1、精品1.1回歸分析的基本思想及其初步應用授課教師： 王宏 郭懿 教學重點：(1)通過對實際問題的分析，了解回歸分析的必要性與回歸分析的 一般步驟；了解線性回歸模型與函數模型的區別；(2)嘗試做散點圖，求回歸直線方程；(3)能用所學的知識對實際問題進行回歸分析，體會回歸分析的實 際價值與基本思想；了解判斷刻畫回歸模型擬合好壞的方法一一糕指 數和殘差分析。教學難點：(1)求回歸直線方程，會用所學的知識對實際問題進行回歸分析.(2)掌握回歸分析的實際價值與基本思想.(3)能運用自己所學的知識對具體案例進行檢驗與說明.(4)殘差變量的解釋； (5)偏差平方和分解的思想；教學內容：一、基礎知識梳理1 .

2、回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這 兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫作回歸直線。求回歸直線方程的一般步驟：作出散點圖(由樣本點是否呈條狀分布 來判斷兩個量是否具有線性相關關系)，若存在線性相關關系一求 回歸系數一寫出回歸直線方程，并利用回歸直線方程進行預測說 明.2 .回歸分析：對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方 法。建立回歸模型的基本步驟是：確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量； 畫好確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系 (線性關系).由經驗確定回歸方程的類型.按一定規則估計回歸方程中的參數(最小

3、二乘法)；得出結論后在分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢驗數據是否 有誤，后模型是否合適等.3 .利用統計方法解決實際問題的基本步驟：(1)提出問題；(2)收集數據；(3)分析整理數據；(4)進行 預測或決策。4 .殘差變量白的主要來源：(1)用線性回歸模型近似真實模型(真實模型是客觀存在的，通常 我們并不知道真實模型到底是什么)所引起的誤差。可能存在非線性 的函數能夠更好地描述)與x之間的關系，但是現在卻用線性函數 來表述這種關系，結果就會產生誤差。這種由于模型近似所引起的誤 差包含在學中。(2)忽略了某些因素的影響。影響變量尸的因素不只變量入一個， 可能還包含其他許多因素(例如在描述身高

4、和體重關系的模型中，體 重不僅受身高的影響，還會受遺傳基因、飲食習慣、生長環境等其他因素的影響)，但 通常它們每一個因素的影響可能都是比較小的，它 們的影響都體現在營中。(3)觀測誤差。由于測量工具等原因，得到的 的觀測值一般是有 誤差的(比如一個人的體重是確定的數，不同的秤可能會得到不同的 觀測值，它們與真實值之間存在誤差)，這樣的誤差也包含在白中。 上面三項誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。二、例題選講 例1:研究某灌溉渠道水的流速 與水深式 之間的關系，測得一組數據如下：水深力物1.401.501.601.701.801.902.002.10流速1.701.791.881.95

5、2.032.102.162.21(1)求產對X的回歸直線方程；(2 )預測水深為1.95沿 時水的流速是多少？ 分析：本題考查如何求回歸直線的方程，可先把有關數據用散點圖表 示出來，若這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，說明 這兩個變量線性相關，從而可利用我們學過的最小二乘估計思想及計 算公式求得線性回歸直線方程(1)由于問題中要求根據水深預報水的流速，因此選取水深為解釋變量，流速為預報變量，作散點圖：15 -144111HN。 x/m由圖容易看出，或 與T之間有近似的線性關系，或者說，可以用一個回歸直線方程A 1 1-b = 0.7330.694產取來反映這種關系。由計算器求得15

6、。對或的回歸直線方程為W0.733工十0.694 。(2)由(1)中求出的回歸直線方程，把x = L95代入，易得9 = 0.7g乂 195-0694 劉 2.12(掰曲)- o計算結果表示，當水深為茄 時可以預測渠水的流速為0評注：建立回歸模型的一般步驟：(1)確定研究對象，明確兩個變量即解釋變量和預報變量；(2)畫出散點圖，觀察它們之間的關系；(3)由經驗確定回歸方程類型(若呈線性關系，選用線性回歸方程)；(4)按一定規則估計回歸方程中的參數(如最小二乘法)；(5)得出結果后分析殘差圖是否有異常(個別數據對應殘差過大， 或殘差出現不隨機的規律性，等等)，若存在異常，則檢查數據是否 有誤，或

7、模型是否合適等。例2: 1993年到2002年中國的國內生產總值(GDP)的數據如下：年份GDP199334634.4199446759.4199558478.1199667884.6199774462.6199878345.2199982067.5200089468.1200197314.8-可編輯-2002104790.6作GDP和年份的散點圖，根據該圖猜想它們之間的關系應是什么建立年份為解釋變量，GDP為預報變量的回歸模型，并計算殘差根據你得到的模型，預報2003年的GDP,并查閱資料，看看你 的預報與實際GDP的誤差是多少。你認為這個模型能較好地刻畫GDP和年份的關系嗎？請說明理 由。

8、解：（1）由表中數據制作的散點圖如下:從散點圖中可以看出GDP值與年份近線呈線性關系；用yt表示GDP值，t表示年份，根據截距和斜率的最小二乘計算公式，得：阪-142g25”729年用7191969從而得線性回歸方程：y = 7191%9t-14292537 729殘差計算結果見下表：GDP值與年份線性擬合殘差表年19931994199519961997殘-6422.269-1489.2383037.4935252.0244638.055年19981999200020012002殘1328.685-2140.984-1932.353-1277.622-993.7912003 年的GDP預報值為

9、112976.360,根據國家統計局2004 年統計，2003年實際GDP值為117251.9 ,所以預報與實際相 -4275.540;上面建立的回歸方程的R2=0.974 ,說明年份能夠解釋約97%的 GDP值變化，因此所建立的模型能夠很好地刻畫GDP和年份的關系。說明：關于2003年的GDP的值來源，不同的渠道可能會有所不同。例3:如下表所示，某地區一段時間內觀察到的大于或等于某震級x的地震個數為N,試建立回歸方程表述二者之間的關系震級33.23.43.63.844.24.44.64.85.0地震數2838120380147951069576415502384226981919135697

10、3震級5.25.45.65.866.26.46.66.87地震數74660443527420614898574125解：由表中數據得散點圖如下:從散點圖中可以看出，震級x與大于該震級的地震次數N之間不呈 線性相關關系，隨著x的減少，所考察的地震數N近似地以指數形 式增長.做變換y=lgN ,得到的數據如下表所示：x33.23.43.63.844.24.44.64.85y4.4534.3094.1704.0293.8833.7413.5853.4313.2833.1322.988x5.25.45.65.866.26.46.66.87y2.8732.7812.6382.4382.3142.1701

11、.9911.7561.6131.398x和y的散點圖如下：25 31K 3 4jO Q 5 0>6 0 .8.5 7j0 工5從這個散點圖中可以看出x和y之間有很強的線性相差性，因此可以用線性回歸模型擬合它們之間的關系。根據截距和斜率的最小二乘計算公式，得：6 704, £-0 741,故線性回歸方程為：-OKIk+ 6.704相關指數R2= 0.997，說明x可以解釋y的99.7%的變化。因此，可 以用回歸方程由=1加4Msm4描述x和y之間的關系。例4：電容器充電后，電壓達至，然后開始放電，由經驗知道， 此后電壓？隨時間£變化的規律公式口三以小之。）表示，觀測得時

12、 間網田時的電壓雙乃如下表所示：£012345678910U100755540302015101055試求電壓P 對時間2的回歸方程 分析：由于兩個變量不呈線性相關關系，所以不能直接利用線性回歸 方程來建立兩個變量之間的關系，我們可通過對數變換把指數關系變 為線性關系，通過線性回歸模型來建立？ 與看之間的非線性回歸方 程。解：對兩邊取自然對數得現，令尸3M，即沙”由所給數據可得012345678910In W4.64.34.03.93.42.92.72.32.31.61.64clflb由散點圖可知與七具有線性相關關系，可用來表示。經計算得：£",嚴£遂&

13、quot;03：印6 （最小二乘法），.y= 一0.裁 +46即島口 = 一0至+4石。 所以，=產.評注：一般地，有些非線性回歸模型通過變換可以轉化為線性回歸模 型，即借助于線性回歸模型研究呈非線性回歸關系的兩個變量之間的 關系：（1）如果散點圖中的點分布在一個直線狀帶形區域，可以選用線性 回歸模型來建模；（2）如果散點圖中的點的分布在一個曲線狀帶形區域，要先對變量 作適當的變換，再利用線性回歸模型來建模。隨堂練習：1.對具有相關關系的兩個變量統計分析的一種常用的方法是（）A.回歸分析 B.相關系數分析 C.殘差分析 D.相關指 數分析2 .在畫兩個變量的散點圖時，下面敘述正確的是 A.預報

14、變量在內軸上，解釋變量在丁軸上 上，預報變量在丁軸上C.可以選擇兩個變量中任意一個變量在黑軸上 變量中任意一個變量在7軸上3 .兩個變量相關性越強，相關系數？（）A .越接近于0B.越接近于1（ ）B.解釋變量在界軸D.可以選擇兩個C.越接近于1D.絕對值越接近14.若散點圖中所有樣本點都在一條直線上，解釋變量與預報變量的相 關系數為（）A. 0B.1C. 1D. 1 或 15.一位母親記錄了她兒子3到9歲的身高，數據如下表：年齡（歲13456789身高產）194.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0由此她建立了身高與年齡的回歸模型尸= 73.93 + 719工，她用

15、這個模型預測兒子10歲時的身高，則下面的敘述正確的是（）A.她兒子10歲時的身高一定是145.83匕淞 B.她兒子10歲時的身高在145.83.以上C.她兒子10歲時的身高在145.83 加 左右 D.她兒子10歲時的身高在145.83源以下八6 .兩個變量有線性相關關系且正相關，則回歸直線方程中，*二歷十口 的系數b （）A，：B ：C> " -D. -7 .兩個變量有線性相關關系且殘差的平方和等于0,則（）A.樣本點都在回歸直線上 B.樣本點都集中在回歸直線附近C.樣本點比較分散D.不存在規律8 .在建立兩個變量尸 與X的回歸模型中，分別選擇了 4個不同的模 型，它們的相關

16、指數屈如下，其中擬合最好的模型是（）A.模型1的相關指數爐 為0.98B.模型2的相關指數爐 為0.80C.模型3的相關指數屈 為0.50D.模型4的相關指數爐 為0.259 .相關指數.010 .某農場對單位面積化肥用量川炮）和水稻相應產量炮）的關系 作了統計，得到數據如下:15202530354045卜330345365405445450455如果K與/之間具有線性相關關系，求出回歸直線方程，并預測當 單位面積化肥用量為無履 時水稻的產量大約是多少？（精確到 。跖）11 .假設美國10家最大的工業公司提供了以下數據：公司銷售總額經X1/百萬美元利潤X2/百萬美元通用汽車1269744224

17、福特969333835埃克森866563510BM634383758通用電氣552643939美孚509761809菲利普交1斯390692946克萊斯勒36156359杜邦352092480德士古324162413(1)作銷售總額和利潤的散點圖，根據該圖猜想它們之間的關系應 是什么形式； 建立銷售總額為解釋變量，利潤為預報變量的回歸模型，并計 算殘差；(3) 你認為這個模型能較好地刻畫銷售總額和利潤之間的關系 嗎？請說明理由。參考答案：A B D BC A A A一-丁京二1-軍-9 .口10 .由于問題中要求根據單位面積化肥用量預報水稻相應的產量，因此選取單位面積的化肥用量為解釋變量，相應

18、水稻的產量為預報變量，作散點圖：由圖容易看出，h與y之間有近似的線性關系，或者說，可以用一個回歸直線方程y = 3 來反映這種關系。由計算器求得方"上,”256.79。¥對或的回歸直線方程為戶4萬“256.T9（ *）。由（*）中求出的回歸直線方程，把032代入巨陽 3二4乃乂32+256.79=408.79計算結果表示，當單位面積化肥用量為義炮時水稻的產量大約是 408.79ig.11 .將銷售總額作為橫軸，利潤作為縱軸，根據表中數據繪制散點圖如下：由于散點圖中的樣本點基本上在一個帶形區域分布，猜想銷售總額與 利潤之間呈現線性相關關系； 由最小二乘法的計算公式，得：1334.5,0.026 則線性回歸方程為：9 =其殘差值計算結果見下表:銷售總額12697496933866