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文檔簡介
1、數列通項公式的求法一、定義法直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法,這種方法適應于已知數列類型的題目例1等差數列是遞增數列,前n項和為,且成等比數列,求數列的通項公式.解:設數列公差為成等比數列,即, 由得:, 】點評:利用定義法求數列通項時要注意不用錯定義,設法求出首項與公差(公比)后再寫出通項。二、公式法若已知數列的前項和與的關系,求數列的通項可用公式求解。例2已知數列的前項和滿足求數列的通項公式。解:由當時,有,經驗證也滿足上式,所以點評:利用公式求解時,要注意對n分類討論,但若能合寫時一定要合并三、由遞推式求數列通項法對于遞推公式確定的數列的求解,通常可以通過遞推公式的變
2、換,轉化為等差數列或等比數列問題,有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數列。類型1 遞推公式為解法:把原遞推公式轉化為,利用累加法(逐差相加法)求解。例3. 已知數列滿足,求。解:由條件知:分別令,代入上式得個等式累加之,即所以 , 類型2 (1)遞推公式為解法:把原遞推公式轉化為,利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4. 已知數列滿足,求。解:由條件知,分別令,代入上式得個等式累乘之,即又, 注:由和確定的遞推數列的通項還可以如下求得:所以, ,依次向前代入,得,類型3遞推式:解法:只需構造數列,消去帶來的差異其中有多種不同形式為常數,即遞推公式為(其中p,q均為常數,)。解法:轉化為:,其中,再
3、利用換元法轉化為等比數列求解。例5. 已知數列中,求.解:設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令,則,且.所以是以為首項,2為公比的等比數列,則, 所以.為一次多項式,即遞推公式為例6設數列:,求.解:設,將代入遞推式,得()則,又,故代入()得備注:本題也可由 ,()兩式相減得轉化為求之. 為的二次式,則可設;類型4 遞推公式為(其中p,q均為常數,)。 (或,其中p,q, r均為常數)解法:該類型較類型3要復雜一些。一般地,要先在原遞推公式兩邊同除以,得:引入輔助數列(其中),得:再應用類型3的方法解決。例7. 已知數列中,,,求。解:在兩邊乘以得:令,則,應用例7解法得:所以類型5 遞推公式為(其中p,q均為常數)。解法:先把原遞推公式轉化為其中s,t滿足,再應用前面類型3的方法求解。例8. 已知數列中,,,求。解:由可轉化為即或這里不妨選用(當然也可選用,大家可以試一試
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