1、1二、2.設隨機變量 X的概率密度為 000122xxxxf當當當當求隨機變量函數 XYln 的概率密度。 解)(ln)()( yXPyYPyFYyY 的的分分布布函函數數，隨隨機機變變量量對對于于任任意意的的實實數數)(yeXP yedxxf0)(的的概概率率密密度度為為隨隨機機變變量量函函數數 Y yyYYeefyFyf )()( 122 yyeeRy 或 是是單單增增函函數數，xyln 其反函數為 .yex .yex 的概率密度為的概率密度為YyyYeefyf )()( 122 yyee 第1頁/共25頁2二、3.設隨機變量 X 服從0，2上的均勻分布，求 在(0,4)內的概率密度函數。

2、 2XY 解,的的分分布布函函數數隨隨機機變變量量對對于于任任意意的的實實數數Yy yYPyFY yXP 2 ,X20的的取取值值區區間間是是因因為為 .,Y40的的取取值值區區間間是是所所以以; 0)(,0 )1( yFyY時時當當 ;)y(F,yY142 時時當當 ,y時時當當40 3 yXyPyXPyFY 2 dxxfyyX 221000-ydxdxyy 第2頁/共25頁3的分布函數的分布函數所以，隨機變量所以，隨機變量Y .y,;y,y;y,)y(FY4140200上式兩邊對 y 求導數，即得Y 的概率密度 .,;y,y)y(fY其它其它04041第3頁/共25頁4二、4 一批產品中有

3、a件合格品與b件次品，每次從這批產品中任取一件，取兩次，方式為：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣。設隨機變量X及Y寫出上述兩種情況下二維隨機變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布 分別表示第一次及第二次取出的次品數， 并說明X與Y是否獨立。（1）放回抽樣 解1122)(baa j i00XY2)(baab )(baa )(bab )(baa )(bab 2)(baab 22)(bab 11) 1)() 1( babaaa j i00XY) 1)( babaab)(baa )(bab )(baa )(bab ) 1)( babaab) 1)() 1( bababb（2）不放回抽樣 X與Y相互獨立.

4、X與Y不獨立. 01,jipppjiij01,jipppjiij第4頁/共25頁5二、5.把三個球隨機地投入三個盒子中，每個球投入盒子的可能性 是相同的。設隨機變量X及Y分別表示投入第一個及第二個盒子球的個數，求(X,Y )的概率分布及邊緣分布解)3. 3 , 2 , 1 , 0,( 3),(333 jijiCCjYiXPjii271273 j i27327127827127327327327627300000027827122712276276271271XY11220033由此得(X,Y)的二維概率分布如下：第5頁/共25頁6二、6.隨機地擲一顆骰子兩次，設隨機變量 X 表示第一次出現的點

5、數,Y 表示兩次出現的點數的最大值，求(X,Y)的概率分布及Y 的邊緣分布。解即 jijijiijijYiXP . 6 , 2 , 1,36,361,X，Y 的所有可能的取值為1，2，6.（i i ）當ji 時， 36,12ijXiXPjYiXPij 3616161 （i）當ji 時， jXiXPjYiXP 2,)()(2jXPiXP X2 表示第二次出現的點數,第6頁/共25頁7YX1234561234561/360000000000000001/361/361/361/361/362/361/361/361/361/361/361/363/361/361/364/361/361/365/3

6、66/36Y 的邊緣分布為：Y jyP213456361121365367413611第7頁/共25頁8二、7. 設二維隨機變量（X,Y）在矩形域 dycbxa ,上服從均勻分布，求（X,Y）的概率密度及邊緣概率密度。X與Y是 否獨立？ 解（X,Y）的概率密度 其其它它dycbxacdabyxf , 0)(1),(X邊緣概率密度 dyyxfxfX),()(其其它它bxaab 01Y邊緣概率密度 dxyxfyfY),()(其其它它dyccd 01故X與Y是 相互獨立。 ),y(f)x(fy,xfYX 因因第8頁/共25頁9二、8. 設二維隨機變量（X,Y）在聯合分布列為2132161911813

7、1 YX試問 為何值時，X,Y才能獨立？ ， 911819161219121YXpp)Y,X(P解 18118191613118131YXpp)Y,X(P解得.,9192 要使X,Y獨立需滿足第9頁/共25頁10二、9：設 (X,Y）的分布函數為：)3arctan)(2arctan(),(yCxBAyxF （1）確定常數A, B, C；（2）求(X,Y）的概率密度；（3）求邊緣分布函數及邊緣概率密度。X、Y是否獨立？解 0)2)(2arctan(),( CxBAxF0)3arctan)(2(),( yCBAyF 對任意的x與y，有,2,12 CBA（1）1)2)(2(),( CBAF)0( A

8、第10頁/共25頁11)3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF （2）),(),(yxFyxfyx 2293)2arctan2(1yxdxd 22293421yx xFX),( xF)2arctan2(1x yFY),(yF )3arctan2(1y )(xfX xFX )4(22x )(yfY yFY )9(32y X與Y 的邊緣密度函數為：X的邊緣分布：（3）Y的邊緣分布函數為：X與Y是相互獨立的。).()(),(yfxfyxfYX 第11頁/共25頁12二、10.設 (X,Y）的密度函數為： .yx.;y,xAe)yx(00 000 32或或當當當當， ),(yxf求

9、：（1）常數A；（4）求(X,Y)落在區域R： （2）分布函數F(x, y)；解 dxdyyxf),(（1） 00)32(dxdyAeyx 0302dyedxeAyx13121 A6 A（2） 632 , 0, 0 yxyx內的概率。（3）邊緣密度函數； 時，時，且且當當 yx00 yxvududveyxF00)32(6),()1)(1(32yxee yvxudvedue03026時，時，或或當當00 yx顯然，F(x,y)=0 第12頁/共25頁13（3 ） dyyxfxfX),()(xyxedye20)32(26 時，時，當當 x0時，時，當當0 x;0)( xfX 0, 00,2)(2x

10、xexfxX同理： 0, 00,3)(3yyeyfyY第13頁/共25頁14 xyxR322030: 303220)32(6xyxdydxeP 202330)32(6yyxdxedy（4） 所求的概率為： RyxdxdyyxfP,),(yx632 yx32 20633)1(3dyeeyy 2063)(3dyeey983. 06)1(66 ee 632),(yxdxdyyxf第14頁/共25頁15概率論與數理統計作業7（2.12）1.一個商店每星期四進貨, 以備星期五、六、日3天銷售, 根據多周統計, 這3天銷售件數 彼此獨立, 且有如下表所示分布:321X,X,X0.10.70.2P12111

11、01X0.10.60.3P1514132X0.10.80.1P1918173X問三天銷售總量 這個隨機變量可以取那些值？如果進貨45件，不夠賣的概率是多少？如果進貨40件，夠賣的概率是多少？ 31iiXY第15頁/共25頁16解：Y可以取40,41,42,43,44,45,46.進貨45件，不夠賣的概率為 ;.XPXPXP0010191512321 進貨40件，夠賣的概率是 .XPXPXP0060171310321 2.袋中裝有標上號碼1，2，2的3個球，從中任取一個并且不再放回，然后再從袋中任取一球，以X,Y分別記為第一次，二次取到球上的號碼數，求X+Y的概率分布律。XY1122031313

12、1YX P332314解：第16頁/共25頁173.(X ,Y)只取下列數組中的值 且相應的概率依次為 列出(X ,Y)的概率分布表，并求出X-Y的分布律。 023111100, ，1251213161解：3161311211250020-100010YX第17頁/共25頁183161311211250020-100010YXYXZ 具有可能值：顯然，23510311342，,31P 2 0 -2X-Y34 12112561第18頁/共25頁194. 設隨機變量X與Y獨立，且X在區間0,1內服從均勻分布： 10, 0 10, 1xxxxfX或或Y在區間 2 , 0內服從辛普生分布： 20 ,

13、021 ,210 ,yyyyyyyfY或或 求隨機變量 YXZ 的概率密度. 解 dxxzfY 10 dttfzzYxzt 1 zfZ dxxzxf , dxxzfxfyX 第19頁/共25頁20012z1 z 20021210yyyyyyyfY或或 dttfzzY 1(1)當 z 3 時, 0 zfZ,22z,2332 zz32 z,29322 zz0z121 z0121 z 20021210yyyyyyyfY或或第21頁/共25頁22的概率密度為Z, 0其它其它 zfZ;10 z21 z,22z,2332 zz32 z,29322 zz第22頁/共25頁23ijLL11L13L21L12L22L235. 電子儀器由六個相互獨立的部件)3 , 2 , 1; 2 , 1( ji如圖，設各個部件的使用壽命ijX服從相同的指數分布 e求儀器使用壽命的概率密度。組成，解各部件的使用壽命 3 , 2 , 1 , 2 , 1 , jiXij的分布函數 0 , 0 0 ,1)(xxexFxij先求三個并聯