1、精品資料歡迎下載第一講分式方程 (組 )的解法分母中含有未知數的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是轉化為整式方程求解，轉化的基本方法是去分母、換元，但也要靈活運用，注意方程的特點進行有效的變形變形時可能會擴大(或縮小)未知數的取值范圍，故必須驗根例1 解方程1+ x21+ x21=0x2 11x 82x 813x 8解 令 y x2 2x 8，那么原方程為111+=0y 9 yyy 15x去分母得y(y 15x) (y9x)( y 15x) y(y 9x) 0，y24xy 45x2 0，(y 5x)( y 9x) 0，所以y 9x 或 y 5x由 y 9x 得 x2 2x 8 9x，即 x2

2、 7x 80，所以 x1 1， x2 8；由 y 5x，得 x2 2x 8 5x，即 x27x 8 0，所以 x3 8， x4 1經檢驗，它們都是原方程的根例2 解方程x24 x 72x72 0 72x72 180x 1x24 x18x24x解 設 y x24 x ，則原方程可化為y 72 180x1yy2 18y 72 0，精品資料歡迎下載所以y1 6 或 y2 12當 y6時，x24 x22x=6， x 4x 6x 6，故 x 2x 6 0，此方程無實數根12當 y12 時， x4x =12 ， x2 4x 12x 12，故 x2 8x 120,故 x2 8x 12 0， x 1所以x12

3、 或 x2 6經檢驗， x1 2， x2 6 是原方程的實數根例3 解方程x63x210 x42 x1x1x23x2x02分析與解 我們注意到：各分式的分子的次數不低于分母的次數，故可考慮先用多項式除法化簡分式原方程可變?yōu)?+ 5(3x2) 230 ，x1x23x2x2整理得53x20，x 1x 2x23x 2去分母、整理得x 9 0， x 9經檢驗知， x 9 是原方程的根例4 解方程x1 + x6 = x2 x5 x2 x7 x3 x6分析與解 方程中各項的分子與分母之差都是 1，根據這一特點把每個分式化為整式和真分式之和，這樣原方程即可化簡原方程化為精品資料歡迎下載11111111，x2

4、x7x3x61111x6x7x2x3即11=，(x 6)( x 7)(x 2)( x 3)所以(x 6)(x 7) (x 2)(x 3)解得 x 9 2經檢驗 x 9 是原方程的根2例5 解方程1+11=11 x( x1)x( x1)( x 9)( x10) 12分析與解注意到方程左邊每個分式的分母中兩個一次因式的差均為常數1，故可考慮把一個分式拆成兩個分式之差的形式，用拆項相消進行化簡原方程變形為11111111 ，x 1 xxx 1x 9 x 10 12整理得1111x 1x 1012去分母得x2 9x 220，解得x1 2， x2 11精品資料歡迎下載經檢驗知， x12， x2 11 是

5、原方程的根例6 解方程2 x23x22x25x32 x23x2=25 x32x分析與解分式方程如比利式a c ，且本題分子與分母的一次項與常數項符號相反，故可考慮用bd合比定理化簡原方程變形為(2 x23 x 2)(2 x23x 2)= (2 x25x 3)(2 x25x 3) ，2 x23x 22 x25x 34 x24 x22 x2=，3 x 2 2 x25x 3所以x 0 或 2x2 3x 2 2x2 5x 3解得 x 0 或 x 1 8經檢驗， x0 或 x 1 都是原方程的根8例7 解方程3x24 x1x24 x124 x=x24 x13 x1分析與解 形式與上例相似本題中分子與分母

6、只是一次項的符號相反，故可考慮用合分比定理化簡原方程變形為(3x24x1)(3x24 x1)( x24x1)(x24 x1)(3 x24x1)(3 x24 x1)=4x1)(x24 x1)( x2即 6 x22=2x22 8x8x當 x0時，解得x ±1精品資料歡迎下載經檢驗， x±1 是原方程的根，且x 0 也是原方程的根說明使用合分比定理化簡時，可能發(fā)生增根和失根的現象，需細致檢驗像 x1a1因而至多有兩個根 顯然 a1 時， x1 ax這類特殊類型的方程可以化成一元二次方程，a與 x2 1就是所求的根例如，方程 x131，即 x131，所以 x1 3，x2 1 ax3

7、x33例8 解方程x2x 12 x2x219x2+x2x1=16解 將原方程變形為x2x 1+x2123x212x 1= +2，x323123設 yxx 1 ，則原方程變?yōu)閥3x212y22， y23解得 y132當x2x 12時，35x2=3x2；1當 x2x 1 = 3 時， x 1；x212經檢驗 x 1 及 x3 5均是原方程的根2例 9 解關于 x 的方程ax +bx =21 bxax2解 設 y ax ，則原方程變?yōu)?1y2bxy2精品資料歡迎下載所以 y12 或 y2 1 2由 ax =2 ，得 x1 a 2b；由 a x = 1 ，得 x2 b2abxbx2將 x1 a2b 或

8、 x2 b2a 代入分母 b x，得 ab 或 2(ba) ，所以，當 ab 時， x1 a2b 及 x2 b 2a 都是原方程的根當 a b 時，原方程無解例 10 如果方程xx 22xa+x( x=0x 2xa)只有一個實數根，求a 的值及對應的原方程的根分析與解將原方程變形，轉化為整式方程后得2x2 2x (a 4) 0 原方程只有一個實數根，因此，方程的根的情況只能是：(1)方程有兩個相等的實數根，即 4 4·2(a 4) 0解得 a 7 此時方程的兩個相等的根是x x 1 2122（ 2）方程有兩個不等的實數根，而其中一根使原方程分母為零，即方程有一個根為0或 2（ i ）

9、當 x 0 時，代入式得 a 4 0，即 a 4這時方程的另一個根是x 1(因為 2x22x 0，x(x 1) 0， x1 0 或 x2 1而 x1 0 是增根 )它不使分母為零，確是原方程的唯一根（ ii ）當 x 2 時，代入式，得2×4 2×2 (a 4)0，即 a 8這時方程的另一個根是 x 1( 因為 2x2 2x 4 0( x2)( x 1) 0，所以 x1 2(增根 )，x2 1)它不使分母為零，確是原方程的唯一根因此，若原分式方程只有一個實數根時，所求的a 的值分別是精品資料歡迎下載 7， 4， 8，其對應的原方程的根一次為1 ，1， 122練習一1填空：（ 1）方程 x110 1 的一個跟是10，則另一個跟是 _ x 82（ 2）如果方程 x2bx = m1 有等值異號的根，那么m _axcm1（ 3）如果關于 x 的方程x21k5k1 有增根 x1，則 k _x +x2x =x21（ 4）方程 x1+ x1= 10 的根是 _x1 x132解方程4xx + x35x30x32x22x25x 23解方程x