1、第一章1-1一維運動的粒子處在下面狀態將此項函數歸一化；求粒子坐標的概率分布函數；在何處找到粒子的概率最大?解：（1）由歸一化條件，知 得到 歸一化常數 所以 歸一化波函數為 （2）粒子坐標的概率分布函數（3）令 得到 ，根據題意x=0處，所以處粒子的概率最大。1-2若在一維無限深勢阱中運動的粒子的量子數為n。距勢阱的左壁1/4寬度內發現粒子概率是多少?n取何值時，在此范圍內找到粒子的概率最大?當n時，這個概率的極限是多少?這個結果說明了什么問題?解：（1）距勢阱的左壁1/4寬度，即x的取值范圍是-a-a/2，發現粒子概率為：（2）n=3時，在此范圍內找到粒子的概率最大。（3）當n時，。這時概

2、率分布均勻，接近于宏觀情況。1-3一個勢能為的線性諧振子處在下面狀態，求歸一化常數A；在何處發現振子的概率最大；勢能平均值解： （1）利用泊松積分由歸一化條件： （2） 振子的概率密度 令，即振子出現的概率最大位置是x=0。 （3）勢能平均值 1-4設質量為m的粒子在下列勢阱中運動，求粒子的能級。解: 注意到粒子在半勢阱中運動，且為半諧振子。半諧振子與對稱諧振子在x>0區域滿足同樣的波動方程，但根據題意，x<0區域，勢函數為無窮，因此相應的波函數為零，從而破壞了偶宇稱的狀態。這樣，半諧振子定態解則為諧振子的奇宇稱解（僅歸一化常數不同） 1-5電子在原子大小的范圍(10-10m )內

3、運動，試用不確定關系估計電子的最小能量。解： 電子總能量 作近似代換，設 ，于是所以電子的最小能量 ，此式與薛定諤方程得到的氫原子基態能量表達式相同。1-6氫原子處在基態，求：r的平均值；勢能的平均值；最可幾半徑。解：（1）r的平均值 （2）勢能的平均值 （3）最可幾半徑粒子在球殼r-r+dr范圍中出現的概率如下： 由 得到r=a處電子出現的概率最大。1-7設一體系未受微擾作用時，只有兩個能級E01及E02，受到微擾作用，微擾矩陣元 。a，b都是實數，用微擾公式求能級的二級修正值。解：根據非簡并微擾公式，有1-8氫分子的振動頻率是1.32×1014Hz，求在5000K時，下列兩種情況

4、下振動態上粒子占據數之比。n=0，n=1；n=1，n=2。氫分子的振動看作為諧振子，因此振子能量為 振動態上被粒子占據的概率服從M-B分布，則（1） n=0，n=1 時， （2） n=1，n=2時， 1-9求在室溫下(k0T=0.025ev)電子處在費米能級以上0.1ev和費米能級以下0.1ev的概率各是多少? （已知F-D分布概率函數為）費米能級以上0.1eV的概率： 費米能級以下0.1eV的概率： 第二章 2-1.試說明格波和彈性波有何不同?提示：從晶格格點分立取值和晶格周期性特點出發分析與連續介質彈性波的不同。2-2. 證明：在長波范圍內，一維單原子晶格和雙原子晶格的聲學波傳播速度均與一

5、維連續介質彈性波傳播速度相同，即：式中，E為彈性模量，為介質密度。證明：在長波范圍內，即q0時；利用2-35，一維單原子的所以其中a為彈性模量E；m/a為介質密度；利用2-46，對于一維雙原子鏈的聲學波，所以；其中a為彈性模量E；(M+m)/2a為介質密度；2-3.設有一維原子鏈(如下圖所示)，第2n個原子與第2n+1個原子之間的恢復力常數為，第2n個原子與第2n-1個原子之間的恢復力常數為()。設兩種原子的質量相等，最近鄰間距為a，試求晶格振動的振動譜以及波矢q=0和q=/2a時的振動頻率。解：根據題意，原子運動方程為 設上兩式的行波解為將式（2）代入式（1），并整理得方程（3）中的A、B有

6、非零解，則方程組的系數行列式為零，得到所以 2-4. 一維雙原子晶格振動中，證明在布里淵區邊界處，聲頻支中所有輕原子m靜止，光頻支所有重原子M靜止。解：當時，對于聲頻支：將，代入2-43得：，即輕原子m靜止；對于光頻支：將，代入2-43得：，即重原子M靜止；2-5. 什么叫聲子?它和光子有何異、同之處?不同點：光子是電磁波能量的量子化；聲子是格波能量的量子化；相同點：都是玻色子，起傳遞能量的作用；2-6. 一維雙原子點陣，已知一種原子的質量m=5×1.67×10-27kg，另一種原子的質量M=4m，力常數=15N·m-1，求：(a) 光學波的最大頻率和最小頻率、(

7、b) 聲學波的最大頻率(c) 相應的聲子能量是多少eV?(d) 在300K可以激發頻率為、的聲子的概率?(e) 如果用電磁波來激發長光學波振動，試問電磁波的波長要多少?解：（a），（b），（c），（d）由玻色-愛因斯坦分布， ；(e) 由可得： 2-7. 設晶體中每個振子的零點振動能量，試用德拜模型求晶體的零點振動能。解：晶體的零點振動能E0是各振動模式零點能之和，并且2-8.設長度為L的一維簡單晶格，原子質量為m，間距為a，原子間的互作用勢可表示成。試由簡諧近似求（1）色散關系；（2）模式密度；（3）晶格熱容（列出積分表達式即可）解：（1）原子間的彈性恢復力系數為將上式代入本教材一維簡單晶格

8、的色散關系式（2-34）中，即，得到：（2）對于一維簡單晶格，有，q值分布密度在波矢中的振動模式數為，所以：所以， 代入上式，有（3） 利用教材第二章中的式（2-81），得 2-9. 有人說，既然晶格獨立振動頻率的數目是確定的(等于晶體的自由度數)。而h代表一個聲子。因此，對于一給定的晶體，它必擁有一定數目的聲子。這種說法是否正確?提示：不正確，因為平均聲子數與與溫度有關。2-10. 應用德拜模型，計算一維、二維情況下晶格振動的頻譜密度，德拜溫度，晶格比熱。解：（1）一維情況下，q值分布密度由習題2-7（2）的結論可知：，又因為，所以所以振動頻譜密度德拜溫度其中 滿足，所以利用教材第二章中的式

9、（2-81） ， 其中（2）二維情況下在波矢中的振動模式數為與一維求解思路相同，但必須注意二維時需計及兩種彈性波（一個縱波和一個橫波），則，所以振動譜密度； 德拜溫度，其中 滿足，所以， ；利用教材第二章中的式（2-81）2-11. 簡述絕緣體熱導在以下三個溫度范圍內和溫度的關系，并說明物理原因：T>>DT<<D介于、之間的溫度。提示：根據第二章中描述圖2-39的曲線的形成進行分析。第三章1. 按照經典的觀點，在室溫下，金屬中每個電子對比熱的貢獻為，按照量子論的觀點，如取，則為，只為經典值的1/60。試解釋何以兩者相差這么大。提示：兩種情況下電子服從的統計分布不同，量子

10、論觀點認為只有能量高于費米能的那些電子對比熱才有貢獻。2. 限制在邊長為L的正方形中的N個自由電子。電子能量(a) 求能量E到E+dE之間的狀態數；(b) 求此二維系統在絕對零度的費米能量。解： （a）二維平面波矢k的分布密度，那么以波失k為半徑的圓面積中的狀態總數為：，式中系數2的引入是因為考慮每個狀態可容納自旋相反的兩個電子。由公式3-7得到，所以；所以能態密度 得到能量E到E+dE之間的狀態數 （b）T=0 K時，系統總電子數可以表示如下，其中，電子濃度3. 設有一金屬樣品，體積為，其電子可看作自由電子，試計算低于5ev的總的狀態數。解：低于5ev的總的狀態數為 4. 在低溫下金屬鉀的摩

11、爾熱容量的實驗結果可寫成若一個摩爾的鉀有N=6×1023個電子，試求鉀的費米溫度和拜溫度。解：低溫下金屬的熱容量由電子熱容和晶格熱容構成，且電子熱容正比于T，晶格熱容正比于T3。所以有5. 一維周期場中電子波函數應當滿足布洛赫定理，若晶格常數是a，電子的波函數為(a)(b)(c) (f是某個確定的函數)試求電子在這些狀態的波矢解: (a) 所以 考慮到 則有 所以，僅考慮第一布里淵區，（b） 與（a）同樣方法，得，僅考慮第一布里淵區內，內（c） 與（a）同樣方法，得 ，僅考慮第一布里淵區內， 6.證明，當時，電子數目每增加一個，則費米能變化其中為費米能級的能態密度。解：由本教材第三章

12、的式（3-21）知電子每增加一個，費米能級的變化為注意到， ，所以并由本教材第三章的式（3-14）可得到：所以7.試證明布洛赫函數不是動量的本征函數提示：只要證明即可，其中為動量算符，為布洛赫函數8. 電子在周期場中的勢能且a=4b，是常數。試畫出此勢能曲線，并求此勢能的平均值。解：V(x)曲線如下圖所示：V(x)是以a為周期的周期函數，所以第四章4.當E-EF 分別為kT、4kT、7kT，用費米分布和玻爾茲曼分布分別計算分布概率，并對結果進行討論。解：電子的費米分布 ，玻爾茲曼近似為（1）E-EF=kT時 ，（2）E-EF=4kT時 ，（3）E-EF=7kT時 ，當遠大于1時，就可以用較為簡

13、單的玻爾茲曼分布近似代替費米狄拉克分布來計算電子或空穴對能態的占據概率，從本題看出E-EF=4kT時，兩者差別已經很小。5. 設晶格常數為a的一維晶格，導帶極小值附近的能量Ec(k)和價帶極大值附近的能量Ev(k)分別為 ，式中m為電子慣性質量，Å,試求出：（1）禁帶寬度（2）導帶底電子的有效質量；（3）價帶頂空穴的有效質量；（4）導帶底的電子躍遷到價帶頂時準動量的改變量。解： （1） 令 即 得到導帶底相應的 令 即 得到價帶頂相應的 故禁帶寬度 將k1= / a 代入，得到（2）導帶底電子有效質量 （3）價帶頂空穴有效質量 （4）動量變化為 7. 試證明半導體中當且電子濃度空穴濃度時，材料的電導率最小，并求的表達式。試問當n0和p0（除了n0= p0 =ni以外）為何值時，該晶體的電導率等于本征電導率？并分別求出n0和p0。已知解：（1）由 得 ，又，所以當，時，（2）當材料的電導率等于本征電導率時，有： 即 解得： 計算得： 故，時，該晶體的電導率等于本征電導率。15. 一塊補償硅材料，已知摻入受主雜質濃度NA=1´1015cm-3, 室溫下測得其費米能級位置恰好與施主能級重合，并測得熱平衡時電子濃度n0=5´1015cm-3 。已知室溫下本