 兩數和的余數等于余數的和。 兩數差的余數等于余數的差。例如，73 三 3 (mod 10)84= 4 (mod 10)73+84三 3+4 三 7 (mod 10)84 73三 4-3 三 1(mod 10)同余性質3：如果a三b(模 m)，c三d(模 m),則a X c三b X d(模

4、 m)兩數積的余數等于余數的積。例如，8473 三 3(三4(73X 84 三3X4三 2(模 10)模 10)模 10)同余性質 4：如果a 三b(模 m)貝U a n三bn(模 m)某數乘方的余數，等于余數的乘方。例如，40三 1(mod134031 三 131 三 1(mod13很多人分不清同余問題和 “物不知其數”問題的區別。舉個例子： “一個自然數除 429、 791、500所得的余數分別是a+ 5、2a、a,求這個自然數和a的值。”這是同余問題，已 知被除數和余數，求除數。這種問題就是想辦法把余數都化為相同的數，然后兩兩做差求 最大公約數，就是“物不知其數”問題。4、 “物不知其數

5、”。與同余問題相對應的是“物不知其數” ，例如：“一個數除以 3 余 2，除以 5 余 3， 除以 7 余 2，求這個數。” 這種問題有兩個萬能方法：逐級滿足和中國剩余定理。但是 考試往往不考這兩個方法， 這兩個方法往往也比較繁瑣。 考試題里不妨去研究研究題中給 的除數和對應的余數的關系(和或差) ，若他們的和或差相同，那么就有簡單的解題方法(即所謂“加同補” 、“減同余”)，實在沒有，再考慮逐級滿足和中國剩余定理。 我們在解決 “物不知其數”題目，有“四大絕招”把余數問題轉化為“整除問題” ： 絕招一：減同余。例 2、例 3絕招二：加同補。例 4、作業 4 、學案 3絕招三：中國剩余定理。絕

6、招四：逐級滿足法。例 1 （ 3130 3031 ）被 13 除所得的余數是多少 ?分析：31被13除所得的余數為5,當n取I , 2, 3,時，5n被13除所得余數分 別是5, 12, 8, I , 5,12., 8, I，以4為周期循環出現，所以530被I3除的余數與 52被 1 3除的余數相同，余 12。即 3130除以 13的余數為 12。30被13除所得的余數是4,當n取I , 2, 3,時，4n被13除所得的余數 分別是4, 3, 12, 9, 10, 1, 4, 3, 12, 9, 10,，以6為周期循環出現，所以431 被 I3 除所得的余數等于 41被13除所得的佘數，即 4

7、，故 3031除以 13的余數為 4。所以，（3130+ 3031 ）被13除所得的余數是I2 + 413= 3解：31三5（模 13）3130三530三52三12（模 13）30三4（模 13）3031311=4 = 4 = 4（模 13）31 30+ 3031 三 12+ 4 三 3（模 13）答：（31303031）被 13除所得的余數是點睛：用到同余的性質“某數乘方的余數等于余數的乘方” “兩數和的余數等于余數 的和”。例2 一個大于1的數去除290, 235, 200時，得余數分別為a,a十 2,a十5,則這 個自然數是多少 ?分析：根據題意，這個自然數去除290, 233, 195

8、時，得到相同的余數（都為a ）。既然余數相同，根據同余性質“若兩數同余，他們的差必是除數的倍數。 ”可知 其中任意兩數的差都是除數的倍數。290 233= 57233 195= 38290 195= 95除數是 57、38、95的公約數，（ 57， 38，95）= 19 答：這個自然數是 19。例 3 學前班有幾十位小朋友，老師買來 176 個蘋果， 216 塊餅干， 324 粒糖，并將它們盡可能地平均分給每位小朋友。余下的蘋果、餅干、糖的數量之比是1 : 2 : 3,問學前班有多少位小朋友？分析： 設分完后余下蘋果x個，余下餅干 2 x個，余下糖3x粒。176十人數=A個x216十人數=B個

9、2x324十人數=C個3x 176 X 2 216= 136; 176 + 216 324= 68; 176 X 3 324= 204（ 136，68，204） = 68學前班有幾十位小朋友， 并且人數是 68的約數，68的約數中是幾十的只有 68 和 34 兩個。檢驗：176-34= 5個6-34= 6個12216324十34= 9個18 34人符合題意。檢驗：176十68= 2個40216十68= 3個1268人不符合題意。答：學前班有34位小朋友。例4 200以內除以3余I，除以4余2,除以5余3的自然數有多少個？分別是多少？ 分析： 通過觀察我們發現，除數和余數的差都為 2。被除數補上

10、2之后，除以3、4、5都能整除；也就是說，被除數補上 2之后是3、4、5的公倍數。3，4, 5 = 60,補上2之后是60的倍數。200以內60的倍數有60、120、180共3個。相應的，符合要求的自然數也有 3個，分別是：58、118、17 8。例5（1998年小學數學奧林匹克預賽）某數除以11余8，除以13余10，除以17余12,那么這個數的最小可能值是 。分析： 觀察到11 8= 13- 10= 3,某數補上3之后是11和13的公倍數。11, 13 = 11X 13= 143設某數為143n- 3。143 n 三 7n（模 17）3三3（模17）143 n 3 三 7n- 3（模 17）

11、只有當 n = 7 時，7X 7- 3= 46, 45- 17 余 12。n最小等于7,那么這個數的最小可能值是 143X 7-3 = 998答：這個數的最小可能值是998。例6（2000年“祖沖之杯”小學數學邀請賚試題）三個不同的自然數的和為2001,它們分別除以19, 23, 31所得的商相同，所得的余 數也相同，這三個數是 , , 。分析：設所得的商為a,余數為b（19 a + b） + （ 23 a+ b） + （ 31 a + b）= 200173a+ 3b = 2001 b v 19（2）2001- 73 = 2730a= 27, b= 10這三個數分別是 19X 27+ 10=

12、523; 23X 27+ 10= 631; 31 X 27+ 10= 847; 答：這三個數分別是 523、631、847。超常挑戰三個連續自然數依次可以被 5整除、被7整除、被11整除，那么這三個自然數最小 為多少？分析： 設這三個自然數分別為X- 1,x,x+ 1。5的倍數7的倍數原數x 1x2倍2x 22x轉化2x 72x 72 x 7既是5的倍數也是7的倍數，是5和7的公倍數。5 , 7 = 35, 設2 x 7= 35K, （K為自然數）當 K= 1 時，2x 7= 35x= 21x 1= 20是5的倍數；x= 21是7的倍數；x+ 1= 22是11的倍數家庭作業1. 著名的裴波那契

13、數列是這樣的：I、2、3、5、8 13、21、,這串數列當中第2010 個數除以3所得的余數為多少？分析： 斐波那契數列的構成規則是從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和。根據“兩數和的余數等于余數的和”將裴波那契數列轉換為被3除所得余數的數列：I、丨、2、0、2、2、1、0、I、丨、2、0、2、2、1、0、裴波那契數列被3除的余數一一每8個余數為一個周期循環出現。由于2010-8 = 2512,所以第2010項被3除所得的余數與第2項被3除所得的 余數相同，余數為1。2. 一個數去除70、103所得的余數為a、 2a+ 2,求a的值。 解：用數學表達式表述題意70寧 n= A a103

14、- n= B2a+ 2把式轉化為（70 X 2 + 2）十n = 2A2a+ 270 X 2+ 2= 142142 與103除以n的余數相同，根據同余的性質定理（1）, n能整除142與103 的差。142 103= 39, n能整除39, n是39的約數。39的約數有1、3、13、39,經檢驗，n= 13。70- 13= 55103- 13= 712 （12= 2X 5+ 2）所以，n = 53. 一個大于10的自然數去除90、164后所得的兩個余數的和等于這個自然數去除220后所得的余數，則這個自然數是多少？解：設這個大于10的自然數為n。根據同余的性質定理（二），兩數和的余數等于余數的和

15、。用n去除90、164后所得的兩個余數的和等于用n去除220所得的余數，而90+ 164= 254。254和220除以n所得的余數相同，于是254 220= 34是n的倍數，n是34的約數。34的約數有1、2、17、34，因為n是大于10的自然數，所 以n只能是17或34。當 n= 34 時，90-34= 222 ; 164- 34= 428; 220- 34= 61622+ 28工 16所以，n 34當 n= 17 時，90- 17= 55; 164- 17= 911; 220- 17 = 12165+11 = 16所以，n = 17答：符合要求的自然數是17。.4. 一個小于200的數，它

16、除以11余8,除以13余10，這個數是多少？ 解：先把已知條件用數學表達式寫出來，設所求的自然數為N。N- 11 =8N- 13=10這兩個除法算式的余數與除數的差都是“ 3”， 11 8= 13- 10= 3。把被除數 N加上3之后 除以11和13都能整除，也就是說(N+ 3)是11和13的公倍數。11，13 = 143，143 3= 140，140 就是所求的數。5. 一個數除以5余3,除以6余4,除以7余I，求滿足條件的最小的自然數。 解：用數學式子表示題意N 寧5=3N寧 6=4N寧 7 =1根據前兩個條件，N+ 2后除以5和6都能整除，沒有余數。N+ 2是5和6的公倍數， N比5和6

17、的公倍數少2,符合前兩個條件的最小的自然數是5X 6 2= 28。在比5和6的公倍數少2的數中尋找除以7余1的數。5和6的最小公倍數是3030 2= 2830 X 2 2 = 5830X 3 2= 8830 X 4 2 = 11830X 5 2= 148除以7的余數02461答：除以5余3,除以6余4,除以7余1的最小的自然數是1486、( 2004年福州市“迎替杯”小學數學競賚試題)一個自然數，除以11時所得到的商和余數是相等的，除以9時所得到的商是余數的3倍，這個自然數是 。解： 設這個自然數除以11的商和余數都是A,除以9所得的余數是B。這個數十11 = AA這個數=11A+ A= 12

18、 A(AV 11)這個數十9= 3BB這個數=27B+ B= 28B( Bv 9)12A= 28B3A= 7BA= 7, B = 3這個數=12 A = 12X 7= 84這個數=28 A= 28 X 3= 84答：這個自然數是84。尖子班學案【學案1】（2007年實驗中學考題）12+ 22 + 32 + 42 + 52+ 62 + 20012+ 20022除以7所得的余數為多少? 解：1 2+ 22 + 32 + 42+ 52 + 62 + 20012+ 20022=1001 X 2003 X 13351001 是 7 的倍數，1001 X 2003X 1335 也是 7 的倍數。所以 12

19、 + 22 + 32 + 42 +52 + 62+ 20012+ 20022除以7所得的余數為0。解： 603-A B14r939-A B22r393-A B3r把余數處理成相同,再相減603-A B14r（ 939X 2）A B2X 2 4r（ 393X 4）A B3X 4 4r393X4=1572,939X2=1878,原題轉化成“ 1572、 1878、 603 除以 A 的余數相同,求 A是多少”。這三個數兩兩相減的差是1878 1572 306; 1878 603 1275 ; 1572 603 969。 A 是 306、1275、969 的公約數。(306、 1275、969）51

20、 3X 17 A 是 51 或 17,不會是 1 和 3。經檢驗, A等于 17。603-17 358939-17 554393-17 232答： A 等于 17。【學案2】甲、乙、丙三個數分別為603、939、393。某數A除甲數所得的余數是 A除乙數所余數的 2 倍，A除乙數所得的余數是 A除丙數所的余數的2倍。求A等于多少?【學案 3】 五班同學上體育課，排成 3 行少 l 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 l 人， 排成 6 行多 5 人。問上體育課的同學最少有多少名?分析： “排成 3 行少 l 人”，如果補上 1 人正好排成 3 行，補上 1 人后人數是 3 的 倍數。同理