1、畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開題報(bào)告題 目：數(shù)學(xué)分析中不等式證明方法學(xué)生姓名： 民哥哥 指導(dǎo)教師： 職 稱： 講師 院 系： 理學(xué)院數(shù)學(xué)系 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)： 2008級(jí)1班 學(xué) 號(hào)： 2008114264 開題時(shí)間： 2012年6月 河北北方學(xué)院教務(wù)處制目 錄摘 要3英文摘要4第1章 不等式的定義及研究背景51.1不等式的定義51.2不等式的研究背景5第2章 數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例62.1·構(gòu)造變上限積分函數(shù)62.2·利用拉格朗日中值定理進(jìn)行證明72.3·利用微分中值定理證明積分不等式82.4·積分中值定理解不等式92.5·利用

2、泰勒公式證明不等式102.6·用函數(shù)的極值進(jìn)行證明12 2.7·用函數(shù)凹凸性進(jìn)行不等式的證明132.8利用函數(shù)單調(diào)性解不等式132.9利用條件極值求解不等式142.10利用兩邊夾法則證明不等式15第3章 不等式證明方法的歸納總結(jié)17第4章 論文的結(jié)論與展望18 致 謝21參考文獻(xiàn)22數(shù)學(xué)分析中不等式的解法研究摘要：不等式是數(shù)學(xué)分析中在進(jìn)行計(jì)算和證明時(shí)經(jīng)常用到的且非常重要的工具，同時(shí)也是數(shù)學(xué)分析中主要研究的問題之一，可以說不等式的研究對(duì)數(shù)學(xué)分析發(fā)展起著巨大推動(dòng)作用。本文章首先介紹了不等式的研究背景，然后主要研究如何求解數(shù)學(xué)分析中的不等式問題以及探討總結(jié)不等式的不同證明方法，并

3、對(duì)不等式的證明方法進(jìn)行歸類，通過“一題多解”如柯西不等式的求解過程, “一法多用”如泰勒公式與牛萊公式的綜合運(yùn)用等例題。巧妙解決不等式的求解問題并最后歸納了不等式的多種解題技巧，為以后不等式的學(xué)習(xí)做了較為詳細(xì)的歸納總結(jié)，希望能對(duì)后來讀者的學(xué)習(xí)起到一定的幫助作用也是本人學(xué)習(xí)的一些心得。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；柯西不等式；泰勒公式；牛萊公式mathematical analysis of the solution of inequality researchabstract : inequality is often used and a very important tool in the calcu

4、lation and prove of mathematical analysis,and at the same time is also a main research problem of mathematical analysis.so it can be said that the study of inequality plays a great role in promoting the development of mathematical analysis. this article first introduces the background of inequality

5、study,then mainly studies how to solve the problem of inequality in mathematical analysis,summarizes the different methods to prove inequality,and classifies the proof of the inequality methods through the" multi-solutions to one problem" such as cauchy inequality solving process,"a m

6、ethod of multi use" such as the comprehensive application the taylor formula and the newtonian-leibniz formula and so on. this article skillfully solves the inequality problem and finally summarizes the various techniques for solving inequality, and does a more detailed summary for the subseque

7、nt inequality learning.and it is some my learning experiences and i hope it can play a certain help for the reader's study. key words: mathematical analysis; cauchy inequality; taylor equation; newtonian - leibniz formula第1章 不等式的定義及研究背景1.1不等式的定義定義：用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連結(jié)起來所成的式子。在一個(gè)式子中的數(shù)的關(guān)系,不全是等號(hào),含不等符號(hào)的式子，那

8、它就是一個(gè)不等式。不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式。一般地，用純粹的大于號(hào)、小于號(hào)“”“”連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用不小于號(hào)（大于或等于號(hào)）、不大于號(hào)（小于或等于號(hào)）“”“”連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式。1.2不等式的研究背景 數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國(guó)家興起, 在數(shù)學(xué)不等式理論發(fā)展史上有兩個(gè)具有分水嶺意義的事件,:chebycheff 在 1882 年發(fā)表的論文和 1928 年hardy任倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席屆滿時(shí)的演講；hardy,littlewood和 plya的著作 inequalities的前言中對(duì)不等式的哲學(xué)給出了有見地的見解: 一般來講初等的不等式應(yīng)該有初等的證

9、明, 證明應(yīng)該是“內(nèi)在的”,而且應(yīng)該給出等號(hào)成立的證明。a. m.fink認(rèn)為, 人們應(yīng)該盡量陳述和證明不能推廣的不等式. hardy認(rèn)為, 基本的不等式是初等的.自從著名數(shù)學(xué)家 g. h. hardy,j. e. littlewood和g. plya的著作 inequalities由cambridge university press于1934年出版以來, 數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究正式粉墨登場(chǎng), 成為一門新興的數(shù)學(xué)學(xué)科, 從此不等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合, 它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論。 20世紀(jì)70年代以來, 國(guó)際上每四年在德國(guó)召開一次一般不等式 ( general i

10、nequalities) 國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議,并出版專門的會(huì)議論文集。不等式理論也是 2000 年在意大利召開的第三屆世界非線性分析學(xué)家大會(huì) (“the thirdworld congress of nonlinear analyst s” ( wcna - 2000) )的主題之一。 華人數(shù)學(xué)家在不等式領(lǐng)域做出過重要貢獻(xiàn) ,最近幾年我國(guó)有許多數(shù)學(xué)工作者始終活躍在國(guó)際數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的領(lǐng)域 , 他們?cè)谙嚓P(guān)方面做出了獨(dú)特的貢獻(xiàn) , 引起國(guó)內(nèi)外同行的注意和重視。20世紀(jì)80年代以來在中國(guó)大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。將我國(guó)幾何不等式的研究推向高潮；在代數(shù)不等式方面，王挽瀾教授對(duì)fan ky

11、不等式的深人研究達(dá)到國(guó)際領(lǐng)先水平。祁鋒教授及其所領(lǐng)導(dǎo)的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對(duì)分析不等式，胡克教授于1981年發(fā)表在中國(guó)科學(xué)上的論文論一個(gè)不等式及其若干應(yīng)用，針對(duì)holder不等式的缺陷提出一個(gè)全新的不等式，被美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)論稱之為"一個(gè)杰出的非凡的新的不等式"，現(xiàn)在稱之為胡克(hk)不等式。 目前我國(guó)關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究也有較豐富的成果。如常用不等式（匡繼昌）。矩陣論中不等式（王松桂、賈忠貞）。另外 , 國(guó)內(nèi)還有一個(gè)不等式研究小組, 主辦不等式研究通訊的內(nèi)部交流刊物。第2章 數(shù)學(xué)分析中不等式的證明方法與舉例2.1構(gòu)造變

12、上限積分函數(shù)變限積分的定義 設(shè)在上可積，對(duì)于任給,在 和 上均可積，分別稱和為變上限的積分和變下限的積分，統(tǒng)稱為變限積分。若在上連續(xù)，則其變限積分作為關(guān)于x的函數(shù)，在上處處可導(dǎo)，且更一般的有例1.柯西不等式及柯西不等式的證明 證明:柯西不等式為：。設(shè):顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 所以在上單調(diào)減少，則，即 得到結(jié)論。例2.設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),且單調(diào)遞增,試證：，證明：顯然 f(a)=0 對(duì)任意的 t 有 因?yàn)閒(x)單調(diào)遞增,則f(t)0 ,則f(t)單調(diào)遞增,所以f(b)f(a)=0(ba).因此例3·設(shè)為上的非負(fù)單調(diào)非增連續(xù)函數(shù)（即當(dāng)時(shí)，）分析：可化為 將換成，于是輔助函數(shù)

13、令 (因?yàn)閱握{(diào)遞減)所以單增，又因?yàn)樗?。即故。2.2 利用拉格朗日中值定理進(jìn)行證明拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).則至少存在一點(diǎn)(a,b),使得 即f(b)-f(a)=f()(b-a)，(a<<b) .可利用的不確定性,計(jì)算出f()的取值范圍(m , m ),進(jìn)而證明m(b-a)f(b)-f(a)m(b-a).例1: 證明 (a>b>0,n>1)證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=x,在區(qū)間b,a上滿足拉格朗中值定理,且f(x)=，所以有，即=n(a-b),(b<<a)又 a > b

14、 >0,n>1,則有 nb<n<na.故nb(a-b)< n（a-b）= a-b = n(a-b) < na(a-b).例2: 當(dāng)x>0時(shí),試證不等式<ln(1+x)<x.證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x),則在區(qū)間0,x上滿足拉格朗中值定理,且f(x)=,故有l(wèi)n(1+ x)-ln1 = f()(x-0)(0,x) ,即 又(0,x)則x< ln (1 + x) =x <x即< ln (1 + x) <x.2.3利用微分中值定理證明積分不等式定理 若函數(shù)f(x)在a,b連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(b)-f(

15、a)= 。 例4：設(shè)f(x)在a,b 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(a)= f(b)=0 ,證明:證明：設(shè)m=,因?yàn)閒(a)=f(b)=0 ,所以=+=+=+=從而有2.4·積分中值定理解不等式積分第一中值定理 若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則在積分區(qū)間a,b上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使成立。積分第二中值定理 若是 上單調(diào)函數(shù)，為可積函數(shù)，則，使得。例1設(shè)在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：(證明：(1)令，由積分第一中值定理知從而所以例2設(shè)為上的非負(fù)單調(diào)非增連續(xù)函數(shù)（即當(dāng)時(shí)，）證明:對(duì)于,有下面的不等式成立。證明：由積分第一中值定理有從而因此可得又因,所以,故例3. 設(shè)為上的連續(xù)遞增函數(shù)，則不等式成

16、立： （1） 證明：要證（1）式只要證明 （2）由于單調(diào)遞增，利用積分第二中值定理，則存在，使 故（2）成立，原不等式成立2.5利用泰勒公式證明不等式定理 若f(x)在閉區(qū)間a,b上存在直到n階連續(xù)導(dǎo)數(shù);開區(qū)間(a,b)內(nèi)存在f(x) 的n+1階導(dǎo)數(shù),則對(duì)a,b和任何x(a,b),至少存在一點(diǎn)(a,b),使得:。例1. 設(shè)f(x)0,0x1,試證: 證明根據(jù)泰勒公式,有f(x)= 因?yàn)?，x 0 ,1 ,，例2設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：方法1：由泰勒公式有兩邊在上積分并注意到得，從而得方法2： 令，則且（牛萊公式），由泰勒公式有： （1） （2） 由（1）-（2）得所以 2.6用函數(shù)的極值進(jìn)

17、行證明當(dāng)要證明形如f(x)-g(x)c或f(x)-g(x)c的表達(dá)式時(shí),可以考慮利用極值來解決. 方法如下:構(gòu)造函數(shù)f(x)=f(x)-g(x) ,令f(x)=f(x)-g(x) =0,求出駐點(diǎn).若f(x)>0,則為極小值點(diǎn),記()=c,則f(x)- g(x)()= c;若f(x)<0,則 為極大值點(diǎn),記()= c,則f(x)-g(x)()=c.例1： 證明若p>1，則對(duì)0，l上的任意x有證明: 取函數(shù),則有 令=0，得，于是有x=1-x即x=由于f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，因而f(x)在0,1上取得最大值和最小值，又f(x)在0,1上可導(dǎo)，且有唯一的駐點(diǎn)，并且f(0)=f

18、(1)=1 所以f(x)在0,1上的最小值是，最大值是1從而對(duì)0，1上的任意x有即2.7·用函數(shù)凹凸性進(jìn)行不等式的證明定義：凹函數(shù)：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間i上定義，若對(duì)i中的任意兩點(diǎn)和,和任意(0,1)，都有則稱f(x)是i上的凹函數(shù)。凸函數(shù)：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間i上定義，若對(duì)i中的任意兩點(diǎn)和,和任意(0,1)，都有則稱f(x)是i上的凸函數(shù)。 若不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱f(x)在i上是嚴(yán)格凹(凸)函數(shù)。定理(曲線弧凹向的判定法) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo).1)若在(a,b)內(nèi)f(x)>0,則曲線弧在a,b內(nèi)為上凸的;2)若在(a,b)內(nèi)f(x)<

19、;0,則曲線弧在a,b內(nèi)為下凹的.例1: 證明:(x+y)ln<xlnx+ylny (x>0,y>0,x y).證明: 構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx,其定義域?yàn)?x > 0.這時(shí),f(x) =>0,即有f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)是上凹的.所以,x>0,y>0,xy時(shí),有f<即<故(x+y)ln<xlnx+ylny (x>0,y>0,x y). 2.8利用函數(shù)單調(diào)性解不等式定理:設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則有1) 如果在(a,b)內(nèi)f(x)> 0,那么,函數(shù)f (x)在a,b上單調(diào)增加.2) 如果

20、在(a,b)內(nèi)f(x)< 0,那么,函數(shù)f(x)在a,b減少很明顯,若f(x)在a,b上單調(diào)增加,則f(a)f(x) f(b),反之亦然. 例1.利用一元二次函數(shù)根的判別式來證明柯西不等式的證明 考慮非負(fù)函數(shù)的積分，有等價(jià)于是關(guān)于t的二次三項(xiàng)式，非負(fù)，所以有成立。例2. 當(dāng)x 時(shí),求證: sinx + tanx > 2x.證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)= sinx + tanx - 2x,則有f(x)= cosx + secx-2=cosx + tanx - 1,f(x)=-sinx + 2 tanxsecx = sinx > 0 ,所以f(x)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),所以f(x)>

21、f(0)=0.故f(x)在區(qū)間內(nèi)也是增函數(shù),從而有f(x)> f(0)= 0.2.9利用條件極值求解不等式例1.證明n個(gè)正數(shù)的幾何平均值不超過算術(shù)平均 值即設(shè)是n個(gè)正數(shù)。證明分析 記則不等式等價(jià)于 于是只需證明在下，函數(shù)的最大 值是即可。證明 記，作輔助函數(shù) 令解得或代入方程組解得 （）按實(shí)際問題乘積有上界，所以必有最大值存在，因此所求的點(diǎn)必定是最大值點(diǎn)，此時(shí)最大值是，于是對(duì)任意n個(gè)正數(shù)有即2.10利用兩邊夾法則證明不等式兩邊夾法則：設(shè)、為收斂數(shù)列，且：當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列，的極限均為：a 若存在n，使得當(dāng)n>n時(shí)，都有,則數(shù)列收斂，且極限為a。例1.證明1.2. 證明：取k=1

22、、2、3設(shè) 則有成立， （1）。 因?yàn)椋?（1）式等價(jià)于 所以有：成立。2.利用兩邊夾法則，因?yàn)椋匀O限有成立。待添加的隱藏文字內(nèi)容2第3章 不等式證明方法的歸納總結(jié)證明不等式的方法很多,但我們?cè)诮鉀Q問題時(shí), 如何選擇正確的方法, 無(wú)疑是至關(guān)重要的. 這不僅要求我們要熟悉各種方法的應(yīng)用條件和適用范圍,同時(shí)還要求我們要學(xué)會(huì)綜合應(yīng)用。1.構(gòu)造變上限積分函數(shù)：構(gòu)造變上限積分函數(shù)進(jìn)行證明，對(duì)于含有定積分的不等式,可把常數(shù)變?yōu)樽償?shù)構(gòu)造輔助函數(shù),通過構(gòu)造新的函數(shù)利用變上限積分及函數(shù)的單調(diào)性解決此類不等式。2.利用拉格朗日中值定理:拉格朗日中值定理不僅可以解決代數(shù)不等式的證明,同樣亦能拓展到證明形如m(

23、x-a)f(x)-f(a)m(x-a) 函數(shù)表達(dá)式.3.積分中值定理求解不等式：尋找一個(gè)滿足條件且存在的值，4.利用泰勒公式、微分中值定理證明不等式：可利用放縮法求解；泰勒公式揭示了多項(xiàng)式與函數(shù)之間的關(guān)系，由已知條件,圍繞證明目標(biāo),選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn),取恰當(dāng)位數(shù)進(jìn)行泰勒展開，將函數(shù)在這些點(diǎn)展成泰勒展開式。如下例：設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，求證：取證明：令，則 ， 所以，。特別的有。即。利用泰勒公式證明不等式時(shí)，需要對(duì)原函數(shù)選取適當(dāng)?shù)慕莆粩?shù)進(jìn)行放縮，構(gòu)造泰勒級(jí)數(shù)，從而比較函數(shù)大小。5.用函數(shù)凹凸性進(jìn)行不等式的證明：凹向性的幾何意義是很明顯的:對(duì)于i內(nèi)的任意兩點(diǎn), ,如果f(x)在區(qū)間i內(nèi)是上凹的,一定有f

24、<，如果f(x)在區(qū)間i內(nèi)是下凹的,則有f>。根據(jù)此不等式可以利用函數(shù)的凹凸性，求解當(dāng)比較函數(shù)中間值與兩邊值平均數(shù)大小的不等式類型。6.利用函數(shù)單調(diào)性：利用函數(shù)單調(diào)性解不等式一般對(duì)所求兩式做差、求導(dǎo)、求穩(wěn)定點(diǎn)等一系列步驟之后，看導(dǎo)數(shù)所在的單調(diào)區(qū)間，經(jīng)分析后判斷原兩式的大小，此法一般方便易行，但有時(shí)對(duì)于求導(dǎo)討論取值范圍較繁瑣的式子不易采用。7.利用條件極值求解不等式：用函數(shù)的極值進(jìn)行證明利用函數(shù)的極值和最值若函數(shù)f在區(qū)間l取得最小值m和最大值m，則對(duì)任意xi，都有mf(x)m8. 利用兩邊夾法則證明不等式：兩邊夾法則適用于對(duì)所求式子極限不好求解時(shí)所用，尋找合適的兩個(gè)數(shù)列且兩數(shù)列極限相

25、同，在有限項(xiàng)比較中所求數(shù)列各項(xiàng)正好落在相應(yīng)的兩數(shù)列的各對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間。則所求數(shù)列的極限就與兩數(shù)列的極限相同。 總之，不等式的求解問題是靈活多變的，在每個(gè)不同類型的不等式求解問題中要活學(xué)活用、綜合運(yùn)用各類方法。泰勒公式、中值定理等公式極為重要，在今后的學(xué)習(xí)工作中要多多總結(jié)，靈活掌握各個(gè)章節(jié)的聯(lián)系與區(qū)別。做到知其然，知其所以然！第4章 論文的結(jié)論與展望4.1 論文的結(jié)論：4.1. 1本文主要通過介紹幾種求解積分不等式的方法的過程，完成了一下工作： 本文回顧了不等式理論發(fā)展的歷史并介紹了中外數(shù)學(xué)家在不等式理論發(fā)展中進(jìn)行的研究和貢獻(xiàn)；列舉了幾種求解數(shù)學(xué)分析中不等式方法；歸納總結(jié)了數(shù)學(xué)分析中的各類不等式求解

26、的方法技巧。4.1.2總結(jié)：不等式在數(shù)學(xué)研究、計(jì)算和證明中經(jīng)常用到的且非常重要的工具，同時(shí)也是數(shù)學(xué)中主要研究的問題之一，可以說不等式的研究對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著巨大推動(dòng)作用。在以后的科學(xué)研究及讀者們的學(xué)習(xí)中掌握好不等式的問題無(wú)疑使至關(guān)重要的。4.2論文的展望 在本次論文寫作當(dāng)中前后歷時(shí)數(shù)月之久，我通過網(wǎng)上查閱資料及圖書館翻閱文獻(xiàn)等工作，初步總結(jié)了數(shù)學(xué)分析中不等式的幾種簡(jiǎn)單而常見的求解方法。此外在此次的論文寫作中我還在網(wǎng)上查閱到了高等代數(shù)、泛函分析、實(shí)變函數(shù)、幾何等高等數(shù)學(xué)學(xué)科中對(duì)不等式研究的求解問題，以及各學(xué)科之間相互求解不等式的問題，不等式在各大學(xué)科研究中殊途同歸、博大精深。但限于本文作者自身學(xué)術(shù)水平和對(duì)不等式的精髓內(nèi)涵掌握不足，以及時(shí)間、精力等問題。最終沒能把不等式的研究推向一個(gè)新的、更高的研究層次。本人在日后的學(xué)習(xí)工作中要繼續(xù)留心和關(guān)注不等式的研究問題，爭(zhēng)取在下一個(gè)研究課題中將不等式的研究做的更充分和完美。河北北方學(xué)院本學(xué)位論文在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，有本人獨(dú)立完