1、習題一（A）1. 用三個事件的運算表示下列事件：（1）中至少有一個發生；（2）中只有發生；（3）中恰好有兩個發生；（4）中至少有兩個發生；（5）中至少有一個不發生；（6）中不多于一個發生.解：（1） （2） (3) (4) (5) (6) 2. 在區間上任取一數， 記 ，求下列事件的表達式：（1）； （2）； (3) .解：（1） （2） （3）3. 已知，求.解：, 4. 已知，求與.解：, , , 5.將13個分別寫有的卡片隨意地排成一行，求恰好排單詞“”的概率.解：6. 從一批由45件正品、5件次品組成的產品中任取3件產品，求其中恰好有1件次品的概率.解：7. 某學生研究小組共有12名同

2、學，求這12名同學的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率.解： :8. 在100件產品中有5件是次品，每次從中隨機地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率.解：設表示第次取到次品， 9. 兩人相約7點到8點在校門口見面，試求一人要等另一人半小時以上的概率.解：10. 兩艘輪船在碼頭的同一泊位停船卸貨，且每艘船卸貨都需要6小時.假設它們在一晝夜的時間段中隨機地到達，求兩輪船中至少有一輪船在停靠時必須等待的概率.解：11. 任取兩個不大于的正數，求它們的積不大于，且它們和不大于1的概率.解： ， ，所以 ， 12. 設 證明：.證明： 13. 有朋自遠方來，他坐火車、坐船、坐汽

3、車和坐汽車的概率分別為 .若坐火車來，遲到的概率是；若坐船來，遲到的概率是；若坐汽車來，遲到的概率是；若坐飛機來，則不會遲到.求他遲到的概率.解：14. 設10個考題簽中有4個難答，3人參加抽簽，甲先抽，乙次之，丙最后.求下列事件的概率： （1）甲抽到難簽； （2）甲未抽到難簽而乙抽到難簽； （3）甲、乙、丙均抽到難簽.解；（1） （2） （3） 15. 發報臺分別以概率0.6和0.4發出信號“”和“” .由于通信系統受到干擾，當發出信號“”時，收報臺未必收到信號“”，而是分別以概率0.8和0.2收到信號“”和“”；同樣，當發出信號“”時，收報臺分別以0.9和0.1收到信號“”和“”.求：（1

4、）收報臺收到信號“”的概率；（2）當收到信號“”時，發報臺確實是發出信號“”的概率.解：（1） （2）16. 設相互獨立，求.解： , 17. 兩兩獨立的三事件滿足并且.若，求.解： , 18、證明：（1）若，則. （2）若，則事件與相互獨立.證明：（1） , (2) , 19. 甲、乙、丙三人獨立地向一架飛機射擊.設甲、乙、丙的命中率分別為0.4，0.5，0.7. 又飛機中1彈，2彈，3彈而墜毀的概率分別為0.2，0.6，1. 若三人各向飛機射擊一次，求：（1）飛機墜毀的概率；（2）已知飛機墜毀，求飛機被擊中2彈的概率.解：（1） （2） 20. 三人獨立破譯一密碼，他們能獨立譯出的概率分別

5、為0.25，0.35，0.4.求此密碼能被譯出的概率.解： 21. 在試驗中，事件發生的概率為，將試驗獨立重復進行三次，若在三次試驗中“至少出現一次的概率為”，求.解：，22. 已知某種燈泡的耐用時間在1000小時以上的概率為0.2，求三個該型號的燈泡在使用1000小時以后至多有一個壞掉的概率.解：23. 設有兩箱同種零件，在第一箱內裝50件，其中有10件是一等品；在第二箱內裝有30件，其中有18件是一等品.現從兩箱中任取一箱，然后從該箱中不放回地取兩次零件，每次1個，求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）已知第一次取出的零件是一等品，第二次取出的零件也是一等品的概率.解： （1）

6、(2) （B） 1.箱中有個白球和個黑球，從中不放回地接連取次球，每次1個.求最后取出的是白球的概率.解：2. 一棟大樓共有11層，電梯等可能地停在2層至11層樓的每一層，電梯在一樓開始運行時有6位乘客，并且乘客在2層至11層樓的每一層離開電梯的可能性相等，求下列事件的概率： （1）某一層有兩位乘客離開； （2）沒有兩位及以上的乘客在同一層離開； （3）至少有兩位乘客在同一層離開.解：（1） （2） (3) 3.將線段任意折成3折，求此3折線段能構成三角形的概率.解：， ， 4. 設平面區域由四點圍成的正方形，現向內隨機投10個點，求這10個點中至少有2個落在由曲線和直線所圍成的區域的概率.解

7、： ， 5. 設有來自三個地區的10名、15名、25名考生的報名表，其中女生的報名表分別為3份、7份、5份. 隨機地取一個地區的報名表，從中先后抽取兩份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率.解：（ 1） （2） 6. (Banach問題)某數學家有兩盒火柴，每盒裝有根，每次使用時，他在任一盒中取一根，問他發現一空盒，而另一盒還有根火柴的概率是多少.解：習題二 （ A ）1同時拋擲3枚硬幣，以表示出現正面的枚數，求的分布律。解：, 2. 一口袋中有6個球，依次標有數字，從口袋中任取一球，設隨機變量為取到的球上標有的數字，求的分布律以及分布

8、函數.解： 3.已知隨機變量的分布函數為 ，求概率解： 4.設隨機變量的分布函數為 求：（1）的值；（2）求.解：由于在點處右連續，所以,即 ， 。 5. 設離散型隨機變量的分布律為 (1)(2)分別求出上述各式中的.解：（1）， (2) ，6.已知連續型隨機變量的分布函數為 ，求常數和。解：，。7.已知連續型隨機變量的概率密度為 ，求常數和概率.解： ， 8.已知連續型隨機變量的概率密度為 ，求的分布函數。 解： 9.連續不斷地擲一枚均勻的硬幣，問至少擲多少次才能使正面至少出現一次的概率不少于0.99.解：， 10 .設每分鐘通過某交叉路口的汽車流量服從泊松分布，且已知在一分鐘內無車輛通過與

9、恰有一輛車通過的概率相同，求在一分鐘內至少有兩輛車通過的概率.解：, ，。 11.設每次射擊命中目標的概率為0.001，共射擊5000次，若表示命中目標的次數。（1）求隨機變量的分布律；（2）計算至少有兩次命中目標的概率.解：（1） （2）, 12.設隨機變量的密度函數為.（1）求常數；（2）求的分布函數。（3）求.解：（1）， （2） （3）13.證明：函數（為正常數）是某個隨機變量的密度函數.證明：由于在內，且 ，所以，是某隨機變量的概率密度。14.設隨機變量的概率密度為，求：（1）的分布函數；（2）求.解：（1） , （2）.15.某種顯像管的壽命（單位：千小時）的概率密度為 ，（1）求

10、常數的值；（2）求壽命小于1千小時的概率.解：（1） （2）。16.設，（1）求，.（2）已知，,，求常數.解： （1） （2）查表知， 17.設，求：（1）；（2）；（3）.解： （1） （2） （3）18. 設隨機變量服從參數為的泊松分布，記隨機變量，求隨機變量的分布律.解： .19. 設隨機變量的概率密度為， 對獨立重復觀察三次，求至少有兩次觀察值不大于的概率.解：用表示觀察值不大于的次數，則， 20. 已知電源電壓服服從正態分布 ,在電源電壓處于, 三種情況下，某電子元件損壞的概率分別為。（1） 求該電子元件損壞的概率；（2） 已知該電子元件損壞，求電壓在的概率 解： (1) (2)

11、21. 假設自動生產線加工的某種零件的內徑服從正態分布，內徑小于10或大于12 為不合格品，其余為合格品，銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品則虧損，若銷售利潤與銷售零件的內徑有下列關系 求的分布律.解： 22. 已知隨機變量的分布律為，求的分布律。解： 23. 設隨機變量服從上的均勻分布，求的概率密度.解： ， 24. 設隨機變量服從參數為的指數分布，令，求隨機變量的密度函數.解：， 。 由于，所以當時，；當時，；當時， ，于是 25. 設隨機變量，求隨機變量的密度函數.解： ， 當時，；當時， ，于是， （ B ）1. 某種電子元件的壽命（單位：小時）的概率密度為 ，（1）求該電子元件能正

12、常使用小時以上的概率；（2）已知該電子元件已經使用了小時，求它還能只用小時的概率。解：（1）； （2） 。 2. 設連續型隨機變量的密度函數是偶函數，證明：（1）和有相同的分布；（2）.證明：（1）令，則的分布函數 ，從而的概率密度為 ，所以與具有相同的概率密度。（2） ，令，則 ，所以 。3.設隨機變量的概率密度為 ， ，求（1） 隨機變量的概率密度。（2） 隨機變量的概率密度。解： （1） 當時， ，當時，進而 。綜上所述， ；（2）當時， ，于是的概率密度為 ；當時，；當時，于是 。4. 設一大型設備在任何長度為的時間間隔內發生故障的次數服從參數為（為常數）的泊松分布。(1) 求相繼兩次

13、故障之間的時間間隔的概率密度；（2）求在設備已經無故障工作8小時的情形下再無故障工作8小時的概率。解： ，。（1）的分布函數為，當時，；當時， ，于是的概率密度為 。 （2）。習題三參考答案1、解 關于X的邊緣分布函數為，即 ，同理，關于Y的邊緣分布函數為。2、解 根據題意，X1,X2的取值分別為0,1,2，且根據古典概型，有 所以（X1，X2）的聯合分布律為 X1X20120102003、解 根據題意，有 所以（X,Y）的概率分布律為 4、解 根據題意，X可能取值為1,2,3,4，Y可能取值為1X，且有 PX=k=1/4,k=1,2,3,4， PY=1|X=1=1;pY=k|X=1=0,k=

14、2,3,4;pY=k|X=2=1/2,k=1,2,pY=k|X=2=0,k=3,4; PY=k|X=3=1/3,k=1,2,3,pY=4|X=3=0; PY=k|X=4=1/4,k=1,2,3,4;所以（X，Y）的聯合分布律為 XY123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16關于X的邊緣分布律為pX=k=1/4,k=1,2,3,4;關于Y的邊緣分布律為Y1234P.j25/4813/487/483/485、解 （1） = （2）=5/32. 2xy4 （3）=1/3。6、解 如右上圖所示，關于X的邊緣密度函數為 ，即。關于Y的邊緣密度函

15、數為 ，即12、解 （1）放回抽樣 .關于X的邊緣分布律為PX=0=30/36,pX=1=6/36;關于Y的邊緣分布律為pY=0=30/36,pY=1=6/36.顯然pX=0,Y=0=pX=0pY=0,pX=0,Y=1=pX=0pY=1,pX=1,Y=0=pX=1pY=0,pX=1,Y=1=pX=1pY=1即X與Y相互獨立。（2）不放回抽樣 ，關于X的邊緣分布律為pX=0=110/132,pX=1=22/132;關于Y的邊緣分布律為pY=0=110/132,pY=1=22/132；顯然，即X與Y不相互獨立。13、解 （X,Y）的聯合分布律為XY01200.160.120.1210.120.09

16、0.0920.120.120.09 14、解 關于X的邊緣密度函數為同理關于Y的邊緣密度函數為，很顯然，當0<x<1,0<y<2時,，即X與Y不相互獨立。15、因為f(x,y)為密度函數，根據規范性，有 1=，即c=6. 關于X的邊緣分密度函數為 關于Y的邊緣密度函數為 顯然有（對一切x,y），所以X與Y相互獨立。習題四 參考答案1、解 X表示抽到紅球的個數，則X可以取值0,1,2.則X的分布律為 ，所以 。2、解 X表示取到合格品之前扔掉的廢品數，則X=0,1,2,3，其分布律為 ，所以 E(X)=.3、解 設Ai=“第i臺設備需要維護”，i=1,2,3，X表示同時需

17、要維護的設備臺數，則X=0,1,2,3，其分布律為pX=0=p0; PX=1= = =0.1*0.8*0.7+0.9*0.2*0.7+0.9*0.8*0.3=p1; PX=3=p(A1A2A3)=p(A1)p(A2)p(A3)=0.1*0.2*0.3=p3; PX=2=1-pX=0-pX=1-pX=3=p2。 所以E(X)=0*p1+1*p1+2*p2+3*p3.4、解 0.37(%)，所以E(10X)=0.037(萬元)。5、解 （1）根據規范性，有1=，所以a=。（2）=16、解 （1）由規范性，有1=0.4+0.2+cèc=0.4；（2）（3）7、解 X的密度函數為，所以=1/

18、3.8、解 9、解 根據題意，X的密度函數為，所以 10、解 （1）（2）11、解 。根據X，Y的獨立性，有12、解 13、解 14、解 15、解 （略）16、解 所以，17、解 0；所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-0*0.5=0。即X，Y不相關。18、解 如圖所示，=1/2; =2/5;=1/4.所以Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/20.關于X的邊緣密度函數為關于Y的邊緣密度函數為；顯然存在0<x<1,0<y<1，使得，即X，Y不相互獨立。19、解 所以20、解 21、解 22、解 （1） （2） = = =3.23、解 因

19、為X，Y，所以，由于X，Y相互獨立，則有 =。習題五1 .已知，利用切比雪夫不等式估計概率.解： 據切比雪夫不等式 .2設隨機變量的數學期望，方程，利用切比雪夫不等式估計.解：令，則由切比雪夫不等式 ， 有.3. 隨機地擲顆骰子，利用切比雪夫不等式估計顆骰子出現點數之和在之間的概率.解： 設為顆骰子所出現的點數之和；為第顆骰子出現的點數，則，且獨立同分布，分布律為：，于是所以 ，因此 故由切比雪夫不等式得：.即顆骰子出現點數之和在之間的概率大于等于 .4. 對敵陣地進行1000次炮擊，每次炮擊中。炮彈的命中顆數的期望為，方差為，求在次炮擊中，有顆到顆炮彈擊中目標的概率.解： 以表示第次炮擊擊中

20、的顆數 有 ，據 定理：則 .5. 一盒同型號螺絲釘共有個，已知該型號的螺絲釘的重量是一個隨機變量，期望值是，標準差是.求一盒螺絲釘的重量超過的概率.解： 設為第個螺絲釘的重量，且它們之間獨立同分布，于是一盒螺絲釘的重量，且由，知，由中心極限定理有： .6. 用電子計算機做加法時，對每個加數依四舍五入原則取整，設所有取整的舍入誤差是相互獨立的，且均服從上的均勻分布.（1）若有個數相加，則其誤差總和的絕對值超過的概率是多少？（2）最多可有多少個數相加，使得誤差總和的絕對值小于的概率達到以上.解： 設為第個加數的取整舍入誤差，則為相互獨立的隨機變量序列，且均服從上的均勻分布，則 （1） 因很大，由

21、獨立同分布中心極限定理對該誤差總和， .即誤差總和的絕對值超過的概率達到 .(2) 依題意，設最多可有個數相加，則應求出最大的，使得由中心極限定理： .即查正態分布得即取，最多可有個數相加 .7. 在人壽保險公司是有3000個同一年齡的人參加人壽保險，在1年中，每人的的死亡率為，參加保險的人在年第天交付保險費元，死亡時家屬可以從保險公司領取元，求保險公司在一年的這項保險中虧本的概率.解 以表示年死亡的人數依題意，注意到其概率為 .即保險公司虧本的概率幾乎為 .8. 假設是獨立同分布的隨機變量，已知 .證明：當充分大時，隨機變量近似服從正態分布.證明：由于獨立同分布，則也獨立同分布由 有， 因此

22、，根據中心極限定理：即當充分大時，近似服從 .9. 某保險公司多年的統計資料表明：在索賠戶中被盜索賠戶占，以表示在隨機抽查的個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數.（1）寫出的概率分布；（2）利用德莫弗-位普拉斯中心極限定理.求：被盜索賠戶不少于戶，且不多于戶的概率.解 （1），所以 ，（2） .10 . 某廠生產的產品次品率為，為了確保銷售，該廠向顧客承諾每盒中有100只以上正品的概率達到95%，問：該廠需要在一盒中裝多少只產品？解：設每盒中裝只產品，合格品數 ，則所以解得，即每盒至少裝117只才能以95%的概率保證一盒內有100只正品。11. 某電站供應一萬戶用電，設用電高峰時，每戶用電的概

23、率為，利用 中心極限定理：（1）計算同時用電戶數在戶以上的概率？（2）若每戶用電瓦，問：電站至少應具有多大發電量，才能以的概率保證供電？解 以表示用電高峰時同時用電的戶數（1）依題意，又，于是據 定理：（2） 設電站至少具有瓦發電量，才能的概率保證供電，則因為要：查表得：得即電站具有瓦發電量，才能以的概率保證供電 . （B）1、設隨機變量服從參數為的指數分布，相互獨立，且都與的分布相同，求當時，依概率收斂的極限 .（答案：）2、設相互獨立，且分布相同，存在，則根據獨立同分布的中心極限定理，當充分大時，近似服從正態分布，求分布參數. （答案：）3、某生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是一個隨機

24、變量，其平均值為50kg，標準差為5kg. 若用最大載重量為5噸的卡車承運，利用中心極限定理說明，每輛車最多可裝多少箱才能保證不超載的概率大于？（答案：）習題六1.設是來自 上均勻分布的樣本，末知，求樣本的聯合密度函數解: 2. 設總體服從參數為的泊松分布，其概率分布律為：求：樣本的聯合分布律為：解： . 3若總體，其中已知，但末知，而為它的一個簡單隨機樣本，指出下列量中哪些是統計量，哪些不是統計量.（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； （6）解： （1）、（3）、（4）、（6）給出的各統計量，而（2）、（5）給出的量因含有末知參數，所以不是統計量 .4. 總體的一組容量為的樣本

25、觀測值為：，求經驗分布函數.解 :將樣本觀測值重新排序為：，所以經驗分布函數為：5. 來自總體的一組樣本觀測值為： 求樣本均值，樣本方差和樣本標準差.解：， .6. 在總體中隨機抽取一容量為的樣本，求樣本均值在到之間的概率.解： 由知故所求概率為 .7. 設隨機變量與相互獨立，且，證明 .證明：由于，則 據分布的定義，.8. 若對總體有，取的容量為的樣本，樣本均值為，問多大時，有解： 由，知即查表得，即 .9. 設總體，并且，相互獨立，現從兩總體中分別抽取容量為的樣本，樣本均值分別為，求 .解： .10. 設總體，都服從正態分布，并且，相互獨立，分別是總體和的容量為的樣本均值，確定的值，使 .

26、解 由于于是，.即，查表得，取 .11. 設總體，為的一個樣本，設，求常數，使分布.解 由于獨立同分布所以于是=其中所以即 .12. 設為來自總體的樣本，求 .解 設總體為，則由可知，由定理 可知利用分布表，可得 .13. 設是總體的一個樣本，若統計量，試確定與 .解 由于獨立同分布,所以,且兩者相互獨立,由分布定義知故 , .14. 設總體 ， 是樣本，求的分布.解 記，則有，由于則 .下面證明和相互獨立.因為，都服從標準正態分布，因此只要證明，互不相關，即即可.由于，因此，.這樣.15. 設總體,從二總體中分別抽取樣本,得到下列數據: , , ； , ,，求概率 .解 由于故 .從而 .B

27、1. 設有個產品，其中有個次品，進行放回抽樣，定義如下：求樣本的聯合分布.解: 因為是放回抽樣，所以獨立同分布，.則的聯合分布為.2設總體，是樣本，證明：.證: 由和得 .使用分布期望和方差的公式，于是， .3.設是來自正態總體的簡單隨機樣本，, .證明統計量服從自由度為的分布.證: 因為為末知，而，.由與的獨立性，故由正態總體樣本方差的性質知，又由與獨立知，與獨立，與獨立，于是也與獨立.從而，由分布隨機變量的構造知習題七( A )1、設總體服從參數為和的二項分布，為取自的一個樣本，試求參數的矩估計量與極大似然估計量.解：由題意，的分布律為： .總體的數學期望為則.用替換即得未知參數的矩估計量

28、為. 設是相應于樣本的樣本值，則似然函數為取對數，.令，解得的極大似然估計值為.從而得的極大似然估計量為.2,、設為取自總體的一個樣本,的概率密度為其中參數，求的矩估計.解：取為母體的一個樣本容量為的樣本，則用替換即得未知參數的矩估計量為.3、設總體的一個樣本, 的概率密度為 其中是未知參數，是已知常數,求的最大似然估計.解：設為樣本的一組觀測值，則似然函數為取對數 解極大似然方程 得的極大似然估計值為從而得的極大似然估計量為. 4、設總體服從幾何分布 試利用樣本值,求參數的矩估計和最大似然估計.解：因,用替換即得未知參數的矩估計量為.在一次取樣下，樣本值即事件同時發生，由于相互獨立，得聯合分

29、布律為,即得極大似然函數為取對數 解極大似然方程 得的極大似然估計值為從而得的極大似然估計量為. 5、設總體的概率密度為為未知參數, 為總體的一樣本,求參數的最大似然估計.解：設為樣本的一組觀測值，則似然函數為 取對數 解極大似然方程 得的極大似然估計值從而得的極大似然估計量為.6、證明第5題中的最大似然估計量為的無偏估計量.證明：由第5題知的最大似然估計量為故 又從而 ，即是的無偏估計.7,、設總體的概率密度為,為未知參數, 為總體的一個樣本,求參數的的矩估計量和最大似然估計量.解：因用替換即得未知參數的矩估計量為從而得未知參數的估計量為設為樣本的一組觀測值，則似然函數為取對數解極大似然方程

30、 得的極大似然估計值從而得未知參數的估計量為.8、設總體,已知,為未知參數, 為的一個樣本, 求參數,使為的無偏估計.解：由無偏估計的定義，要使為的無偏估計，則又由題意知總體，從而且由對稱性有從而有 ，即.9、設是參數的無偏估計量,且有,試證不是的無偏估計量.證明：因為是參數的無偏估計量，故，且有即不是的無偏估計量.10、設總體,是來自的樣本,試證：估計量;都是的無偏估計,并指出它們中哪一個最有效.證明：總體,是來自的樣本，則即估計量都是的無偏估計.又有 ，從而估計量最有效.11,、設是總體的一個樣本,證明：是的相合估計量.證明：由題意，總體，則由樣本的獨立同分布性知，即是的無偏估計.又，且故

31、，有故是的相合估計量12、設總體的數學期望為,方差為,分別抽取容量為和的兩個獨立樣本,分別為兩樣本均值,試證明:如果滿足,則是的無偏估計量,并確定,使得最小.解：由題意，且,分別為容量為和的兩個獨立樣本得樣本均值，故，.當時，有，即是的無偏估計量.令，由知函數的穩定點為，且，故為函數唯一極小值點，即當時，最小.13、設是總體的一個樣本, 的概率密度為,未知，已知,試求的置信水平為的置信區間.解：由題意，統計量，則給定置信度為時，有由置信區間的定義知，的置信水平為的置信區間為.14、從大批彩色顯像管中隨機抽取100只,其平均壽命為10000小時,可以認為顯像管的壽命服從正態分布.已知均方差小時,

32、在置信水平0.95下求出這批顯像管平均壽命的置信區間.解：設是母體的樣本容量為的子樣，則顯像管平均壽命構造統計量，有由題意，查表可得，故顯像管平均壽命的置信度為的置信區間為：.15、設隨機地調查26年投資的年利潤率(%),得樣本標準差,設投資的年利潤率服從正態分布,求它的方差的區間估計(置信水平為0.95). 解：由題意，構造統計量，則給定置信水平為，有取，查表可得，故方差的置信度為的置信區間為.16,、從一批釘子中抽取16枚,測得其長度為(單位:厘米)2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10,

33、 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.設釘子的長度服從正態分布,試求總體均值的置信水平為0.90的置信區間.解：設是母體的樣本容量為的子樣，由題意知，.構造統計量，有由題意，查表可得，故顯像管平均壽命的置信度為的置信區間為：.17、生產一個零件所需時間(單位：秒),觀察25個零件的生產時間得,.試求和的置信水平為0.95的置信區間.解：設是母體的樣本容量為25的子樣，由題意知，.構造統計量，有由題意，查表可得，故參數的置信度為的置信區間為：.構造統計量，則給定置信水平為，有取，查表可得，故方差的置信度為的置信區間為.18、產品的某一指標，已知，未知.現從這批產品中抽取只對該指標進行測

34、定,問需要多大,才能以95%的可靠性保證的置信區間長度不大于0.01?19、設和兩批導線是用不同工藝生產的,今隨機地從每批導線中抽取5根測量其電阻,算得,若批導線的電阻服從,批導線的電阻服從,求的置信水平為0.90的置信區間.20,、從甲乙兩個蓄電池廠的產品中分別抽取6個產品,測得蓄電池的容量(A.h)如下:甲廠 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙廠135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140設蓄電池的容量服從正態分布,且方差相等,求兩個工廠生產的蓄電池的容量均值差的95%置信區間.（ B ）1、設總體的概率分別為 0 1 2 3 其

35、中是未知參數,利用總體的如下樣本值: 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3求的矩估計值和最大似然估計值.解：由題意可知總體為離散型隨機變量，則總體的數學期望為有，由樣本值可知，用替換即得未知參數的矩估計量為，矩估計值.設是相應于樣本的樣本值，則似然函數為取對數 解極大似然方程 有，從而又當時，矛盾，故舍去.所以的最大似然估計值2、設和是參數的兩個相互獨立的無偏估計量,且方差,試確定常數,使得是的無偏估計量,且在一切這樣的線性估計類中方差最小.解：由題意，和是參數的兩個相互獨立的無偏估計量，則.要使得是的無偏估計量，有恒成立，即.又，相互獨立，且，則令，由知函數的穩定點為，且，故線性估計

36、類中方差最小時，.3、在測量反應時間中,一心理學家估計的標準差為0.05秒,為了以0.95的置信水平使他對平均反應時間的估計誤差不超過0.01秒,應取多大的樣本容量.習題八1在正常情況下，某煉鋼廠的鐵水含碳量（%）.一日測得5爐鐵水含碳量如下： 4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在顯著性水平下，試問該日鐵水含碳量得均值是否有明顯變化.解：設鐵水含碳量作為總體，則，從中選取容量為5的樣本，測得.由題意，設原假設為構造檢驗統計量 ，則在顯著性水平下，查表可得，拒絕原假設，即認為有顯著性變化.2根據某地環境保護法規定，傾入河流的廢物中某種有毒化學物質含量不得超過3ppm.該地區環保組織

37、對某廠連日傾入河流的廢物中該物質的含量的記錄為：.經計算得知, .試判斷該廠是否符合環保法的規定.（該有毒化學物質含量X服從正態分布）解：設有毒化學物質含量作為總體，則，從中選取容量為15的樣本，測得，.由題意，設原假設為，備擇假設為.構造檢驗統計量，則，在顯著性水平下,查表可得，即拒絕原假設，接受備擇假設，認為該廠不符合環保的規定.3某廠生產需用玻璃紙作包裝，按規定供應商供應的玻璃紙的橫向延伸率不應低于65.已知該指標服從正態分布，.從近期來貨中抽查了100個樣品，得樣本均值，試問在水平上能否接受這批玻璃紙？解：設玻璃紙的橫向延伸率為總體，則，從中選取容量為100的樣本，測得.由題意，設原假

38、設為，備擇假設為.構造檢驗統計量，則在顯著性水平下,查表可得，即拒絕原假設，接受備擇假設，不能接受該批玻璃紙.4某紡織廠進行輕漿試驗，根據長期正常生產的累積資料，知道該廠單臺布機的經紗斷頭率（每小時平均斷經根數）的數學期望為9.73根，標準差為1.60根.現在把經紗上漿率降低20%，抽取200臺布機進行試驗，結果平均每臺布機的經紗斷頭率為9.89根，如果認為上漿率降低后均方差不變，問斷頭率是否受到顯著影響（顯著水平=0.05）？解：設經紗斷頭率為總體，則，從中選取容量為200的樣本，測得.由題意，設原假設為，備擇假設為.構造檢驗統計量，則在顯著性水平下,查表可得，即接受原假設，認為斷頭率沒有受到顯著影響.5 某廠用自動包裝機裝箱，在正常情況下，每箱重量服從正態分布.某日開工后，隨機抽查10箱,重量如下（單位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.問包裝機工作是否正常，即該日每箱重量的數學期望與100是否有顯著差異?（顯著性水平=0.05）解：設每箱重量為總體，則，從中