1、正弦定理教學設計 潁上一中 施培松 一、教材分析本節內容安排在普通高中課程標準實驗教科書·數學必修5（北師大教A版）第一章，正弦定理第一課時，它既是初中解直角三角形在高中知識下的直接延拓，也是對高中坐標和圓等相關知識的綜合運用，是生產和生活中解決實際問題的重要工具。正弦定理給出了任意三角形邊角的一個等量關系，它與后面即將要講授的另一個邊角關系余弦定理都是解三角形的重要工具。本節課的主要內容是引入證明正弦定理及正弦定理的基本應用，在實際教學中，正弦定理這部分內容被分成了三個層次：第一層次教師通過引導學生對實際問題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問，以及特殊三角形中邊角

2、的關系的驗證，通過“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、等多種方法證明正弦定理，驗證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進行簡單的應用。學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發現和證明，感受“觀察實驗猜想證明應用”這一思維方法，養成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精神。二、學情分析對我們高二的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的聯系，帶領學生直接參與分析問題、解決問題

3、并品嘗勞動成果的喜悅。學生通過對定理證明的探究和討論，體驗到數學理論發現和發展的過程，進而培養學生提出問題、解決問題等研究性學習的能力。三、設計思想：培養學生學會學習、學會探究是全面發展學生能力的重要方面，也是高中新課程改革的主要任務。如何培養學生學會學習、學會探究呢？這就要求在教學過程中以學生為主體，充分的發揮學生的主觀能動性，也就是使學生在教師的指導下，自主進行思考和探究活動。本節課采用的是探究式課堂教學模式，即在教師的啟發引導下，以學生獨立自主和合作交流為主，以問題為導向設計教學情境，以“正弦定理的發現和證明”為基本探究內容，為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會，讓學生通過

4、個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，在知識的形成、發展過程中展開思維，逐步培養學生發現問題、探索問題、解決問題的能力和創造性思維的能力。四、教學目標：1在創設日常生活的問題情境中，讓學生從已有的幾何知識和處理幾何圖形的常用方法出發，由簡單到復雜，步步推進，探索和證明正弦定理。2通過對實際問題的探索，培養學生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生的協作能力和交流能力，發展學生的創新意識，培養創造性思維的能力。3認識數學知識之間的相互聯系，體會數學知識的不斷探索和發展的過程，同時培養學生嚴謹的數學思維。4培養學生合情合理探索數學規律的數學思想方法，通過平面幾何、三角形函數、正

5、弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。五、教學重點與難點教學重點：正弦定理的探索與證明；正弦定理的基本應用。教學難點：正弦定理的探索與證明。六、教學過程：（一）創立情景，導入新課師生活動：教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得CA距離，如果船上有測角儀我們能否計算出A、B的距離？學生：思考提出測量角A，C 教師：若已知測得， ，要計算A、B兩地距離，你 （圖1）有辦法解決嗎？學生：思考交流，畫一個三角形，使得為6cm， ，量得距離約為4.9cm，利用三角形相似性質可知AB約為49

6、0m。老師：對，很好，在初中，我們學過相似三角形，也學過解直角三角形，大家還記得嗎？師生：共同回憶解直角三角形，直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角。直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個角。教師：引導，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計算AB呢？學生：思考，交流，得出過作于如圖2，把分為兩個直角三角形，解題過程，學生闡述，教師板書。解：過作于（圖2）在中，在中，教師：表示對學生贊賞，那么剛才解決問題的過程中，若，能否用、表示呢？教師：引導學生再觀察剛才解題過程。學生：發現，教師：引導，在剛才的推理過程中，你能想到什么？你能發現什么？學生：發現即然有，那么也有，。教師

7、：引導，我們習慣寫成對稱形式，因此我們可以發現，是否任意三角形都有這種邊角關系呢？設計意圖：興趣是最好的老師。如果一節課有良好的開頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過從學生日常生活中的實際問題引入，激發學生思維，激發學生的求知欲，引導學生轉化為解直角三角形的問題，在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結論猜想，培養學生從特殊到一般思想意識，培養學生創造性思維能力。（二）數學實驗，驗證猜想教師：給學生指明一個方向，我們先通過特殊例子檢驗是否成立，舉出特例。（1）在ABC中，A，B，C分別為，對應的邊長a：b：c為1：1：1，對應角的正弦值分別為，引導學生考察，的關系。（學生回答它們相

8、等）（2）、在ABC中，A，B，C分別為，對應的邊長a：b：c為1：1：，對應角的正弦值分別為，1；（學生回答它們相等） （3）、在ABC中，A，B，C分別為，對應的邊長a：b：c為1：2，對應角的正弦值分別為，1。（學生回答它們相等）（圖3） （圖3）教師：對于呢？BaACcb(圖4)學生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,則有，又,則從而在直角三角形ABC中，教師：那么任意三角形是否有呢？學生按事先安排分組，出示實驗報告單，讓學生閱讀實驗報告單，質疑提問：有什么不明白的地方或者有什么問題嗎？（如果學生沒有問題，教師讓學生動手計算，附實驗報告單。）學生：分

9、組互動，每組畫一個三角形，度量出三邊和三個角度數值，通過實驗數據計算，比較、的近似值。 教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、值仍然保持相等。我們猜想：=設計意圖：讓學生體驗數學實驗，激起學生的好奇心和求知欲望。學生自己進行實驗，體會到數學實驗的歸納和演繹推理的兩個側面。（三）證明猜想，得出定理師生活動：教師：我們雖然經歷了數學實驗，多媒體技術支持，對任意的三角形，如何用數學的思想方法證明呢？前面探索過程對我們有沒有啟發？學生分組討論，每組派一個代表總結。（以下證明過程，根據學生回答情況進行敘述）學生：思考得出在中，成立，如前面檢驗。在銳角三角形中，如圖5設，作：，垂足為在中，（圖5）在中

10、，同理，在中， 在鈍角三角形中，如圖6設為鈍角，作交的延長線于（圖6）在中，在中，同銳角三角形證明可知 教師：我們把這條性質稱為正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即還有其它證明方法嗎？學生：思考得出，分析圖形（圖7），對于任意ABC，由初中所學過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，=等式中均除以后可得， 即。教師邊分析邊引導學生，同時板書證明過程。(圖7)ABCDEFbac（圖7） 在剛才的證明過程中大家是否發現三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學生：得到三角形面積公式教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、都等于同一個比值，那么它們也相等，這個到底有沒有

11、什么特殊幾何意義呢？（圖8）學生：在前面的檢驗中，中，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長交圓于，把一般三角形轉化為直角三角形。證明：連續并延長交圓于， 在中，即同理可證：，教師：從剛才的證明過程中, ，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑。（四）利用定理，解決引例師生活動：教師：現在大家再用正弦定理解決引例中提出的問題。學生：馬上得出在中，（五）了解解三角形概念設計意圖：讓學生了解解三角形概念，形成知識的完整性教師：一般地，把三角形的三個角、和它們的對邊、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形。設計意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓

12、學生體會用新的知識，新的定理，解決問題更方便，更簡單，激發學生不斷探索新知識的欲望。（六）運用定理，解決例題師生活動：教師：引導學生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問題。學生：討論正弦定理可以解決的問題類型：如果已知三角形的任意兩個角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓學生思考回答解題思路，教師板書，讓學生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規范解題步驟。例1：在中，已知，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內角和為求出第三個角C，再由正弦定理求其他兩邊。例2：在中，已知，解三角形。例2的處理，目的是讓學生掌握分類討論的數學思想，可先讓中等學生講解解題思路，其他同學補充交流學生：反饋練習（教科書第5頁的練習）用實物投影儀展示學生中解題步驟規范的解答。設計意圖：自己解決問題，提高學生學習的熱情和動力，使學生體驗到成功的愉悅感，變“要我學”為“我要學”，“我要研究”的主動學習。（七）嘗試小結：教師：提示引導學生總結本節課的主要內容。學生：思考交流，歸納總結。師生：讓學生嘗試小結，教師及時補充