1、學習必備歡迎下載二次函數綜合（動點與三角形）問題一、學問預備： |精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料. * | * | * | * | |歡.|迎.|下.|載. 拋物線與直線形的結合表現形式之一是，以拋物線為載體，探討是否存在一些點，使其能構成某些特別三角形，有以下常見的基本形式；（ 1）拋物線上的點能否構成等腰三角形；（ 2）拋物線上的點能否構成直角三角形；（ 3）拋物線上的點能否構成相像三角形；解決這類問題的基本思路：假設存在，數形結合，分類歸納，逐一考察；二、例題精析【拋物線上的點能否構成等腰三角形】+bx+c例一 （ 2021.銅仁地區）如圖，已知直線 y=3x 3 分

2、別交 x 軸、y 軸于 A 、B 兩點，拋物線 y=x 2經過 A 、B 兩點，點C 是拋物線與x 軸的另一個交點（與A 點不重合）（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）求 ABC 的面積；（ 3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M ，使 ABM 為等腰三角形？如不存在，請說明理由；如存在，求出點M 的坐標考點 ：二次函數綜合題專題 ：綜合題分析： （ 1）依據直線解析式求出點A 及點 B 的坐標，然后將點A 及點 B 的坐標代入拋物線解析式，可得出b、c 的值，求出拋物線解析式；（ 2）由（ 1）求得的拋物線解析式，可求出點C 的坐標，繼而求出AC 的長度，代入三角形的面積公式即可運算；（ 3）依

3、據點 M 在拋物線對稱軸上，可設點M 的坐標為（1，m），分三種情形爭論， MA=BA ， MB=BA ， MB=MA ，求出 m 的值后即可得出答案 解答： 解：（1）直線y=3x 3 分別交 x 軸、 y 軸于 A 、B 兩點，+bx+c 得：，可得 A （ 1， 0），B （ 0， 3），把 A 、B 兩點的坐標分別代入y=x 2第 1 頁，共 12 頁學習必備歡迎下載解得：拋物線解析式為：y=x 2+2x 3+2x 3，（ 2）令 y=0 得： 0=x 2解得： x 1=1 ， x2= 3，就 C 點坐標為： （ 3， 0）， AC=4 ，故可得 SABC =AC ×OB=&

4、#215;4×3=6 |精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料. * | * | * | * | |歡.|迎.|下.|載. （ 3）拋物線的對稱軸為：x= 1，假設存在M （ 1， m）滿意題意：爭論： 當 MA=AB時，解得：， M 1（ 1，）， M 2（ 1，）； 當 MB=BA時，解得： M 3=0， M 4= 6， M 3（ 1， 0），M 4（ 1， 6） ， 當 MB=MA時，解得： m= 1， M 5（ 1， 1），答：共存在五個點M 1（ 1，），M 2（ 1，），M 3（ 1，0），M 4（ 1， 6）， M 5（ 1， 1）使 ABM為等腰三角形點評

5、： 此題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求二次函數解析式、等腰三角形的性質及三角形的面積，難點在第三問，留意分類爭論，不要漏解【拋物線上的點能否構成直角三角形】+bx+c例二 （ 2021 鞍山）如圖，已知一次函數y=0.5x+2 的圖象與 x 軸交于點 A ，與二次函數y=ax 2的圖象交于y 軸上的一點B，二次函數y=ax2+bx+c 的圖象與x 軸只有唯獨的交點C，且 OC=2 +bx+c 的解析式；（ 1）求二次函數y=ax 2（ 2）設一次函數y=0.5x+2 的圖象與二次函數y=ax2+bx+c 的圖象的另一交點為D ，已知 P 為x 軸上的一個動點，且 PBD 為直角三角

6、形，求點P 的坐標考點：二次函數綜合題第 2 頁，共 12 頁學習必備歡迎下載分析：（1）依據 y=0.5x+2 交 x 軸于點 A ，與 y 軸交于點B，即可得出A ， B 兩點坐標，二次函數 y=ax2+bx+c 的圖象與x 軸只有唯獨的交點C，且 OC=2 得出可設二次函數y=ax2+bx+c=a（ x 2）2，進而求出即可； |精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.（ 2）依據當 B 為直角頂點，當D 為直角頂點，以及當P 為直角頂點時， 分別利用三角形相像對應邊成比例求出即可解答：解：（ 1） y=0.5x+2 交 x 軸于點 A， 0=0.5x+2 ， x= 4，與 y 軸交于點

7、B， x=0 ， y=2 B 點坐標為：（ 0， 2）， A （ 4， 0）， B （0， 2），2|資.|料.二次函數y=ax+bx+c 的圖象與x 軸只有唯獨的交點C，且 OC=2 * | * | * 可設二次函數y=a （ x 2） 2，把 B（ 0， 2）代入得： a=0.5 | * | 二次函數的解析式：y=0.5x2 2x+2；|歡.|迎.|下.|載. （ 2）（）當B 為直角頂點時，過B 作 BP1 AD 交 x 軸于 P1 點由 Rt AOB RtBOP1=，=，得： OP1=1， P1（ 1， 0），（）作P2D BD ，連接 BP2 ，將 y=0.5x+2 與 y=0.5x

8、 22x+2 聯立求出兩函數交點坐標：D 點坐標為：（ 5， 4.5），就 AD=，當 D 為直角頂點時 DAP 2= BAO ， BOA= ADP 2， ABO AP 2D，=，=，解得： AP 2=11.25，就 OP2=11.25 4=7.25 ，故 P2 點坐標為（ 7.25， 0）；（）當P 為直角頂點時，過點D 作 DE x 軸于點 E，設 P3（ a， 0）就由 Rt OBP3 Rt EP3D得：，第 3 頁，共 12 頁學習必備歡迎下載，方程無解，點 P3 不存在，點 P 的坐標為： P1（ 1，0）和 P2（ 7.25， 0） |精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.

9、|料. * | * | * | * | |歡.|迎.|下.|載. 點評：此題主要考查了二次函數綜合應用以及求函數與坐標軸交點和相像三角形的與性質等學問，依據已知進行分類爭論得出全部結果，留意不要漏解【拋物線上的點能否構成相像三角形】例三 （ 2021.恩施州） 如下列圖， 直線 l：y=3x+3 與 x 軸交于點A ，與 y 軸交于點B 把 AOB沿 y 軸翻折，點A 落到點 C，拋物線過點B、C 和 D （ 3， 0）（ 1）求直線BD 和拋物線的解析式（ 2）如 BD 與拋物線的對稱軸交于點M ，點 N 在坐標軸上，以點N 、B 、D 為頂點的三角形與 MCD 相像，求全部滿意條件的點N

10、的坐標（ 3）在拋物線上是否存在點P，使 SPBD=6？如存在，求出點P 的坐標；如不存在，說明理由第 4 頁，共 12 頁學習必備歡迎下載 |精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料. * | * | * | * | |歡.|迎.|下.|載. 考二次函數綜合題點：分（ 1）由待定系數法求出直線BD 和拋物線的解析式；析： （ 2）第一確定 MCD 為等腰直角三角形，由于 BND 與 MCD 相像，所以 BND 也是等腰直角三角形如答圖1 所示，符合條件的點N 有 3 個；（ 3）如答圖2、答圖 3 所示，解題關鍵是求出 PBD 面積的表達式，然后依據SPBD=6的已知條件，列出一元

11、二次方程求解解解：（ 1）直線l ： y=3x+3 與 x 軸交于點A ，與 y 軸交于點B ，答： A （ 1， 0）， B （ 0， 3）；把 AOB 沿 y 軸翻折，點A 落到點 C， C（ 1，0）設直線 BD 的解析式為： y=kx+b ，點 B（ 0， 3），D （3， 0）在直線BD 上，解得 k= 1， b=3，直線 BD 的解析式為： y= x+3 設拋物線的解析式為：y=a （ x 1）（ x 3），點 B（ 0， 3）在拋物線上， 3=a×（ 1） ×（ 3），解得： a=1，拋物線的解析式為：y= （ x 1）（ x 3） =x 24x+3 （ 2）

12、拋物線的解析式為：y=x 24x+3= （ x221，拋物線的對稱軸為直線x=2 ，頂點坐標為（直線 BD ： y= x+3 與拋物線的對稱軸交于點2， 1）M ，令 x=2 ，得 y=1， M （ 2， 1） 設對稱軸與x 軸交點為點F， 就 CF=FD=MN=1 ， MCD 為等腰直角三角形以點 N、B、 D 為頂點的三角形與 MCD 相像， BND 為等腰直角三角形如答圖 1 所示：（ I）如 BD 為斜邊，就易知此時直角頂點為原點O，第 5 頁，共 12 頁學習必備歡迎下載 N 1（0， 0）；（ II ）如 BD 為直角邊， B 為直角頂點，就點N 在 x 軸負半軸上， OB=OD=

13、ON 2=3， N 2（ 3， 0）；（ III ）如 BD 為直角邊， D 為直角頂點，就點N 在 y 軸負半軸上， OB=OD=ON 3=3， N 3（0， 3）滿意條件的點N 坐標為：（ 0， 0），（ 3，0）或（ 0， 3） |精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料. * | * | * | * | |歡.|迎.|下.|載. （ 3）假設存在點P，使 S PBD=6 ，設點 P 坐標為（ m， n）（ I）當點 P 位于直線BD 上方時，如答圖2 所示：過點 P 作 PEx 軸于點 E，就 PE=n ，DE=m 3SPBD=S 梯形 PEOB SBOD S PDE=（ 3

14、+n ） .m ×3×3（ m 3） .n=6 ，化簡得： m+n=7 ， P（ m， n）在拋物線上， n=m 2 4m+3 ，m代入 式整理得：2 3m 4=0，解得： m1=4， m2= 1， n1=3， n2 =8， P1（ 4，3）， P2（ 1， 8）；（ II ）當點 P 位于直線 BD 下方時，如答圖3 所示：過點 P 作 PEy 軸于點 E，就 PE=m ， OE= n， BE=3 nSPBD=S 梯形 PEOD+SBOD SPBE=（ 3+m ） .（ n） +×3×3（ 3 n） .m=6 ，化簡得： m+n= 1 ， P（ m，

15、n）在拋物線上， n=m 2 4m+3 ，代入 式整理得： m2 3m+4=0 ， =7 0，此方程無解 故此時點P 不存在綜上所述，在拋物線上存在點P，使 SPBD =6，點 P 的坐標為（ 4， 3）或（ 1， 8）第 6 頁，共 12 頁學習必備歡迎下載 |精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料. * | * | * | * | |歡.|迎.|下.|載. 點此題是中考壓軸題，綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、 相像三角形的判定評： 與性質、圖形面積運算、解一元二次方程等學問點，考查了數形結合、分類爭論的數學思想第（ 2）（ 3）問均需進行分類爭論，防止漏解三、形成訓

16、練1（ 2021.湘西州）如圖，已知拋物線y= x2+bx+4 與 x 軸相交于A、 B 兩點，與y 軸相交于點 C，如已知A 點的坐標為A （ 2， 0）（ 1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；（ 2）求點 C 的坐標，連接AC 、BC 并求線段 BC 所在直線的解析式；（ 3）試判定 AOC 與 COB 是否相像？并說明理由；第 7 頁，共 12 頁學習必備歡迎下載（ 4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使 ACQ 為等腰三角形？如不存在，求出符合條件的 Q 點坐標；如不存在，請說明理由 |精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料. * | * | * | * | |歡.|迎.

17、|下.|載. 考點 ：二次函數綜合題分析： （ 1）利用待定系數法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對稱軸方程；（ 2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C 坐標；令y=0 ，可求出點B 坐標再利用待定系數法求出直線BD 的解析式；（ 3）依據， AOC= BOC=90 °，可以判定 AOC COB ；（ 4）本問為存在型問題如 ACQ 為等腰三角形，就有三種可能的情形，需要分類爭論，逐一運算，防止漏解解答：解：（1）拋物線y= ×（ 2） 2x2+bx+4 的圖象經過點A （ 2， 0），解得： b=，拋物線解析式為y=x2 +x+4 ，+b×（

18、2）+4=0 ，+對稱軸方程為：x=3 （ 2）在 y= x2+x+4 中，令 x=0 ，得 y=4 ， C（ 0， 4）；令 y=0 ，即x2+x+4=0 ，整理得x2 6x 16=0，解得： x=8 或 x= 2， A （ 2， 0）， B（ 8， 0）設直線 BC 的解析式為y=kx+b ，把 B（ 8，0）， C（ 0， 4）的坐標分別代入解析式，得：第 8 頁，共 12 頁學習必備歡迎下載，解得 k=， b=4 ，直線 BC 的解析式為： y=x+4 |精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料. * | * | * | * | |歡.|迎.|下.|載. （ 3）可判定 AO

19、C COB 成立 理由如下：在 AOC 與 COB 中， OA=2 ， OC=4 ，OB=8 ，又 AOC= BOC=90 °， AOC COB （ 4）拋物線的對稱軸方程為：x=3 ，可設點 Q（ 3， t），就可求得：AC=，AQ=，CQ=i）當 AQ=CQ 時，有=，25+t2=t 8t+16+9 ，2解得 t=0， Q1（ 3， 0）；ii ）當 AC=AQ 時， 有=，2t = 5，此方程無實數根，此時 ACQ 不能構成等腰三角形；iii ）當 AC=CQ 時，有=，整理得：28t+5=0 ，t 解得： t=4 ±，點 Q 坐標為： Q2（ 3，4+）， Q3（3

20、， 4）綜上所述，存在點Q，使 ACQ 為等腰三角形，點Q 的坐標為： Q1（ 3， 0）， Q2（ 3， 4+）， Q3（ 3， 4）第 9 頁，共 12 頁學習必備歡迎下載 |精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料. * 點評： 此題考查了二次函數與一次函數的圖象與性質、待定系數法、 相像三角形的判定、 勾股定理、等腰三角形的判定等學問點 難點在于第 （ 4）問，符合條件的等腰三角形 ACQ 可能有多種情形，需要分類爭論 |112 * | * | 2 ：已知：直線yx 21 與 y 軸交于 A，與 x 軸交于 D，拋物線yxbxc 與直線交 2 * | |歡.|迎.|下.|載. 于 A、E 兩點，與 x 軸交于 B、C 兩點，且 B 點坐標為（ 1，0）（ 1）求拋物線的解析式； （ 2）動點 P 在 x 軸上移動，當PAE 是直角三角形時，求點P 的坐標3、如圖，拋物線y1 x22 x2 與 x 軸交于A、B 兩點，與y 軸交于 C 點（ 1）求22A、B、C 三點的坐標；（2）證明 ABC 為直角三角形；（3）在拋物線上除C 點外，是否仍存在另外一個點P ，使 ABP 是直角三角形，如存在，懇求出點P 的坐標，如不存在，請說明理由第 10 頁，共 12 頁學習必備歡迎下載 |精.|品.|可.|編.|輯.|學.|習.|資.|料.