1、J與質量大小、質量分布、轉軸位置有關與質量大小、質量分布、轉軸位置有關演示程序：演示程序： 影響剛體轉動慣量的因素影響剛體轉動慣量的因素2iirmJmrJd2 質量離散分布的剛體質量離散分布的剛體 質量連續分布的剛體質量連續分布的剛體 dm為質量元，簡稱質元。其計算方法如下：為質量元，簡稱質元。其計算方法如下：lmdd質量為線分布質量為線分布smdd質量為面分布質量為面分布Vmdd質量為體分布質量為體分布5.3 定軸轉動的轉動慣量定軸轉動的轉動慣量例題例題1 求質量為求質量為m，長為，長為l的均勻細棒對下面轉軸的均勻細棒對下面轉軸的轉動慣量：的轉動慣量：(1)轉軸通過棒的中心并和棒垂直；轉軸通

2、過棒的中心并和棒垂直；(2) 轉軸通過棒的一端并和棒垂直。轉軸通過棒的一端并和棒垂直。OAdxxlmrJd212dd322220lxxmrJll有有ml 將將代入上式，得：代入上式，得：20121mlJ 解：解：(1) 在棒上離軸在棒上離軸x處，取一長度元處，取一長度元dx（如圖所（如圖所示），如果棒的質量線密度為示），如果棒的質量線密度為 ，則長度元的質，則長度元的質量為量為dm= dx，根據轉動慣量計算公式：，根據轉動慣量計算公式：（2）當轉軸通過棒的一端）當轉軸通過棒的一端A并與棒垂直時并與棒垂直時OAldxx222001dd3lJrmxxml例題例題2）半徑為）半徑為R的質量均勻分布的

3、細圓環，質的質量均勻分布的細圓環，質量均為量均為m，試分別求出對通過質心并與環面垂，試分別求出對通過質心并與環面垂直的轉軸的轉動慣量。直的轉軸的轉動慣量。Rdl例題例題3 求質量為求質量為m、半徑為、半徑為R、厚為、厚為h的均質圓盤的均質圓盤對通過盤心并與盤面垂直的軸的轉動慣量。對通過盤心并與盤面垂直的軸的轉動慣量。mrJdd2dm為薄圓環的質量。以為薄圓環的質量。以 表示圓盤的質量體密度表示圓盤的質量體密度rrhVmd2dd解：如圖所示，將圓盤看成許多薄圓環組成。取解：如圖所示，將圓盤看成許多薄圓環組成。取任一半徑為任一半徑為r，寬度為，寬度為dr的薄圓環，此薄圓環的轉的薄圓環，此薄圓環的轉

4、動慣量為動慣量為hRrhrJJR40321d2dhRm2代入得代入得221mRJ J與與h無關無關rhrJd2d3一個質量為一個質量為m、半徑為、半徑為R的實心圓柱體對其中的實心圓柱體對其中心軸的轉動慣量也與上述結果相同。心軸的轉動慣量也與上述結果相同。例例4）求一質量為）求一質量為m的均勻實心球對其一條直徑的均勻實心球對其一條直徑為軸的轉動慣量。為軸的轉動慣量。解：一球繞解：一球繞Z軸旋轉，離球軸旋轉，離球心心Z高處切一厚為高處切一厚為dz的薄圓的薄圓盤。其半徑為盤。其半徑為22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdJ2222)(2121其體積：其體積：其

5、質量：其質量：其轉動慣量：其轉動慣量：YXZORrd ZZdmrdJ2212552158mRR334RmdJJRRdZZR222)(21dZZR222)(21（2 2）薄板的正交軸定理）薄板的正交軸定理 yxzJJJyxzo（1 1）平行軸定理）平行軸定理2mdJJCDdJCJDC常見剛體的轉動慣量常見剛體的轉動慣量2mrJ 2/2mrJ 2/ )(2221rrmJ2/2mrJ 2/2mrJ 12/2mlJ 5/22mrJ 3/22mrJ 取任一狀態取任一狀態, ,由轉動定律由轉動定律JmglMsin21外231mlJ sin23lg例題例題1 1 一長為一長為l, ,質量為質量為m的勻質細桿

6、豎直放置的勻質細桿豎直放置, ,其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定鉸鏈o o相連相連, ,并可繞其轉動并可繞其轉動. .當其當其受到微小擾動時受到微小擾動時, ,細桿將在重力的作用下由靜止細桿將在重力的作用下由靜止開始繞鉸鏈開始繞鉸鏈o o轉動轉動. .試計算細桿轉到與鉛直線呈試計算細桿轉到與鉛直線呈角時的角加速度和角速度角時的角加速度和角速度. . Po)cos1 (23lg00dsin23dlgsin23 dddd ddlgttdsin23dlg初始條件為：初始條件為： =0， =0 例題例題2 一個質量為一個質量為M，半徑為，半徑為R的定滑輪（當作均的定滑輪（當作均勻圓盤）上面繞有細繩。繩

7、的一端固定在滑輪邊勻圓盤）上面繞有細繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質量為上，另一端掛一質量為m的物體而下垂。忽略軸處的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體摩擦，求物體m由靜止下落由靜止下落h高度時的速度和此時高度時的速度和此時滑輪的角速度。滑輪的角速度。 MmgahROT2T1221MRJRT對物體對物體m，由牛頓第二定律，由牛頓第二定律，maTmg滑輪和物體的運動學關系為滑輪和物體的運動學關系為Ra 解：對定滑輪解：對定滑輪M，由轉動定律，由轉動定律，對于軸對于軸O，有，有物體下落高度物體下落高度h時的速度時的速度Mmmghahv242這時滑輪轉動的角速度這時滑輪轉動的角速度RMmmgh

8、Rv24gMmma2以上三式聯立，可得物體下落的加速度為以上三式聯立，可得物體下落的加速度為CmafF圓柱對質心的轉動定律：圓柱對質心的轉動定律：CJRflF純滾動條件為：純滾動條件為：RaC圓柱對質心的轉動慣量為：圓柱對質心的轉動慣量為：221mRJC例題例題3 一質量為一質量為m、半徑為、半徑為R的均質圓柱，在水的均質圓柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動，力平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動，力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為l，如圖所，如圖所示。求質心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。示。求質心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。lFac f解：

9、設靜摩擦力解：設靜摩擦力f的方向如的方向如圖所示，則由質心運動方程圖所示，則由質心運動方程聯立以上四式，解得：聯立以上四式，解得：mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可見由此可見，靜摩擦力向前。，靜摩擦力向前。時，時，當當02 fRl，靜摩擦力向后；，靜摩擦力向后；時，時，當當02 fRl例一靜止剛體受到一等于例一靜止剛體受到一等于M M0 0（N.m)N.m)的不變力矩的的不變力矩的作用作用, ,同時又引起一阻力矩同時又引起一阻力矩M M1 1， M1M1與剛體轉動的與剛體轉動的角速度成正比角速度成正比, ,即即| M| M1 1 |= |= a a (Nm),(a(Nm),(a為常數為

10、常數) )。又。又已知剛體對轉軸的轉動慣量為已知剛體對轉軸的轉動慣量為J,J,試求剛體角速度試求剛體角速度變化的規律。變化的規律。M+M0M1已知：已知：M0M1= a J |t=0=0求：求： （t）=？解：解： 1）以剛體為研究對象；）以剛體為研究對象；2）分析受力矩）分析受力矩3）建立軸的正方向；）建立軸的正方向；4）列方程：）列方程：JMM10JM+M0M1=a 解：解：4）列方程：）列方程：JMM10JMM10JaM0JaMdtd0JdtaMd0tJdtaMd000JtMaMa)(ln100JateMaM00分離變量：分離變量：例）設一細桿的質量為例）設一細桿的質量為m，長為，長為L

11、，一端支以，一端支以樞軸而能自由旋轉，設此桿自水平靜止釋放。樞軸而能自由旋轉，設此桿自水平靜止釋放。求：求：1 1 ）當桿與鉛直方向成）當桿與鉛直方向成 角時的角加速度：角時的角加速度：2 2 ）當桿過鉛直位置）當桿過鉛直位置時的角速度：時的角速度： 3 ) 3 ) 當桿過鉛直位置當桿過鉛直位置時，軸作用于桿上的力。時，軸作用于桿上的力。已知已知：m，L求求： ， ，N解解：1） 以桿為研究對以桿為研究對象象 受力：受力： mg，N（不產生（不產生對軸的力矩）對軸的力矩）建立建立OXYZ坐標系坐標系 ZNmgYX OLM建立建立OXYZOXYZ坐標系（并以坐標系（并以Z Z軸為轉動量的正方向）

12、軸為轉動量的正方向）sin2LmgM sin2331sin2LgmLmgJM231mLJ ZmgYX ON) 1 (故取正值。故取正值。Fr沿沿Z軸正向，軸正向，rLg 2/32/00則則 L2） =？dtddddtd)2sin(23LgdLgdcos23兩邊積分：兩邊積分：dLgdcos232/00 sin23LgZmgYX ONr dd2） =？3）求）求N=？軸對桿的力，不影響到桿的轉動，但影響質軸對桿的力，不影響到桿的轉動，但影響質心的運動，故考慮用質心運動定理來解。心的運動，故考慮用質心運動定理來解。ZmgYXONr dLgcos232/00dLgLg23sin23212/02Lg3ZNXNyNNmgCXamgNNYNX3）求）求N=？CamgmNCXXmaNCYYmamgN寫成分量式：寫成分量式：CYXONCYaCCa求求N，就得求，就得求，即，即C點的點的加速度，現在加速度，現在C點作圓周運動，點作圓周運動，可分為切向加速度和法向加速可分為切向加速度和法向加速度但對一點來說，只有一個加度但對一點來說，只有一個加速度。故這時：速度。故這時：CXaCYa.實際上正是質心的轉動的切向加速度實際上正是質心的轉動的切向加速度.實際上正是質心的轉動的法向加速度實際