1、第四講 不 等 式初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識(shí)本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識(shí)一、一元二次不等式及其解法 1形如的不等式稱為關(guān)于的一元二次不等式【例1】解不等式分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號(hào)法則 - 正正(負(fù)負(fù))得正、正負(fù)得負(fù)”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組解：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是說明：當(dāng)把一元二次不等式化為的形式后，只要左邊可以分解為兩個(gè)一次因式，即可運(yùn)用本題的解法【例2】解下列不等式：(1) (2) 分析：要先將不等式化為的形式，通常使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)解：

2、(1) 原不等式可化為：，即于是：所以原不等式的解是(2) 原不等式可化為：，即于是：所以原不等式的解是2一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡(jiǎn)稱：三個(gè)二次)以二次函數(shù)為例：(1) 作出圖象；(2) 根據(jù)圖象容易看到，圖象與軸的交點(diǎn)是，即當(dāng)時(shí)，就是說對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩實(shí)根是(3) 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像位于軸的上方就是說的解是當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像位于軸的下方就是說的解是一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1) 將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；(2) 觀測(cè)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象如果圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來判斷)

3、 那么(圖1)： 如果圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來判斷) 那么(圖2)： 無解如果圖象與軸沒有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根 (也可由根的判別式來判斷) 那么(圖3)： 取一切實(shí)數(shù) 無解如果單純的解一個(gè)一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：(1) 化二次項(xiàng)系數(shù)為正；(2) 若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根那么“”型的解為(俗稱兩根之外)；“”型的解為(俗稱兩根之間)；(3) 否則，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解【例3】解下列不等式：(1) (2) (3) 解：(1) 不等式可化為 不

4、等式的解是 (2) 不等式可化為 不等式的解是 (3) 不等式可化為【例4】已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：顯然不合題意，于是：【例5】已知關(guān)于的不等式的解為，求的值分析：對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根是和，且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開口向上根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解解：由題意得：說明：本例也可以根據(jù)方程有兩根和，用代入法得：，且注意，從而二、簡(jiǎn)單分式不等式的解法【例6】解下列不等式：(1) (2) 分析：(1) 類似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號(hào)法則”將之化為兩個(gè)一元一次不等式組處理；或者因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)(式)相除異號(hào)，那么這兩個(gè)數(shù)(式)相乘也異號(hào)，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式

5、不等式求解 (2) 注意到經(jīng)過配方法，分母實(shí)際上是一個(gè)正數(shù)解：(1) 解法(一) 原不等式可化為： 解法(二) 原不等式可化為：(2) 原不等式可化為：【例7】解不等式解：原不等式可化為：說明：(1) 轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，一定要先將右端變?yōu)? (2) 本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號(hào)：三、含有字母系數(shù)的一元二次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式(1) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(2) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(3) 當(dāng)時(shí)，不等式化為：； 若，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)； 若，則不等式無解【例8】求關(guān)于的不等式的解解：原不等式可化為：(1) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為；(2) 當(dāng)時(shí)， 時(shí)，不等式的

6、解為； 時(shí)，不等式的解為； 時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)(3) 當(dāng)時(shí)，不等式無解綜上所述：當(dāng)或時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，不等式無解練：解不等式（1） （2）【例9】已知關(guān)于的不等式的解為，求實(shí)數(shù)的值分析：將不等式整理成的形式，可以考慮只有當(dāng)時(shí)，才有形如的解，從而令解：原不等式可化為：所以依題意：練 習(xí) a 組1解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 2解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 3解下列不等式：(1) (2) 4已知不等式的解是，求的值5解關(guān)于的不等式6已知關(guān)于的不等式的解是，求的值7已知不等式的解是，求不等式的解 b 組1已知關(guān)于的不等式的解是一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍2若不等式的解是，求的值3解關(guān)于的不等式4取何值時(shí)，代數(shù)式的值不小于0？5已知不等式的解是，其中