1、學習目標：1、運用正方形性質和判定方法解決幾何問題。、運用正方形性質和判定方法解決幾何問題。2、學會構造輔助線解決幾何問題。、學會構造輔助線解決幾何問題。教學重點：教學難點：正方形性質的運用。正方形性質的運用。通過分析已知條件構造輔助線。通過分析已知條件構造輔助線。 對角線：對角線： 相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 每條對角線平分一組對角。每條對角線平分一組對角。邊邊: 對邊平行對邊平行 四邊相等四邊相等角角 ：四個角都是直角：四個角都是直角圖形的對稱性：是軸對稱圖形圖形的對稱性：是軸對稱圖形, 有四條對稱軸。有四條對稱軸。正方形的性質正方形的判定方法1 1、有一組鄰邊相等的、有一組鄰邊相

2、等的矩形矩形是正方形。是正方形。2 2、對角線互相垂直的、對角線互相垂直的矩形矩形是正方形。是正方形。3 3、有一個角是直角的、有一個角是直角的菱形菱形是正方形。是正方形。4 4、 對角線相等對角線相等 的的菱形菱形是正方形。是正方形。cadbo小試牛刀1 1、正方形是軸對稱圖形，它的對稱軸共有、正方形是軸對稱圖形，它的對稱軸共有( ) ( ) a a1 1條條 b b2 2條條 c c3 3條條 d d4 4條條2 2、正方形具有而菱形不一定具有的性質（、正方形具有而菱形不一定具有的性質（ ） a a四邊都相等四邊都相等 b b對角線互相垂直且平分對角線互相垂直且平分c c對角線相等對角線相

3、等 d d對角線平分一組對角對角線平分一組對角3 3、正方形具有而一般矩形不一定具有的性質是（、正方形具有而一般矩形不一定具有的性質是（ ）a a對邊平行且相等對邊平行且相等 b b對角線互相垂直對角線互相垂直c c對角線相等對角線相等 d d四個角都是直角四個角都是直角4 4、下列判斷中正確的是、下列判斷中正確的是( () )a a四邊相等的四邊形是正方形四邊相等的四邊形是正方形 b b四角相等的四邊形是正方形四角相等的四邊形是正方形c c對角線互相垂直的平行四邊形是正方形對角線互相垂直的平行四邊形是正方形d d對角線互相對角線互相 且且 的四邊形是正方形的四邊形是正方形dcbd垂直垂直平分

4、平分相等相等正方形正方形= =矩形矩形+ +菱形菱形+ +平行四邊形平行四邊形例1、如圖，點m是正方形abcd的對角線bd上的一點，mebc， mfcd，垂足分別是點e，f。求證：am=ef 證明：連接證明：連接mcmc四邊形四邊形abcdabcd為正方形為正方形bcd=90bcd=90，abd=cbd=45abd=cbd=45，ab=bcab=bc又又mebcmebc，mfcdmfcdmec=90mec=90，mfc=90mfc=90四邊形四邊形mecfmecf為矩形為矩形mc=efmc=ef在在abmabm和和cbmcbm中中abmabmcbmcbm（sassas）am=mcam=mcam

5、=efam=ef ab=bcab=bc abm= cbm abm= cbm mb=mb mb=mb例題講解還有其他方法嗎？還有其他方法嗎？admadmcdmcdm（sassas） 一題多解一題多解如圖，點m是正方形abcd的對角線bd上的一點，mebc， mfcd，垂足分別是點e，f。求證：am=ef 連接連接acac，mcmc由由bdbd是是acac的垂直平分線的垂直平分線可得可得am=mcam=mc進而再證進而再證mc=efmc=ef一題多解一題多解如圖，點m是正方形abcd的對角線bd上的一點，mebc， mfcd，垂足分別是點e，f。求證：am=ef 過過m m點作點作mqadmqad

6、，垂足為，垂足為q q， 作作mpabmpab，垂足為，垂足為p p證明出證明出ap=mfap=mf，pm=mepm=me，進而證明進而證明apmapmfmefme，即可證明出即可證明出am=efam=efqp如圖1，在正方形abcd中，e、f分別是邊ad、dc上的點，且afbe（1）求證：af=be證明：證明：四邊形四邊形abcdabcd是正方形是正方形ab=adab=ad，bae=adf=90bae=adf=90baf+daf=90baf+daf=90afbeafbebaf+abe=90baf+abe=90daf=abedaf=abe在在abeabe和和dafdaf中中 abfabfbce

7、bce（asaasa）af=beaf=be 練習bae=adfbae=adfab=adab=adabeabe =daf=daf（2）如圖2，在正方形abcd中，m、n、p、q分別是邊ab、bc、cd、da上的點，且mpnqmp與nq是否相等？并說明理由 證明：過點證明：過點a作作afmp交交cd于于f，過點，過點b作作benq交交ad于于e abcd，adbc四邊形四邊形ampf與四邊形與四邊形bnqe是平行四邊形是平行四邊形af=mp，be=nq在正方形在正方形abcd中，中，ab=ad，bae=d=90daf+baf=90afbe， abe+baf=90 abe=daf在在abe和和daf

8、中中 abedaf（asa）af=bemp=nq febae=adfab=adabe =dafmp=nq還有其他方法嗎？還有其他方法嗎？如圖如圖2 2，在正方形，在正方形abcdabcd中，中，m m、n n、p p、q q分別是邊分別是邊abab、bcbc、cdcd、dada上的點，且上的點，且mpnqmpnqmpmp與與nqnq是否相等？并說明理由是否相等？并說明理由一題多解一題多解ef過過m m點作點作m me ec cd d，垂足為，垂足為e e，過過q q點作點作qfqfbcbc，垂足為，垂足為f f證明出證明出emp= =fqn， meme= =qfqf，進而證明進而證明empem

9、pfqnfqn，即可證明出即可證明出mpmp= =qnqn如圖如圖2 2，在正方形，在正方形abcdabcd中，中，m m、n n、p p、q q分別是邊分別是邊abab、bcbc、cdcd、dada上的點，且上的點，且mpnqmpnqmpmp與與nqnq是否相等？并說明理由是否相等？并說明理由一題多解一題多解條件不充分，條件不充分，此方法行不通。此方法行不通。例2、已知：如圖，在abc中，ab=ac ， adbc ，垂足為點d， an是abc外角cam的平分線， cean ，垂足為點e（1）求證：四邊形為矩形；（2）當滿足什么條件時，四邊形是一個正方形？并給出證明 m e n c d b a

10、（1 1）證明：）證明：在在abcabc中，中，ab=acab=ac，adbcadbcbad=dacbad=dacanan是是abcabc外角外角camcam的平分線的平分線mae=caemae=caedae=dac+cae=180dae=dac+cae=180 =90 =90又又adbcadbc，ceancean，adc=cea=90adc=cea=90四邊形四邊形adceadce為矩形為矩形 21正方形的判定正方形的判定例2、已知：如圖，在abc中，ab=ac ， adbc ，垂足為點d， an是abc外角cam的平分線， cean ，垂足為點e（1）求證：四邊形為矩形；（2）當滿足什么條

11、件時，四邊形是一個正方形？并給出證明 m e n c d b a當當abcabc滿足滿足bac=90bac=90時，四邊形時，四邊形adceadce是一個正方形是一個正方形證明：證明：ab=acab=acacb=b=45acb=b=45adbcadbccad=acd=45cad=acd=45dc=addc=ad四邊形四邊形adceadce為矩形為矩形矩形矩形adceadce是正方形是正方形當當bac=90bac=90時，四邊形時，四邊形adceadce是一個正方形是一個正方形 如圖，在abc中，acb=90，cd是角平分線，deac，dfbc，垂足分別是e，f求證：四邊形decf是正方形 證明：證明：cdcd是角平分線，是角平分線，deacdeac，dfbcdfbcde=dfde=df，ced=cfd=90ced=cfd=90acb=90acb=90四邊形四邊形decfdecf是矩形是矩形又又de=dfde=df四邊形四邊形decfdecf是正方形是正方形 練習1、如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則 1+2+3=_。2、如圖，正方形的周長為 8cm，則矩形efbg的周長為_3、如圖，正方形abcd中