1、1iiiE(X) =x p+-E(X) =xf(x)dx2D(X) =E(X - E(X)22D(X) =E(X) - E (X)iiig(X)gE() =(x )pijiijg(X,Y)g(E() =x y )p,+-g(X)g(x)E() =f(x)dx+-E() =f(x, y)dxg(X,Y)g(x, y)dy 2 YDXDY,XcovXY 3表表 幾種常見分布的均值與方差幾種常見分布的均值與方差 分布律或分布律或 密度函數密度函數 分布分布數學期數學期望望方差方差 01分布分布 p p(1-p)二項分布二項分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布U(a,

2、b)指數分布指數分布正態分布正態分布k1-kP(X = k)= p (1- p)k = 0,1kk1-knP(X = k)=C p (1- p)k =0,1,.,n( )P k-P(X = k)= ek!k =0,1,., 1 (b-a),a x 0f(x)=0,其其它它1 21 ()2N ,22(x-)- 21f(x)=e,xR2245.設發現飛機所需時間為設發現飛機所需時間為T，則，則-tP0 0F(t)= pTt =0 t0-tet 0f(t)= F (t)=0t0可可T T服服的的指指分分布布, ,平平均均搜搜索索見從參數為數時間為00( )( )1/1/ttE Ttf t dxt e

3、dxet 分分部部積積分分57.011()11!kkEeXkk 8.00( )2( )2212xxE Yxf x dxxe dxex 101(1)!kkek 01!kkeek 11e 2330011()( )33xxxE Zef x dxedxe 69.()( , )E Xxf x y dxdy 13003( )( , )125xE Yyf x y dxdydxy dy 12004125xdxxy dy 13001()( , )122xE XYxyf x y dxdydxxy dy 2222()() ( , )E XYxyf x y dxdy 12220016() 1215xdxxyy dy

4、也可以先算也可以先算X,Y的邊緣密度再求期望的邊緣密度再求期望,但較麻煩但較麻煩73300123 1001()( )(3)3322( )( )23311()()( )3xxE Xxf x dxxedxexE Yyf y dxy dyyE XYE XE Y ()() ( )2E XYE X E Y因為因為X和和Y相互獨立，所以相互獨立，所以11.813.1011,.,10XiiiiXiiXX1,第 站有人下車設，0,第 站無人下車為停車的總次數，則設每名乘客在每一站下車是隨機的，設每名乘客在每一站下車是隨機的， 則則2020991 10 1, ()11010iiipP XP XE Xp 由數學期

5、望和的性質，平均停車次數為由數學期望和的性質，平均停車次數為201019()()1010 110iiE XE Xp 921. 1)由正態分布的邊緣分布還是正態分布可知由正態分布的邊緣分布還是正態分布可知22221(,) (1,3 ,0,4 ,)(1,3 ),(0,4 )2X YNXNY N 22()1,()39,( )0,( )416E XD XE YD Y 11111()()()( )103232323XYE ZEE XE Y 11(,)()( )3 4622XYXYCov X YD XD Y ()()()()2(,)323232XYXYX YD ZDDDCov 111()( )(,)394

6、3D XD YCov X Y10211(2)(,)(,)(,)(,)32321111 ()(,)3( 6)032320XZXYCov X ZCov XCov X XCov X YD XCov X Y 221(3)(,)(1,3 ,0,4 ,),2X YN 32XYXZXY 而而 和和都都可可看看成成是是 和和 的的非非零零線性組合線性組合于是由書上于是由書上P118性質性質3知道知道(X,Z)也服從二維正態分布也服從二維正態分布0,XZ 又由又由2)中結果知中結果知所以所以X, Z相互獨立相互獨立11nnlim P | X - x | = 0nnlim F (x) = F(x)nniini=1

7、i=111limPX -E(X ) nn= 1 nniii=1i=1nnik=1X -E(X )lim PxD(X )= (x) 12習習 題題 五五1. 1. 習題五第習題五第2,4,5,2,4,5,題與之類似題與之類似由題意知由題意知Y B (600, 2/5) E(Y)= np=6002/5=240D(Y)= np(1-p)=6002/53/5=144P216 Y 264 = P Y - 240 0, (i=1,2, ,n) 時時 建立似然方程建立似然方程, 0222ln312 niixndLd25 由似然方程求解得極大似然估計由似然方程求解得極大似然估計值值為為nxnii212 5.

8、極大似然估計極大似然估計量量為為nXnii212 264. 證明：證明：)(1)(122 niiaXnEE niiaXEn12)(12211)(1 nnXDnnii27 1121211121)()(2)()(niiiiiniiiXEXXEXECXXCE 1121121)()()()(2)()(niiiiiiiXEXDXEXEXEXDC) 1() 1() 1( 2) 1() 1(22222 nnnnnC22)1(2 nC5. 證明：證明：)1(21 nC28 niiniiiniiniiaXEaXaEEa1111)()() (1 最最小小最最小小，需需要要使使 niiniiaDXDaD1212)(

9、)( naaan1.21 )(95)(91)(94)3132(2121XDXDXDXXD )(85)(169)(161)4341(2121XDXDXDXXD )(21)(41)(41)2121(2121XDXDXDXXD 的方差最小。的方差最小。3 2910. 解：解：已知，故選樞軸變量：已知，故選樞軸變量：，需估計需估計 )12 ,574. 0)(191, 691, 9,05. 091291 iiiixxsxxn 的的置置信信區區間間為為：的的置置信信度度為為得得95. 0,96. 1025. 0 u392. 6,608. 596. 136 . 06,96. 136 . 06 )1 , 0(

10、 NnXU 22,uunXnX 1| 2/uUP令令30未未知知，故故選選樞樞軸軸變變量量：，需需估估計計 )22 ,574. 0)(191, 691, 9,05. 091291 iiiixxsxxn 的的置置信信區區間間為為：的的置置信信度度為為得得95. 0,306. 2)8(025. 0 t442. 6,558. 5306. 23574. 06,306. 23574. 06 )1( ntnSXT )1(),1(22 nnSXnnSXtt 1)1(| 2/ntTP令令3111. 解：解：由于方差已知，選取：由于方差已知，選取：)1 ,0(Nn/XU 則總體均值的置信度為則總體均值的置信度為

11、1-的置信區間為：的置信區間為：,22 unXunX 區間長度為：區間長度為：Lun 22 222222)(4)2( uLLun 1| 2/uUP令令3220. 解：解：)1()1(,2222 nSnc c c c 故故選選樞樞軸軸變變量量：未未知知因因為為需需估估計計,45,10,05. 0 sn ,325. 3)9(295. 0 c c c c 1)1()1(2122nSnP c c 1)1()1(2122nSnP的的單單側側置置信信上上限限為為：的的置置信信度度為為得得95. 0 04.74325. 3459)1()1(2212 nsn c c33_ XN(, ,2) _ ATXXX B

12、TXXX CTXXX DTXXX 1123212331234123111111( );( );333236112111( );();255363(A)XTSn/ 3435),(2 NX0X - U = N(0,1)n0X - T =t(n-1)Snn2i22i=120X - = (n)22220(n-1)S = (n-1)2u u2t t (n-1)22221-22 (n) (n-1) u12w12X -YT =t(n +n -2)11S+nn122t t (n+n -2)22211112222222S SF=F(n -1,n -1)S S122121-2f F (n -1,n -1) f F

13、 (n -1,n -1)或或 37檢檢驗驗法法。用用驗驗均均值值在在方方差差已已知知的的條條件件下下檢檢U,. 126:26:10 HH。建建立立原原假假設設和和對對立立假假設設 1 , 0 /26,0NnXUH 檢驗統計量檢驗統計量成立的條件下成立的條件下在原假設在原假設96. 1|16,n,05. 0205. 02 uuu 拒拒絕絕域域為為：2 . 116/2 . 52656.27 uU的的觀觀測測值值為為此此時時,96. 12 . 1|205. 0在在接接受受域域內內uuu 26,0認認為為總總體體的的均均值值故故接接受受 H38檢檢驗驗法法。用用驗驗均均值值在在方方差差未未知知的的條條

14、件件下下檢檢t,3%25. 3:%25. 3:10 HH。建立原假設和對立假設建立原假設和對立假設 155/%25. 3, tSXT檢檢驗驗統統計計量量在在原原假假設設成成立立的的條條件件下下 6041. 442 tt拒拒絕絕域域為為： 00017. 041 ,%252. 351512251 iiiixxSxx,3430. 05/25. 3 sxtT的的觀觀測測值值為為此此時時%25. 3,),4(6041. 43430. 0|0201. 0認為總體的均值認為總體的均值故接受故接受不在拒絕域內不在拒絕域內 Htt 39檢檢驗驗法法用用驗驗方方差差在在均均值值未未知知的的條條件件下下檢檢2, .

15、 5c c400:400:2120 HH。建建立立原原假假設設和和對對立立假假設設解解： 2440024)1(,2220220c c c cSSnH 檢檢驗驗統統計計量量成成立立的的條條件件下下在在原原假假設設 886. 924 559.4524201. 0122201. 022 c cc cc cc c或或拒拒絕絕域域為為： 242862.2424 ,2862.2440024201.0201.021222c cc cc c s觀觀測測值值為為此此時時400,20認認為為總總體體的的方方差差故故接接受受在在接接受受域域內內 H77.404,25,01. 02 sn 40檢驗法。檢驗法。用用驗均

16、值驗均值在方差未知的條件下檢在方差未知的條件下檢t,)17%5 . 0:%5 . 0:10 HH 1/%5 . 0/,0 ntnSXnSXT 檢驗統計量檢驗統計量在原假設成立的條件下在原假設成立的條件下 8331. 19905. 0 ttT 由由對對立立假假設設知知拒拒絕絕域域為為 91024. 410/%037. 0%5 . 0%452. 010/%5 . 0 05. 0tsxtT 的的觀觀測測值值10,n,05. 0 0,H故故拒拒絕絕在在拒拒絕絕域域內內41檢驗法。檢驗法。用用驗方差驗方差在均值未知的條件下檢在均值未知的條件下檢2,)2c c%04. 0:%04. 0:10 HH 9%0

17、4. 0*91,2222022c c c cSSn 檢檢驗驗統統計計量量在在原原假假設設成成立立的的條條件件下下 325.399,05.012122 c cc cc c 拒拒絕絕域域為為：由由對對立立假假設設 005. 012222,97006. 7%04. 0*9 Hs故故接接受受不不在在拒拒絕絕域域內內的的觀觀測測值值為為此此時時 c cc c42 niiiniibxxbyyQ100212)(. 1 0)(21000 niiiixxbxbxyydbdQ niiniiiniiiniiixxxxyyxxxxxxyyb120100100100)()()()(43 11688/228*8-7666

18、 3678/228*521849 1408/52*8478. 4222222 ynylyxnyxlxnxliyyiixyixx834. 0)6()2(9076. 0) 1 (01. 0 RnRlllRyyxxxy 樣樣本本相相關關系系數數4609.11, 6214. 2)2( xbyallbxxxy線性相關關系顯著。線性相關關系顯著。與與可認為可認為YXxy6214. 24609.11 經驗回歸方程為：經驗回歸方程為：44 9357.13485983.107423952.86583222222 ynyyylyxnyxyyxxlxnxxxliiyyiiiixyiixx55805 ,7124 ,4

19、38202,0769.21131,4615.164131 . 513113121312131131 iiiiiiiiiiiyxyxyyxx684. 0)11()2(9940. 0) 1 (01. 0 RnRlllRyyxxxy 樣樣本本相相關關系系數數線性相關關系顯著。線性相關關系顯著。與與可認為可認為YX454065. 1)(216672. 01241. 0)2(22 lblnxbyallbxxyyxxxy xy1241. 06672. 0 經驗回歸方程為：經驗回歸方程為：46v已知隨機事件已知隨機事件A與與B相互獨立，相互獨立，P(A)=a, P(B)=b, 則則 _ ， _。 v甲乙丙三

20、人同時獨立地向一個目標射擊一次，命甲乙丙三人同時獨立地向一個目標射擊一次，命中率分別為中率分別為0.8，0.6，0.5，則目標被擊中的概率為，則目標被擊中的概率為_。v連續型隨機變量連續型隨機變量X概率密度為概率密度為 則常數則常數a = _。P AB() P AB() (1-a)(1-b)1-abxf xaex| |( ), 0.961/2v隨機變量隨機變量X服從參數為服從參數為的泊松分布，的泊松分布， _v設隨機變量設隨機變量X服從正態分布服從正態分布N(, ,2) ，利用切比雪，利用切比雪夫不等式估計概率夫不等式估計概率 _。D XE X( )( ) P X| 3 11/947v1 已知

21、已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=3/10,則則 A, B, C全不發生的概率是全不發生的概率是 _ v2 五個考簽有一個難簽，三個考生依次不放回地五個考簽有一個難簽，三個考生依次不放回地抽取，則第三個考生抽到難簽的概率是抽取，則第三個考生抽到難簽的概率是 _v3 設一小時內進入圖書館的人數服從泊松分布，已設一小時內進入圖書館的人數服從泊松分布，已知一小時內無人進入圖書館的概率為知一小時內無人進入圖書館的概率為0.01，則一小，則一小時內至少有二人進入圖書館的概率為時內至少有二人進入圖書館的概率為 _v4 設設X與與Y獨立同分布，且獨立同分布

22、，且P(X=0)=P(X=1)=1/2,則則Z=XY的分布律為的分布律為 _v5 設設X服從參數為服從參數為1的指數分布，則的指數分布，則E(X2)= _48v二、盒中有二、盒中有6個新乒乓球，每次比賽從中任取兩個個新乒乓球，每次比賽從中任取兩個球來用，賽后任放回盒中，求第球來用，賽后任放回盒中，求第3次取到兩個新球次取到兩個新球的概率的概率.v三、三、 設隨機變量設隨機變量(X,Y)的聯合概率密度為的聯合概率密度為(1)確定常數確定常數C；(2)討論討論X與與Y的獨立性。的獨立性。,01,0( , )0,Cxy xyxf x y 其其他他v四、四、 設隨機變量設隨機變量X和和Y相互獨立，概率

23、密度分別為相互獨立，概率密度分別為求求E(XY)和和E(X+Y).312 ,1,0( ),( ).30,0,xXYy 0ye xfxfy x0 其其他他49v五、設某系統由五、設某系統由100個相互獨立的部件組成，每個個相互獨立的部件組成，每個部件損壞的概率都是部件損壞的概率都是0.1，必須有，必須有85個以上的部件個以上的部件正常工作才能使整個系統正常運行，求系統不能正正常工作才能使整個系統正常運行，求系統不能正常運行的概率。常運行的概率。(1.67)=0.9525)v六、六、 設設X1,X2, ,Xn是來自總體是來自總體X的簡單隨機樣本，的簡單隨機樣本，X的概率密度函數為的概率密度函數為求

24、未知參數求未知參數的極大似然估計值。的極大似然估計值。2,0( ; )(0)0,xxe xf x 其其他他50v七、某工廠用自動包裝機包裝葡萄糖，規定標準重七、某工廠用自動包裝機包裝葡萄糖，規定標準重量為量為500克，現隨機地抽取克，現隨機地抽取10袋，測得各袋凈重為袋，測得各袋凈重為495, 510, 505, 498, 503, 492, 502, 512, 497, 506。設。設每袋凈重服從正態分布每袋凈重服從正態分布N(, ,2)，問包裝機的工作，問包裝機的工作是否正常？是否正常？(0.05, t0.025(9)=2.2622, t0.025(10)=2.2281)v八、為了解八、為

25、了解15歲中學男生的身高歲中學男生的身高X(厘米厘米)和體重和體重Y(公公斤斤)的關系，隨機抽取的關系，隨機抽取9個男生測得數據，算出個男生測得數據，算出 (1)檢驗檢驗Y與與X是否有顯著的線性相關關系；是否有顯著的線性相關關系； (R0.01(7)=0.798, R0.01(8)=0.765, R0.01(9)=0.735) (2)求求Y關于關于X的經驗回歸方程。的經驗回歸方程。 91161.778,48.778,315.49,143.36,71206.00 xxyyiiixyllx y 51v設隨機變量設隨機變量 XU(1,2), Y = e2X, 求求 fY ( y )。v已知隨機變量已知隨機變量B(2,1/3), 求求D(3X - 2Y).1,01,2,1,1,2 XY 0 522220.050.0250.052220.0250.97