1、1第第3章章 一些常用的變換一些常用的變換2主要內(nèi)容主要內(nèi)容uHilbert變換變換u匹配濾波器和相關(guān)器匹配濾波器和相關(guān)器uWalsh-Hadamand變換變換uK-L變換變換3)()()()(jIRSts設(shè)設(shè)s(t)是因函數(shù)，即是因函數(shù)，即s(t)=s(t)U(t)，且有，且有有：有：dRIdIR)(1)()(1)(即：因函數(shù)的即：因函數(shù)的Fourier變換得到實(shí)部與虛部存在一變換得到實(shí)部與虛部存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這一對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這一對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為Hilbert變換變換引言引言4對(duì)于信號(hào)對(duì)于信號(hào) m(t)，其，其Hilbert變化為變化為dtmtmtm)(1)()(Hdtmtmt

2、m)(1)()(1 -H逆變換逆變換)()()(thtmtm)()()(thtmtm1 Hilbert 變換的定義變換的定義用途用途: 已知一個(gè)函數(shù)或信號(hào)，求其正交函數(shù)或信已知一個(gè)函數(shù)或信號(hào)，求其正交函數(shù)或信號(hào)，這在工程中是常見(jiàn)的。號(hào)，這在工程中是常見(jiàn)的。wheretth1)(5uHibert變換濾波器是一個(gè)全通濾波器變換濾波器是一個(gè)全通濾波器uHilbert變換的本質(zhì)是一個(gè)相移濾波器，相移變換的本質(zhì)是一個(gè)相移濾波器，相移-90)sgn( 0 0 -)(fjfjfjfH2. Hilbert 變換系統(tǒng)變換系統(tǒng)Hilbert濾波器濾波器幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)6dtetfHftj21)(

3、0 220 -22fjjfjjftx2fdtdx2Hilbert filterHilbert filter02sin2dttftj022sin22dtftftfj02sin12)(ftdttjfH0sin2dxxxjftdttjftdtt2sin12cos173. Hilbert的性質(zhì)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 Hilbert變換器是變換器是-90度相移的全通濾波器。度相移的全通濾波器。)( ts)( ns性質(zhì)性質(zhì)2 s(t)與與，s(n)與與分別是正交的。分別是正交的。0)(2)(2)()(21)( )(0202*dSjdSjdSSdttsts奇函數(shù)偶函數(shù)Hu1偶函數(shù)奇函數(shù)Hu283. Hilbert

4、的性質(zhì)的性質(zhì))(*)()(*)()( 2121tststststs)()()(21tststs和、性質(zhì)性質(zhì)3 如果如果的的Hilbert變換分別為變換分別為)()()( 21tststs和、)(*)()(21tststs，且，且性質(zhì)性質(zhì)4 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)x(t)的的Hilbert變換也是變換也是平穩(wěn)的，且有平穩(wěn)的，且有( )( )xxRR( )( ) ( )( ) xxxxxxRRRR 94. 在通信中常用的在通信中常用的Hilbert變換的重要公式變換的重要公式)sin()cos(ttccHu1)cos()sin(ttccHu2)cos()()sin()()sin()()c

5、os()( m(t) .ttmttmttmttmifccccHH為基帶信號(hào)u3)sgn()()()()()()( and )()( .jMtmtmMtmMtmMifHFF)0()0(11)sgn(u410SSB的復(fù)包絡(luò)可表示為的復(fù)包絡(luò)可表示為 )()()(tmjtmAtgc)()()(thtmtmwhereandtth1)(sin)(cos)()(ttmttmAtscccSSB帶通信號(hào)可表示為帶通信號(hào)可表示為5.Hilbert變換的應(yīng)用變換的應(yīng)用1).單邊帶調(diào)制單邊帶調(diào)制11dtmthtmtmHtm)()()(*)()()(dtmtmHtm)()()()(1)( fM)(fMj)()(fMjf

6、M)()()( tmjtmAtgUSBcUSB)0()0(0)()()(2)()()()()()()()( ffjfjMfMAfMAjfjMfMAfHfjMfMAtmjtmAFfGUSBcccccUSB12)( fM)(fMj)()()( tmjtmAtgLSBcLSB)()(fMjfM)0()0()(2)()(0)()()()()()()()( fffMAjfjMfMAjfjMfMAfHfjMfMAtmjtmAFfGLSBcccccLSB13sin)(cos)()(Re)( ttmttmAetgtsccctjLSBLSBc)()()( tmjtmAtgLSBcLSB)()()( tmjtmA

7、tgUSBcUSBsin)(cos)()(Re)( ttmttmAetgtsccctjUSBUSBc)( fSUSBcc)( fSLSBcc)()( 2/1)(*cUSBcUSBUSBffGffGfS)()( 2/1)(*cLSBcLSBLSBffGffGfS142)SSB信號(hào)的數(shù)字解調(diào)信號(hào)的數(shù)字解調(diào))(nsNCOn0cosn0sin)(nAQ)(nAI解調(diào)輸出解調(diào)輸出SSB的一種數(shù)字解調(diào)的一種數(shù)字解調(diào)Hilbert 變換變換sin)(cos)()( nnmnnmAnscccLSBcos)(sin)()(nnmnnmAnscccLSBHnnmnnmnnmnnmccccsin)(sin)(sin

8、)(cos)(HH)()(sin)()(cos)()()(22nmnnmnnmnAnAccQI153).帶通信號(hào)的包絡(luò)、瞬時(shí)相位和瞬時(shí)頻率帶通信號(hào)的包絡(luò)、瞬時(shí)相位和瞬時(shí)頻率帶通信號(hào)帶通信號(hào)s(t)的解析信號(hào)可以表示為的解析信號(hào)可以表示為)( )()(ts jtstz變換的是其中，Hilbert)()( tsts對(duì)于窄帶雷達(dá)信號(hào)對(duì)于窄帶雷達(dá)信號(hào))(cos)()(0tttats，描述振蕩幅度的變化是幅度，是緩慢變化的其中，)(ta其瞬時(shí)相位為其瞬時(shí)相位為)()(0ttt其瞬時(shí)頻率為其瞬時(shí)頻率為dttddttdti)()()(016其解析信號(hào)可以表示為其解析信號(hào)可以表示為)( )()(ts jtst

9、g)(sin)()(cos)(00tttjattta其其Hilbert變換為變換為)(sin)()( 0tttatss(t)的包絡(luò)可表示為的包絡(luò)可表示為)()()()(22tststatg其瞬時(shí)相位為其瞬時(shí)相位為)()()( arctan)(0tttstst其瞬時(shí)頻率為其瞬時(shí)頻率為dttdtstsdtddttdti)()()( arctan)()(0173)AM信號(hào)的解調(diào)信號(hào)的解調(diào)對(duì)于對(duì)于AM信號(hào)信號(hào)( )( )cos( )cs ta ttt)sin()()cos()()( ttattatsccHLPFLPF)cos(1t)sin(1t)(tsAMv2(t)v1(t)I(t)Q(t)18主要內(nèi)

10、容主要內(nèi)容uHilbert變換變換u匹配濾波器和相關(guān)器匹配濾波器和相關(guān)器uWalsh-Hadamand變換變換uK-L變換變換19頻譜頻譜自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度)()()(ssRSP輸入信號(hào)描述輸入信號(hào)描述 )()()(yyRYP輸出信號(hào)描述輸出信號(hào)描述 線性系統(tǒng)或?yàn)V波器線性系統(tǒng)或?yàn)V波器)()(Hth1.線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入波形輸入波形)(ts輸出波形輸出波形)(ty)(*)()()()(thtsdthsty時(shí)域時(shí)域)()()(HSY頻域頻域)(*)(*)()()()()(211221ssyRhhddRhhR 相關(guān)域相關(guān)域)(| )(|)(2syP PH譜域譜域2

11、02.線性系統(tǒng)的最大輸出響應(yīng)線性系統(tǒng)的最大輸出響應(yīng)線性系統(tǒng)或?yàn)V波器線性系統(tǒng)或?yàn)V波器)()(Hth輸入波形輸入波形)(ts輸出波形輸出波形)(ty研究在規(guī)定的約束條件下研究在規(guī)定的約束條件下,使輸出在使輸出在t0時(shí)刻時(shí)刻|y(t0)| 最大的條件最大的條件應(yīng)用應(yīng)用 ： 通信、雷達(dá)信號(hào)的最佳接收通信、雷達(dá)信號(hào)的最佳接收 , 信號(hào)檢測(cè)信號(hào)檢測(cè).0T求滿足要求的求滿足要求的 h(t)0T)(tyt判決點(diǎn)判決點(diǎn))(ty)(ts)(th例如例如1)基本問(wèn)題基本問(wèn)題注意注意:這里的輸入波形這里的輸入波形s(t)是一個(gè)時(shí)限確知波形。是一個(gè)時(shí)限確知波形。212) Schwrz 施瓦爾茲不等式施瓦爾茲不等式dxx

12、BdxxAdxxBxAbababa222)()()()(時(shí)時(shí) , 上式取等號(hào)上式取等號(hào)當(dāng)當(dāng) , 且僅當(dāng)且僅當(dāng))()(xkAxB3) Cauchy 柯西不等式柯西不等式222111222nnnnnnnnnnnnna bab時(shí)時(shí) , 上式取等號(hào)上式取等號(hào)當(dāng)當(dāng) , 且僅當(dāng)且僅當(dāng)*nnakb223 匹配濾波器匹配濾波器線性系統(tǒng)或?yàn)V波器線性系統(tǒng)或?yàn)V波器)()(Hth輸入波形輸入波形)(ts輸出波形輸出波形)(tyEdSdtts22)(21)(約束條件約束條件: (1)輸入時(shí)限確知實(shí)信號(hào)輸入時(shí)限確知實(shí)信號(hào)s(t)，并且是能量信號(hào)，并且是能量信號(hào)，即：即：(2)輸出信號(hào)輸出信號(hào)y(t)在在t0時(shí)刻時(shí)刻|y(

13、t0)|取最大值取最大值求解求解:滿足上述要求的滿足上述要求的h(t)和和y(t0)或或| y(t0) |2deHStytj0)()(21)(0解解:利用利用Fourier變換變換2322200)()(41)(deHStytj令令)()(HA0)()(tjeSB利用利用Schwrz 施瓦爾茲不等式施瓦爾茲不等式22200)()(41)(deHStytjdHdS222)()(41dHE2)(2 E2 dHEty220)(2)(因此：因此：24dHEty220)(2)(要：要：|y(t0)|2最大，需要滿足下面的條件：最大，需要滿足下面的條件：00)()()(tjtjekSekSH)()()(00

14、ttksttksth由由Fourier逆變換可得：逆變換可得：求求 k ，將，將 H()代入代入dSEk2)(212220)(2)(EdSEty有：有：25物理意義：物理意義： 信號(hào)與系統(tǒng)匹配信號(hào)與系統(tǒng)匹配(或系統(tǒng)與信號(hào)匹配或系統(tǒng)與信號(hào)匹配)可使系統(tǒng)響可使系統(tǒng)響應(yīng)在給定時(shí)刻應(yīng)在給定時(shí)刻t0最大。最大。圖解說(shuō)明圖解說(shuō)明 ：令：令 k=1)()()(thtsty0t)(th0t)(ts1tt 1t0tdttss)()(00tt 0t0t)(tyt應(yīng)用應(yīng)用 ： 信號(hào)檢測(cè)信號(hào)檢測(cè) 從噪聲中提取信號(hào)從噪聲中提取信號(hào) 實(shí)現(xiàn)最佳接收實(shí)現(xiàn)最佳接收dssty)()()(0264 匹配濾波器應(yīng)用實(shí)例匹配濾波器應(yīng)用

15、實(shí)例數(shù)字通信信號(hào)的檢測(cè)：在數(shù)字通信信號(hào)的檢測(cè)：在噪聲噪聲中探測(cè)中探測(cè)某確知、時(shí)限能某確知、時(shí)限能量信號(hào)量信號(hào)是否存在是否存在匹配濾波器匹配濾波器)()(Hth)()()(tntstr)()()(tntstrooo)(*)()( )(*)()( )(*)()(thtntnthtststhtrtrooo )(*)()(fHfSfSo)(| )(|)(2ffHfnnoPPdfffHRtnnnoo)(| )(|)0()(22P匹配濾波器的匹配濾波器的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：使輸出信噪比在特定時(shí)刻最大：使輸出信噪比在特定時(shí)刻最大還有別的約束條件嗎？還有別的約束條件嗎？27dfefSfHtstj0)()()(0

16、0輸出噪聲的平均功率輸出噪聲的平均功率dfffHRtnnnoo)(| )(|)0()(202P有有:022022( ) ( )( ) ( )|( )|( )j tooutonH f S f edfSs tNE n tH ff dfP令令 )()()( and )()()(0fefSfBffHfAntjnPP利用利用 Schwarz不等式不等式dffBdffAdffBfA222)()( )()( 28有有 )(| )(|)()()()(222dfffHdfffSdfffHNSnnnoutPPP當(dāng)當(dāng)A(f)=KB*(f)等號(hào)成立有：等號(hào)成立有：)()( )()(0*fefKSffHntjnPP-2

17、)()(dfffSnP)()()(0*fefKSfHntjP對(duì)于白噪聲來(lái)說(shuō)，對(duì)于白噪聲來(lái)說(shuō)， P Pn(f)=n0/2, 00)()(2)(*0tjtjefCSefSnKfH 2 )(22/)(0-20-02nEdttsndfnfSNSsout)()(0ttCsth29tTs1tTs2tTsN5 相關(guān)器相關(guān)器)()(0ttCsthii對(duì)匹配濾波器來(lái)說(shuō)對(duì)匹配濾波器來(lái)說(shuō)通信系統(tǒng)中使用的匹配濾波器通信系統(tǒng)中使用的匹配濾波器)(*)()(thtrtrii匹配濾波器輸出匹配濾波器輸出dthri)()(000)()(tidttsrdttsrttri)()()(00000)()(tidsrwhere個(gè)符號(hào)波

18、形之一進(jìn)制通信系統(tǒng)中的是NN)(tsi( ),1,2,.,is t iN是有限個(gè)波形30主要內(nèi)容主要內(nèi)容uHilbert變換變換u匹配濾波器和相關(guān)器匹配濾波器和相關(guān)器uWalsh-Hadamand變換變換uK-L變換變換311. 正交函分類正交函分類在非正弦類函數(shù)中，除拉德馬赫在非正弦類函數(shù)中，除拉德馬赫(Rademacher)函數(shù)函數(shù)集不完備外，其它三種函數(shù)集均是完備正交集。集不完備外，其它三種函數(shù)集均是完備正交集。321)勒讓德勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式多項(xiàng)式,.2 , 1 , 0,1!21)(2ntdtdntPnnnnnttP)(12123)(22ttPtttP2325)(33一組

19、勒讓德多項(xiàng)式在一組勒讓德多項(xiàng)式在 區(qū)間區(qū)間-1t1內(nèi)構(gòu)成一個(gè)完備正交函數(shù)集內(nèi)構(gòu)成一個(gè)完備正交函數(shù)集,.2 , 1 , 0,)(ntPn1)(0tP因此可得：因此可得：選作選作3-1(3-1(選作選作) )：證明：證明：勒讓德多項(xiàng)式在勒讓德多項(xiàng)式在 區(qū)間區(qū)間-1t1內(nèi)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)集內(nèi)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)集,.2 , 1 , 0,)(ntPn332) Walsh函數(shù)函數(shù)10t1wal(0,t)10t1wal(1,t)t1wal(2,t)10t1wal(4,t)10t1wal(3,t)1010t1wal(7,t)1010t1wal(5,t)t110wal(6,t)Walsh編號(hào)的編號(hào)的Walsh函數(shù)

20、函數(shù)N=8選作選作3-2：證明：證明N=8的的Walsh函數(shù)是兩兩正交的函數(shù)，即函數(shù)是兩兩正交的函數(shù)，即7, 1 , 0m, km 0km ),(),(10kKdttkaltmalmk34),( tialkf的列頻率為的列頻率為定義：定義：列頻率列頻率為奇數(shù)為偶數(shù)kkkkkfk0 2/ ) 1(2/0100 1/4 1/2 3/4 1頻率 列頻率001112 222333 34 410101010101010Walsh函數(shù)與函數(shù)與Fourier諧波諧波 35在在) 1 , 0t上絕對(duì)可積的信號(hào)上絕對(duì)可積的信號(hào)s(t)都能展開成級(jí)數(shù)形式都能展開成級(jí)數(shù)形式 0),()(kktkaldtswhere

21、, 2 , 1 , 0 ),()(10kdttkaltsdkWalsh采樣函數(shù)可用采樣函數(shù)可用Handmad矩陣來(lái)表示。矩陣矩陣來(lái)表示。矩陣)(nhH可用如下的遞歸關(guān)系生成可用如下的遞歸關(guān)系生成 nkkkkkkhhhhh, 1 ) 1() 1() 1() 1()(HHHHH3). Hadamard矩陣矩陣 1)0(hH362. Walsh-Hadamard變換變換)1(),1 (),0()(NsssnTs的的Walsh-Hadamard變換變換)()(1)(nnNnhsHb逆變換逆變換)()()(nnnhbHsNn2logwhere例題例題：s(m)= 1, 2,-1, 3，求序列的，求序列的

22、Walsh-Handmad變換變換 )2()2(41)2(sHbh373121111111111111111141)3()2() 1 ()0(bbbb43,41,45,45)(nTb(0)11115/ 41(1)11115/ 42(2)11111/ 41(3)11113/ 43ssss38主要內(nèi)容主要內(nèi)容uHilbert變換變換u匹配濾波器和相關(guān)器匹配濾波器和相關(guān)器uWalsh-Hadamand變換變換uK-L變換變換39K-L變換是一種特殊的正交變換，是在最小均方意變換是一種特殊的正交變換，是在最小均方意義下對(duì)信號(hào)的最佳近似。因此，義下對(duì)信號(hào)的最佳近似。因此，K-L變換又稱為最變換又稱為最佳

23、變換，主要用于一維和二維信號(hào)的數(shù)據(jù)壓縮佳變換，主要用于一維和二維信號(hào)的數(shù)據(jù)壓縮 1. 連續(xù)連續(xù)K-L變換變換對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程有,),(btats NmmmNtsts1)(lim)(dtttsttssmbamm)()()(),(是不相關(guān)的是不相關(guān)的 , 2 , 1),(mtm為為 正交歸一基。其系數(shù)為正交歸一基。其系數(shù)為where,2baLPCA(主分量分析主分量分析) ICA(獨(dú)立分量分析獨(dú)立分量分析) MUSIC 算法算法40 ( ),( )( ),( ) m nmmE s sEs tts ttduuusdtttsEnbamba)()()()(banbamdtduuustsEt)

24、()()()(nmm,)()(),(ustsEutRss令：nmmbanbassmdtduuutRt,)(),()( 則有：)()(),(tduuutRnnnbass, 2 , 1,mm為本征值為本征值 , 2 , 1),(mtm本征函數(shù)本征函數(shù)where412. 離散離散K-L變換變換TNssss)1(,),2(),1 (),0(s一個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)向量一個(gè)平穩(wěn)實(shí)隨機(jī)向量其協(xié)方差矩陣其協(xié)方差矩陣 ）（）（）（1(11101111110100100)(NNNNNNTssscccccccccmmEssC通過(guò)將數(shù)據(jù)序列中的相關(guān)性去除來(lái)達(dá)到壓縮數(shù)據(jù)的目的通過(guò)將數(shù)據(jù)序列中的相關(guān)性去除來(lái)達(dá)到壓縮數(shù)據(jù)的目的s

25、EmswherewherejiTssijcmjsmisEc)()()(0sEmswhenwhenijijrjsisEc)()(ssRC 1).基本思想基本思想42進(jìn)行變換，得到另一個(gè)矢量進(jìn)行變換，得到另一個(gè)矢量Us對(duì)矢量對(duì)矢量，即，即zUsz U離散離散K-L變換的基本思想變換的基本思想是，尋求正交矩陣是，尋求正交矩陣 ，如果用，如果用zCsR則則z的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣或相關(guān)矩陣或相關(guān)矩陣是一個(gè)對(duì)角矩陣。是一個(gè)對(duì)角矩陣。 2).實(shí)現(xiàn)步驟實(shí)現(xiàn)步驟0|sCI110,NsC求出矩陣求出矩陣的特征值的特征值求出信號(hào)求出信號(hào)的協(xié)方差矩陣，由多項(xiàng)式的協(xié)方差矩陣，由多項(xiàng)式s，其中，其中，I為單位矩陣為單位矩陣1, 1 , 0NiiiisuuCsC1, 1 , 0,Niiu利用利用求出矩陣求出矩陣的的N個(gè)特征向量個(gè)特征向量43將將 作歸一化，即令作歸一化，即令1, 1 , 0,Ni