1、河南省2015年普通高等學(xué)校專科畢業(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)一、選擇題（每小題2分，共60分）在每小題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂 黑。1 .已知函數(shù)/（x） = x,則/ =（）A. xB. x2C. -D. 4xk【答案】C【解析】因?yàn)?a1，則斗L所以/|7臼=小=_1.X） X_x） X2 .已知函數(shù)= 則/。）是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.無(wú)法判斷【答案】B【解析】/（-A） = （-X）8 - （-A）4 = X8 - X4 = /（A）,即/。）為偶函數(shù).3 .已知函數(shù)刈=5，則/（X）的定義域是（）A. （0,+8

2、）B, （0,-W）C. （-00,0） D. （-00,0【答案】B【解析】由/*） = % = ，可知f（x）的定義域是。內(nèi)）.4 .已知極限lim叫竺2 = 2,則可確定小的值是（）一。 XA. 1B. 2C. -D. 02【案】B 匕.r sin(/nr) . nix。【解析】lini= hm=？ = 2.*T X%5 .當(dāng)x - 0時(shí)，若為-cosx：/,則可確定。的值一定是（）A. 0B. 1C. D.22【答案】C 【解析】由 2a一cosx gx?。-0),可知 lim (2u - cos x) = lim 1 x2,即 2acos0 = 0，故”=；6 .下列極限存在的是（）

3、A.limXTQCB. lim!C. limlXT。2* 1Xi x【答案】al+111【解析】limA + l linJ F n，極限存在：lim-=X,極限不存在：lim -= 8,極inn =lim= u.d 2 _ 1xVXXTOO I*,*極限不存在.竺g.07 .已知函數(shù)f（x）= a-,在x = 0處，下列結(jié)論正確的是（）.1,x = 0A. “ = 1時(shí)，必然連續(xù)B. ” = 0時(shí)，/（X）必然連續(xù)C. “ = 1時(shí)，/（X）不連續(xù)D. ” = -1時(shí)，/（幻必然連續(xù)【答案】A【解析】limy（x） = lim=,又知f（0） = l,故。=1時(shí)，f（x）必連續(xù).8 .極限li

4、m匚學(xué)的值是（）i sm xA. -B. -C. 0D. 863【案】A【解析】r x-sinx rlim：- = hmsin x 一0x - sin x1 二.1-cosx 2A 1 .=hm； = 一3廠一 0 3r 69 .已知函數(shù)f(x) = (x-a)g(x),其中g(shù)(x)在點(diǎn)工=。處可導(dǎo),則./3)=()A. 0B. g3C. g(4)D. /(a)【答案】c(解析】fa) = lim/)/(，)= lim叱+、。= g(“). I Xf X10 .已知曲線/a)=r與8(%)=/，當(dāng)它們的切線相互垂直時(shí)，自變量x的值應(yīng)為( )【答案】B【解析】ra)=2x, /(x)=3/,兩曲

5、線的切線相互垂直，即ra)R(x)=1,即2廠3/ =t ,即一小11 .己知函數(shù)/(x)= N，則該函數(shù)/。)在點(diǎn)火,=0處()A.連續(xù)且可導(dǎo)B.不連續(xù)C.連續(xù)但不可導(dǎo)D.左右導(dǎo)數(shù)均不存在【答案】C【解析】吧/。人吧小句:八。)，故/(X)在x = 0處連續(xù)：(0) = lim .C。)= lim = -l,力(0) = lim W。)= lim = 1,故 f(x)在 x = 0 處 xfXXxTO*XXT。- X不可導(dǎo).12 .己知函數(shù).f(x)=cosx在閉區(qū)間0.2可上滿足羅爾定理，那么在開區(qū)間(。,24)內(nèi)使得等式/)=0成立的g值是()A. -B.乃C. 0D. 2K2【案】B解

6、析/(X)= cosx,= -sin X,令 f(x) = -sin x = 0 , o % 0 ,則在鄰域(6內(nèi)()A. /(O)是極小值 B. ”0)是極大值C.八0)不是極值 D.7(0)是最大值【答案】A【解析】由題可知由”)在(一瓦。)上單調(diào)減少,在(03)上單調(diào)增加，又由/)在(-內(nèi) 連續(xù)，可知/)在x = 0處取得極小值.14 .已知函數(shù)f(x)在開區(qū)間31)內(nèi)有：且。”(力0,則在開區(qū)間S內(nèi)，/(X)是( )A.單調(diào)遞減且形狀為凸B.單調(diào)遞增且形狀為凸C.單調(diào)遞減且形狀為凹D.單調(diào)遞增且形狀為凹【答案】C【解析】/(A)Of說(shuō)明/)在3力)內(nèi)為凹函 數(shù).15 .已知曲線，= 2

7、 + d,則該曲線的拐點(diǎn)*,y)=()A. (0.2)B, (1,3)C. (0.0)D. (M)【答案】A【解析】/ = 5x4, / = 2Qx3,令 y* = 0,得x=0,且xvO時(shí)八0, x0時(shí) y0,故9,2) 為曲線的拐點(diǎn).16 .已知函數(shù)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則不定積分j/(2x)dx=()A. -F(x) + C B. -F(2x) + C C. F(x) + CD. F(2x) + C22【答案】B【解析】|7(2x)x=； |7(2xW(2x) =1f(2x) + C.17 .已知函數(shù),f(x) =sin，則/(x)=(A. sinxB. xcosxC. -vc

8、osxD. xsinx【答案】D【解析】，3) = (”in力= xsinx.18 .已知函數(shù)f(x)在閉區(qū)間fm上連續(xù)，則定積分LJsin.Wx,=().A. -1B. 0C. 1D.不確定【答案】B【解析】由于被枳函數(shù)Jsinx為奇函數(shù)，故,JsinWx = 0.19 .已知定積分/=%，八=丁公，則有()A. A /B. /】=/)C. /t 口5,即4.20 .已知函數(shù)F = /0)在閉區(qū)間”1上連續(xù)，且/(xR 0,則由曲線y = /(X)與直線x = ” , x=b, y = o所圍成的平而圖形的面積是()A. J f(x)dxB. f(x)dxC. f(b)-f(a)(b-a)D

9、.不確定【答案】A【解析】由定積分的幾何意義可知A正確.21 .已知下列微分方程，則可進(jìn)行分離變量的是()A. xy1-3y = sinxC. y* = sinxcosyB. (x- ycosx)J4- (y + x2 )dx = 0D. yy -4y = 2a =0【答案】C【解析】C中” = sinxcos），分離變量，得上二= sinx，k dxcosy22 .已知微分方程）產(chǎn)-5）/+”=0的一個(gè)解為廣，則常數(shù)=（）A. 4B, 3C. 5D. 6【答案】D【解析】（e2xy = 2elx,（/），=4/二代入微分方程，得4/5x2/+a/* =0, 4 = 6.23 .下列各組角中，

10、可以作為向量的一組方向角的是（）冗冗冗冗兀兀JT兀兀7T 7T *Jo 一 一 一4 4 64 3 24 3 44 3 3【答案】D【解析】由于方向角。，P，必須滿足可以驗(yàn)證只有D正確.24 .已知函數(shù)z = 2/+3町，V，則=()cxcyA. -2B. 2C. 6D. 3【答案】D &力 4la 4 c o2z d f dz=3.【解析】7二= -(-25 .某公司要用鐵板做成一個(gè)容積為27P的有蓋長(zhǎng)方體水箱，為使用料最省，則該水箱的最小表面積應(yīng)為（A. 54，C. 9?D. 6nr27【解析】設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為，、b,則高為,于是，表面積54 54c ，27 27 c ,54 54S

11、= 2 abAF =2ab +1,b更adas茄J I令=2-把=0cC4 = 3得一,且駐點(diǎn)唯一,由于實(shí)際問題最值一定存在，可知最小表而積 S = 54m3.26 .已知平面閉區(qū)域。：1工2 +）,216,則二重積分3d.Mv=（）DA. 45B. 45C. 48D. 48【答案】A解析J3dxdy =3Sd = 3（ .萬(wàn)一小廣）=45;r . *D27 .已知乩將積分次序改變，則乩()A.同；(m)岫B. J； f(x,y)dxC.D.【答案】A(解析J(x, yM。=.1f(x, ylx.28 .已知L為連接(1，。)及(01)兩點(diǎn)的直線段，則曲線積分L(x+y)4s=()A. 2B.

12、應(yīng)C. 1D. 0【答案】B【解析】由于直線段L的方程為x+y = l,故( (x +)，)公=J1 + (1 丫dx = O.71C. y（-l）wsin-d. yrr1 n I29 .下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的是()A.B. f（T）i5-1y n-l）【答案】B型之二則等=K，故如收斂， 3一】【解析】對(duì)于B項(xiàng)，/=(-ir1 , lim殳， 3. i un原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.30 .已知級(jí)數(shù)次4，則下列結(jié)論正確的是( “IA.若吧4=0,則收斂 n-Ib.若的部分和數(shù)列sj有界，則收斂 n-In-1c.若|m,|收斂，則絕對(duì)收斂ID.若力聞發(fā)散,則“也發(fā)散 n-Inl【答案】C【解析】A項(xiàng)中若結(jié)論

13、不成立：B項(xiàng)中若4=(-1)，結(jié)論不成立：D項(xiàng)中若 n4=(-1白，結(jié)論不成立：由絕對(duì)收斂的定義知，C正確. n二、填空題(每小題2分，共20分)31 .已知函數(shù)f(x) = x 1,則/CO的反函數(shù)3=.【答案】y = x + i【解析】由y = x-1,得X = y + 1,交換x, y的位置，得反函數(shù)為y = x+i, xwR.32 極限 lim 77sinJZ7T=.f 3tr +1【答案】01 1解析lim-Asin 小/ +1 = lim - sin 6r +1 = 0f 3- +13 + n2x+1, XHl33.已知函數(shù) i，則點(diǎn)x = l是f(x)的間斷點(diǎn).1, x = 1【

14、答案】可去【解析】lim/a)= lim(x + l) = 2,而/=1,故、=1是/*)的可去間斷點(diǎn).34 .已知函數(shù)f(x) = lnx為可導(dǎo)函數(shù)，則在點(diǎn)x = 1.01處的近似值為【答案】0. 01【解析】由仇+6)*/5)+/(%)工,故/(1+。.01卜/+/0.01=。.01 .35 .不定積分Jcos(3x + 2)dx = 【答案】|sin(3x + 2) + C 【解析】fcos(3x + 2) = 則心向=7(+、，口心= +小 ex x +y oy x + y1 x +y 1 x + y 138 .與向量-3,4,1平行的單位向量是【答案】析】e. a/9 + 16 +

15、1 V9 + 16 + 1 , /9 + 16+1 39 .微分方程的通解是 【答案】y = n(ex+C)(解析泮=。,分離變量,得ely = exdx,兩邊積分,得/ = d + C ,即通解為y = n(ex + C). ax e40 .塞級(jí)數(shù)次(2 + l)x”的收斂半徑R=. “】=1 .=lim n-【答案】1【解析】R = lim三、計(jì)算題(每小題5分，共50分)4L 求極限 lim(l + sinx)；. V-【答案】e【解析】原式= lim(l + sinx向*.如加V =e . X-42 .已知函數(shù)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且/(x)hO,求函數(shù)y = 石7的導(dǎo)數(shù).fx)【答案】

16、即【解析】/=I/Wp /，W=7-43 .計(jì)算不定積分【答案】|ln(x2+l) + C【解析】原式=1!=%評(píng)+1)+。. 2r+1244,計(jì)算定積分：白弓/4.【答案】1一丁山=1.【解析】 A憶/五=1力=/=加2t 4v+ 7 = 045 .求過點(diǎn)A(l,2,1),且與直線/J；. 二 一八平行的直線方程.3x-y-2z = 0【答案】匚1=二=口 八 9710i J k【解析】所求直線的方向向量為S= 2 -4 1 =(9.7,10),又直線過點(diǎn)41.2J),故所求直3 -1 -2線方程為46 .已知函數(shù)z = /(x,y)由方程Y + V + z?-4z = 0所確定，求全微分心

17、.答案2-z【解析】方程兩邊微分，得2Mx + 2M)，+ 2z-4Jz =。，整理得 2-z47 .計(jì)算二重積分IP “四，其中。是環(huán)形域叱/ +,，2 44 . D【答案】兀(/一。)【解析】JJJ+5力=啖= D48 .求微分方程了+h=的通解. x x答案y = (ex+C)解析y = e edx + C = elnx edx + C| = -!-( jexdx + C)= -(ex + C).x (x - Yl49 .求嘉級(jí)數(shù)Z(T)“Tf的收斂區(qū)間.【答案】(0.2)【解析】lim 婦=lim -)一 =卜1|,令卜一“1 ,得T vx-l vl ,即 0xv2, i u - +

18、(x-l)*1111故收斂區(qū)間為(0,2).50 .求級(jí)數(shù)的和函數(shù) “】【答案】S(x) = Sy，xe(-U)【解析】易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1，1),設(shè) S(x) = Z，WM-I/1-1/-)=Z I 力=vx = e所圍成的平面圖形的面積.【答案】1(解析】所求平面圖形的面積S =(e -/肘=1.52 .某公司主營(yíng)業(yè)務(wù)是生產(chǎn)自行車，而且產(chǎn)銷平衡，公司的成本函數(shù) C(x) = 40000 + 200.v-0.002.V5,收入函數(shù)砍x) = 350工一0.004 ,則生產(chǎn)多少輛自行車時(shí)，公 司的利潤(rùn)最大？【答案】37500【解 析】 公 司的利 潤(rùn) Ux) = R(x) - C(x) = 350x - 0.004X2 - 40000 - 200x + 0.002x2 = 150x-0.00Zv2-40000 , r =