1、甕安第三中學教學設計垂徑定理蔡邦琴2016 年 11月 14 日垂徑定理授課學科數學 授課班級 九（ 7）班 1 課時時數設計者蔡邦琴所屬學校甕安第三中學本節（課）教學內容分析本節課要研究的是圓的軸對稱性與垂徑定理及簡單應用，垂徑定理既是前面圓的性質的重要體現，是圓的軸對稱性的具體化，也是今后證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系的重要依據，同時也是為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據，所以它在教材中處于非常重要的位置。本節（課）教學目標知識和技能：通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性；掌握垂徑定理，理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問題；掌握輔助線的作法過圓心作一條與弦垂直的線段。過程

2、和方法：通過定理探究，培養學生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力；向學生滲透 “由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。情感態度和價值觀：激發學生探究、發現數學問題的興趣和欲望，以及對學生進行數學美的教育學習者特征分析一般特征：學生是農村校的九年級學生，班級學生在學習方面之間存在一定的差異；但學生對生活中隱含的數學問題興趣濃厚。初始能力：學生在小學學習 “圓的認識 ”和 “軸對稱圖形 ”時，已經對圓的軸對稱性有了基本的認識與了解。但對對稱軸及軸對稱的性質應用理解不足。2信息素養：大部分學生的信息素養一般。知識點學習目標描述知識點編學習號目標1感知2理解3理解4應用5應用6理解教學重點和難

3、點具體描述語句讓學生從一些簡單實例中不斷體會從現實世界中尋找數學模型,建立數學關系的方法.學生通過線段AB 的運動變換很自然地渡到垂直于弦的直徑，經歷了由特殊到一般的探索過程，并通過實驗- 觀察 - 分析 - 猜想，主動地探索垂徑定理的知識能通過教師的引導對上述的猜想進行證明，并通過觀察定理的變式圖形加深對定理的理解和掌握通過題組訓練使學生對垂徑定理有了更進一步認識，并掌握了有關計算、證明等方面的簡單應用引導學生運用所學知識加以解決，注重培養學生解決實際問題的能力師生共同回顧學習內容，有助于學生將知識系統化，條理化，幫助學生全面理解、掌握所學知識項目內容解決措施通過動手操作，對比已有的知識，從

4、一般到特殊的方法讓教學重點垂徑定理及其應用學生經歷了動手操作、觀察、猜想、歸納等方法垂徑定理的證明與垂徑通過學生動手做“找圓心 ”的游戲再利用多媒體播放整個折教學難點定理的理解及靈活應疊過程用 .3教學環境要求1每個學生準備若干張圓形紙片；2教師自制的多媒體課件；3 上課環境為多媒體大屏幕環境。教學媒體（資源）選擇知識點編學習媒體媒體內容要點號目標類型1感知圖片欣賞圖片動手折疊圓形2理解 紙片及教師提紙片出的問題圖片的折圖片3理解 疊演示得出定文本理的猜想教學使用方占用媒體所得結論作用式時間來源IG感知趙州橋1 分鐘下載圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線A F 3分鐘自制（或直徑所在的直線）

5、都是它的對稱軸CF得出定理3 分鐘自制媒體在教學中的作用分為：A. 提供事實，建立經驗；B.創設情境，引發動機；C.舉例驗證，建立概念；D.提供示范，正確操作；E.呈現過程，形成表象；F.演繹原理，啟發思維；G.設難置疑，引起思辨；H.展示事例，開闊視野；I. 欣賞審美，陶冶情操；J.歸納總結，復習鞏固；K.自定義。媒體的使用方式包括：A.設疑 播放 講解； B.設疑 播放 討論； C.講解 播放 概括； D. 講解 播放 舉例； E.播放 提問 講解； F.播放 討論 總結； G.邊播放、邊講解；H. 邊播放、邊議論； I. 學習者自己操作媒體進行學習；J.自定義。板書設計課題：垂徑定理4垂

6、徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。已知（ 1 ）CD 過圓心（ 2） CD AB 于 E ，則（ a） AE=BE （b ） AD=BD （c）AC=BC垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。已知（ 1 ）CD 過圓心（ 2） AE=BE （ AB 不是直徑）則（a ）CD AB 于 E (b ）AD=BD （ c）AC=BC2）垂徑定理的應用：（ 1 ）解決有關弦、弧、半徑等問題的計算、證明（和作圖）（ 2 ）解決某些實際問題（如拱橋等）強化應用意識。（ 3）常用的輔助線：（ 1）作半徑； （ 2）過圓心作弦的垂線段。（ 4）常

7、用解法：（ 1）勾股定理 ；（ 2）解直角三角形教學策略闡述1.情景創設策略：通過生活中的圖片，有效激發學生學習的興趣和求知欲，創設寬松活潑的課堂教學氣氛，維持學生學習的動機。2類比啟發策略：在完成教學要求的基礎上，通過設置與生活實際緊密聯系的問題情境，鞏固提高學生運用知識解決生活問題的能力。3引導探究策略：學生通過小組合作，探索出垂徑定理，充分發揮學生的主體作用。課堂教學過程結構設計教學教學教師的活動學生的活動設計意圖、依據環節媒體1 介紹和展示中國石聆聽背掛圖以同學們所熟知的趙州橋入拱橋中由隋代工匠李春建景介紹和欣賞手 , 并從該實例中建立與本課題密一情景導造的趙州橋（如掛圖）。石拱橋的圖

8、切有關的數學問題 .這樣既能激發入，激疑2 該實例中建立與本形，并思考教學生的興趣 ,又能引發學生更深層引趣課題密切有關的數學問題師提出的問題次的思考 .使學生認識到數學總是與現實問題密不可分 , 將實際問題數學化 , 可讓學生從一些簡單實例5（二嘗試誘導，發現定理1、活動 1：讓學生學生通拿出事先準備好的圓形紙過找圓心的游片，想想能否通過折疊的戲復習了圓的方法找到該圓的圓心？為軸對稱性什么？學生通2、教師演示線段 AB過線段 AB 的的運動變換。運動變換很自3、讓學生大膽提出然地渡到垂直猜想。于弦的直徑，經歷了由特殊到一般的探索過程，并通過實驗 - 觀察 -分析 - 猜想，主動地探索垂徑定理

9、的知識中不斷體會從現實世界中尋找數學模型 , 建立數學關系的方法 .利教學內容重新整合，將圓的用多軸對稱性的學習變成了操作性強，媒體又具有趣味性的 “找圓心 ”問題，激播放發了學生的求知欲望，調動了學生折疊學習的積極性，通過線段AB 的運過程動變換很自然地渡到垂直于弦的直和線徑，讓學生經歷了由特殊到一般的段 AB 探索過程，這符合學生的認知規的運 律，引導學生通過實驗 - 觀察 -分動變 析 - 猜想，主動地探索垂徑定理的換過 知識。這一過程突出知識地產生過程程，教會學生動眼看、動手做、動腦想、動口說，主動參與到教學活動中，這樣做有利于發揮學生的主動性，發展他們的創造性，為達到本課的教學目標奠

10、定了堅實的基礎教師板書出已知、求學生在1、在學生動手操作 折紙和證并引導學生從以下兩方教師的引導下課件演示的基礎上，利用圓的軸對面尋找證明思路，然后利進行定理的證稱性，采用疊合法證明垂徑定理是用疊合法即可證出。明學生容易接受的，根據上面的證明，請根據上目的是既使學生重視證明表學生自己用文字語言和符面的證明，學述，又加深對它的發現與理解。三引導探號語言進行歸納，并將其生自己用文字2、讓學生經歷了實驗 觀察究，證明命名為 “垂徑定理 ”。語言和符號語猜想 證明，學生的思維逐步被定理讓學生觀察圖形（如言進行定理歸展開，現在可以引導學生證明并歸6圖 4(a)(d)）中， AB 是納O 的弦， CD 是

11、 O 的學生觀弦，它們是否適用于“垂察教師給出的徑定理 ”？若不適用，說定理的變式圖明理由；若適用，能得到形，以強化對什么結論。定理基本圖形的理解1、教師出示例題：在教師例 1 如圖，已知在 O的分析引導下中，弦 AB 的長 8cm ，圓學會利用垂徑心 O到 AB的距離為定理解決相關3cm ，求 O 的半徑 .的數學問題講完例 1 后，教師把握解總結：半徑、圓心到弦的決此類問題的距離及弦長三者有何關關鍵點四例題示系？范，變式2、例 2 在例 1圖形練習的基礎上，以 O 的圓心再畫一個圓交弦 AB 于C、 D，則 AB 與 CD 可能存在的關系？試證明教師總結：在圓中，解弦的有關問題時，常常需要

12、作 “垂直于弦的直徑 ”作為輔助線，實際上，往往只須從圓心作一條與弦納定理，歸納定理時采用了文字語言和符號語言兩種形式3、強化對基本圖形的理解，從特殊到一般，培養學對幾何圖形的化歸思維能力。幾何定理中文字語言、符號語言，圖形語言的相互聯系與轉換也是學生應具備的能力。將例 2 作為例 1 的延伸，滲透了從 “特殊 ”到 “一般 ”解題思想方法，使學生體會到由淺到深，由表及里的學習過程 ，符合學生的認知規律，引導學生的解法要突出“七字口訣 ”的重要性及垂徑定理的優越性， .通過題組訓練使學生對垂徑定理有了更進一步認識，并掌握了有關計算、證明等方面的簡單應用，教師教學時應突出作圓心到弦的垂線段，是應

13、用垂徑定理時常用的添加輔助線方法。7垂直的線段。教師出示課前所留的學生獨數學來源于實踐，又應用于有關趙州橋橋拱半徑的問立思考，當堂實踐。在例題中，老師把新課引入題。練習的實際問題，在結束前引導學生運趙州橋的橋拱呈圓弧用所學知識加以解決，注重培養學五鞏固練形的（如圖 1 ），它的跨生解決實際問題的能力。首尾呼習 化疑度（弧所對的弦長）為應，形成一個課堂教學的整體。解難37.4 米，拱高（弧的中點到弦 AB 的距離，也叫弓高）為 7.2 米。請問：橋拱的半徑（即 AB 所在圓的半徑）是多少？通過本節課的學習你小組討師生共同回顧學習內容，有有哪些想法和收獲？論后師生共同助于學生將知識系統化，條理化，

14、六課堂回小結幫助學生全面理解、掌握所學知顧 畫龍識，同時可說明弦的中點、弧的中點睛點都集中在垂直于弦的直徑上，對學生進行數學美育教育。結合學生的實際情及時鞏固知識，達到課堂內容的延（七況，為了更好地因材施伸，調動學生學習積極性，提高學課后作業教，我的作業題分為必做生思維的廣度，培養學生良好的學題與選做題，習習慣及思維品質。個性化教學為學有余力的學生所做的調整:為了更好地因材施教，我的作業題分為必做題與選做題，選做題：有一石拱橋是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB=60m ，水面到拱頂距離CD=18m ，當洪水泛濫時，水面寬MN=32m 是否需要采取緊急措施？請說明問題8為需要幫助的學生所做

15、的調整:教師參與到討論當中，做弱勢小組的組織者和指導者形成性檢測知識點編學習檢測題 的內 容號目標讓學生拿出事先準備好的圓形紙片，想想能否通過折疊的方法找到該圓1理解的圓心？為什么？根據上面的證明，請學生自己用文字語言和符號語言進行歸納，并將其2應用命名為 “垂徑定理 ”與.同伴交流。思考、探究趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對的弦長）為3遷移37.4 米，拱高（弧的中點到弦AB 的距離，也叫弓高）為7.2 米。請問：橋拱的半徑（即AB 所在圓的半徑）是多少？形成性評價形成性練習題中的基礎題完成得很好，但對于知識遷移的思考題，部分學生解答得不是特別好。通過課堂教學發現學生的知識點掌握較好，學習中投入性與主動性非常高，也樂于發表自己的見解，取得了很好的教學效果。多媒體課件能較好的解決教學的重難點，