1、1 第七章第七章 多元微分學多元微分學 空間曲面與曲線多元復合函數及隱函數求導法則偏微商與全微分多元函數的基本概念2教學目的教學目的:本章重點本章重點:本章難點本章難點:偏導數與全微分的概念，多元復合函偏導數與全微分的概念，多元復合函數求導法則，多元函數極值求法數求導法則，多元函數極值求法. .二元復合函數微分法，多元函數的極二元復合函數微分法，多元函數的極值與求法值與求法. . 理解二元函數的定義，會求二元函數的定義域理解二元函數的定義，會求二元函數的定義域 了解二元函數的極限與連續概念 了解二元函數的極限與連續概念 理解二元函數偏導數定義，掌握多元復合函數求導法則 理解二元函數偏導數定義，

2、掌握多元復合函數求導法則 理解全微分概念，會求二元函數全微分理解全微分概念，會求二元函數全微分掌握多元函數的極值概念，會求多元函數的極值 掌握多元函數的極值概念，會求多元函數的極值 會使用拉格朗日乘數法求條件極值，會應用最小二乘法 會使用拉格朗日乘數法求條件極值，會應用最小二乘法 會解一些經濟問題中的最優化問題 會解一些經濟問題中的最優化問題 3 目的要求目的要求 掌握復合函數求偏導法則，隱函數掌握復合函數求偏導法則，隱函數求偏導法則。求偏導法則。 重點重點 復合函數求偏導法則復合函數求偏導法則 難點難點 復合函數求偏導法則復合函數求偏導法則7.4 多元復合函數及隱函數求導法則多元復合函數及隱

3、函數求導法則4一、一、復合函數求導法則復合函數求導法則定理定理 (1) u= (x,y),v= (x,y)的偏導數在點的偏導數在點 (x，y) 處處連續連續; (2) 函數函數z= f(u,v)的偏導數在的偏導數在(x,y)的對應點的對應點 (u,v)處連續處連續. 則復合函數則復合函數 z= f (x,y), (x,y) 在在(x,y)處存在連續的偏導數，且處存在連續的偏導數，且7.4 多元復合函數及隱函數求導法則多元復合函數及隱函數求導法則5xvvfxuufxz yvvfyuufyz z=fuvxyxy鏈式法則鏈式法則復合函數復合函數求導法則求導法則z= f (u,v) u=u(x,y),

4、v=v(x,y)6解解,yxvxyu 令令,sinvezu 則則xvvfxuufxz 1cossin veyveuu)cos()sin(yxeyxyexyxy yvvfyuufyz 1cossin vexveuu)cos()sin(yxeyxxexyxy 注注: 此題可不用鏈式法則來解此題可不用鏈式法則來解的的偏偏微微商商。求求例例)sin(yxezxy 導數導數7解解22,uxy vxy 令令,vzu xvvfxuufxz 12lnvvvuxuu y 22222222()ln()xyx yxyyxyxy yvvfyuufyz 12lnvvvuyuu x 22222222()ln()xyxyx

5、yxxyxy 冪指函數冪指函數注注: 此題必須用鏈式法則來解此題必須用鏈式法則來解22()xyzxy 例例求求的的偏偏微微商商。導數導數8.)( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 解：解：xyvyxu ,22令令),(arctanvufuezv 則則xvvfxuufxz )11(22arctanarctanvuexevv )(2xy )(22222arctanyxyyxxexy )2(arctanyxexy 練習練習9yvvfyuufyz xvueyevav1)11(22arctanarctan )(22222arctanyxxyxyexy )2(arctanxyexy .)

6、( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 xyvyxu ,22令令),(arctanvufuezv 則則10)2(arctanxyexy dyyzdxxzdz )2()2(arctandyxydxyxexy .)( arctan22dzeyxzxy，求求已已知知例例 xvvfxuufxz )2(arctanyxexy yvvfyuufyz 考研考研題目題目11幾種常見的形式幾種常見的形式（1）若）若z= f(u,v), u=u (x), v= v (x) 只有一個自變量只有一個自變量 dxdvvfdxduufdxdz uvxz= f)()(),(xzxvxufz 則則這時這時12

7、(2)若若z= f(u), u=u(x,y), u是是一個中間變量一個中間變量z=fuxyxududfxz yududfyz yxzyxufz,),( 13(3)若若z=f (u,x,y), u= (x,y)z=fuxyxyxfxuufxz yfyuufyz ),(),),(yxzyxyxfz 對于本形式，要注意以下幾點：對于本形式，要注意以下幾點：14 注意注意1. 這里這里x, y具有具有雙重雙重身份：既作為自變身份：既作為自變量，也作為中間變量。量，也作為中間變量。2.:的的差差別別在在于于與與xfxz 前一個把前一個把x看作自變量，看作自變量，后一個把后一個把x看作中間變量。看作中間變

8、量。 xfxuufxz yfyuufyz z=fuxyxy15例例 設設z=xy+et, x=sint, y=cost. 求求 dtdztfdtdyyfdtdxxfdtdz tyyetxxtyx )sin(lncos1cos12cos1(sin )cos(sin )lnsin.ttttttte 解解16例例 設設u= f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求求yuxu ,u=fyxzxyxzzfxfxu zfyxxxf )cos(222yzzfyfyu .)cos(222zfyxyyf 解解練習練習17例例 設設z= f(x2-y2,exy),f 有連續偏導數求有連續偏導數求yzxz ,

9、z=fuvyxxy則則設設,22xyevyxu xvvfxuufxz xyyevfxuf 2vfyeufxxy 2.2vfxeufyyzxy 解解18例例 設設z= f (x2-y2,exy), f 有連續偏導數求有連續偏導數求2zy x z=fuvyxxy則則設設,22xyevyxu .2vfxeufyyzxy 解解2()zzy xxy )2(vfxeufyxxy 2222222()()xyxyxyfufvffyexyeuxu vxvvfufvxev uxvx z=fuvyxxy19例例解解 yzfuxy vxyyxvxyu ,令令yyyxyxyfx)()(1 yvvyvyuufx )()(

10、)(1 1)()()(1 vyvxufx _,).()(12 xyzfyxyxyfxz則則具有二階連續微商，具有二階連續微商， 導數導數,20)()()(vyvuf 2zy x )(yzx xvvyxvvxuuf )()()( )(11)()(yxyvyuf )()()(yxyyxxyf y yz例例),(yxvxyu _,).()(12 xyzfyxyxyfxz則則具有二階連續微商，具有二階連續微商， 導數導數,21解法二解法二1)()()(1 yxyyxxxyfxyz )()()(yxyyxxyf )()()(yxyyxxyf y 例例 yxz2_,).()(12 xyzfyxyxyfxz

11、則則具有二階連續微商，具有二階連續微商， 導數導數,22隱函數微分法隱函數微分法(1.二元方程確定的一元隱函數二元方程確定的一元隱函數) 設設F(x,y)=0確定確定y是是x的可微函數的可微函數y=y(x),則則 Fx,y(x) 0 ,可知，可知，F通過通過y是是x的函數。的函數。 0 dxdyFFdxdFyxFxyx，則則有有若若0 yF.yxFFdxdy 二、復合函數微分法的應用二、復合函數微分法的應用利用復合函數微分法利用復合函數微分法23022.1 dxdyyxyxdxdy 222.( , )1F x yxy令令,2,2yFxFyx 則則yxyxFFdxdyyx 22的的函函數數的的微

12、微商商，所所確確定定的的如如求求xyx122 導數導數24例的的函函數數，是是確確定定設設方方程程xyyxxy1 .dxdy求求解1),( yxxyyxF設設1,1,xyFyFx yxFFdxdy 則則.11 xy練習練習252. 三元方程確定的二元隱函數三元方程確定的二元隱函數設設F(x,y,z)=0確定確定z是是x,y的函數的函數,根據鏈式法則有根據鏈式法則有0 xzFFzx0 yzFFzy，則則若若0 zF.,zyzxFFyzFFxz Fxyzxy26例例),(333yxfzaxyzz 確確定定設設方方程程.,yzxz 求求解解333) ,(axyzzzyxF 設設.33,3,32xyz

13、FxzFyzFzyx 時，時，當當0332 xyzzxFFxz xyzyz3332 ,2xyzyz zyFFyz xyzxz3332 .2xyzxz 27例例,0 xyzez設設2.zx y 求解,),(xyzezyxFz 令令.,xyeFxzFyzFzzyx zxFFxz ,xyeyzz zyFFyz .xyexzz 2)()()(xyexyzeyzyzyzxyezzz .)(32222xyezyxexyzzezzz 2zx y ()zyx 28小節小節xvvfxuufxz yvvfyuufyz 復合函數求導法則復合函數求導法則.,zyzxFFyzFFxz 隱函數求導法則隱函數求導法則設設F(x,y,z)=0確定確定z是是x,y的函數的