1、高考熱點追蹤(四)體積、表面積創新試題兩例賞析隨著課改的深入，高考考查考生的創新意識已逐年增強，有些試題不僅“立意”新穎，而且在“求解途徑、求解方法”上也力求創新以下采用空間幾何體體積、表面積兩例，加以剖析，以感受其“立意”之新、“求解”之新，從而領略其蘊含的創新意識和探究能力 (2019蘇州模擬)某市為創建國家級旅游城市，市政府決定實施“景觀工程”，對現有平頂的民用多層住宅進行“平改坡”計劃將平頂房屋改為尖頂，并鋪上彩色瓦片現對某幢房屋有如下兩種改造方案：方案1：坡頂如圖1所示，為側頂面是等腰三角形的直三棱柱，尖頂屋脊aa1的長度與房屋長度bb1等長，有兩個坡面需鋪上瓦片方案2：坡頂如圖2所

2、示，為由圖1消去兩端相同的兩個三棱錐而得，尖頂屋脊dd1比房屋長度bb1短，有四個坡面需鋪上瓦片若房屋長bb12a，寬bc2b，屋脊高為h，試問哪種尖頂鋪設的瓦片比較省？說明理由【解】作aebc, 即ae平面b1bcc1，ae為屋脊的高，故aeh由dbdc，得debc，故ab設ad長為x，則de，所以，sbcdbcde2bb，sabdsacdx由于面積均為正數，所以只需比較(sabdsacd)2與(sbcd)2的大小事實上：(sabdsacd)2(sbcd)2x2(h2b2)b2(h2x2)x2h2b2h2h2(x2b2)所以分bx，bx，bx三種情況討論，得結果為：(1)若ad之長小于房屋寬

3、度的一半時，圖1尖頂鋪設的瓦片較省；(2)若ad之長等于房屋寬度的一半時，兩種尖頂鋪設的瓦片數相同；(3)若ad之長大于房屋寬度的一半時，圖2尖頂鋪設的瓦片較省名師點評 近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關系問題即使考查空間線面的位置關系問題，也常以幾何體為依托因而要熟練掌握多面體與旋轉體的概念、性質以及它們的求積公式 (2019南京、鹽城模擬) 如圖，正三棱柱abca1b1c1的底面邊長為4，側棱長為a，過bc的截面為dbce為bc的中點且dea30(1)分別就a3和a1計算截面的面積；(2)記該截面的面積為f(a)，求

4、f(a)的最大值【解】(1)因為dea30，等邊abc邊長為4，所以ae2在rtdae中，daaetandea2當a3時，d點在側棱aa1上，截面為bcd，在rtdae中，de4，所以sbcdbcde448當a1時，d點在aa1延長線上，截面為梯形bcnm，因為ad2，aa11，所以mn是dbc的中位線， 所以s梯形bcnmsdbc86(2)當a2時， 截面與正三棱柱abca1b1c1的棱aa1相交于d點，此時截面為bcd，其面積為sbcdbcde448；當0a2時，截面為梯形bcnm，但是始終有daaetandea2，由bcdmnd，得，所以s梯形bcnmsbcd82a(4a)所以f(a)于

5、是當a2時，該函數的最大值為8名師點評截面問題是立體幾何題中的一類比較常見的題型，由于截面的“動態”性，使截得的結果也具有一定的可變性 涉及多面體的截面問題，都要經過先確定截面形狀，再解決問題的過程，本例通過改變側棱長而改變了截面形狀；也可以通過確定側棱長，改變截面與底面所成角而改變截面形狀平行問題是高考中熱點問題，其中最重要的又是線線平行的判定，因為它是證明線面平行，面面平行的基礎，下面舉例解析線線平行的判定方法一、利用中位線定理得線線平行題目中給出中點條件時，往往隱含著中位線的信息因素，利用中位線很容易尋求線線平行但不同三角形中的中位線效果也不一樣，因此，尋求三角形的中位線也是解題的關鍵

6、(2019南京模擬)如圖，在長方體abcda1b1c1d1中，底面是菱形，aa1ab，點e、m分別為a1b、c1c的中點，過點a1，b，m三點的平面a1bmn交c1d1于點n求證：em平面a1b1c1d1【證明】取a1b1的中點f，連結ef，c1f因為e為a1b的中點，所以ef綊bb1 又因為m為cc1中點，所以ef綊c1m 所以四邊形efc1m為平行四邊形，所以emfc1 而em平面a1b1c1d1，fc1平面a1b1c1d1，所以em平面a1b1c1d1名師點評線面關系轉化為線線關系，體現了轉化的思想二、利用比例關系得線線平行對應線段成比例是平面幾何中判斷直線平行的重要依據，而線面平行的空

7、間問題通過轉化可變通為線線平行 已知正方形abcd的邊長是13，平面abcd外一點p到正方形各頂點的距離都為13，m、n分別是pa、bd上的點且pmmabnnd58，如圖所示求證：直線mn平面pbc【證明】連結an并延長交bc于e點，連結pe，則ennabnnd，所以，所以mnpe，而mn平面pbc，pe平面pbc，所以mn平面pbc名師點評利用成比例線段是尋求線線平行的一條行之有效的措施三、利用線面平行性質得線線平行線面平行的性質定理中，包含要素：兩線兩面 兩線兩面的關系是：一線在一面內平行于另一面，一線是兩面的交線 結論是：兩線平行 (2019南京模擬)在四棱錐pabcd中若平面pab平面

8、pcdl，問：直線l能否與平面abcd平行？請說明理由【解】假定直線l平面abcd，由于l平面pcd，且平面pcd平面abcdcd，所以lcd同理可得lab，所以abcd所以當abcd時直線l能與平面abcd平行，否則不平行名師點評線面關系轉化為線線關系，體現了重要的數學思想方法：轉化的思想，化繁為簡，化未知為已知四、利用面面平行性質得線線平行利用面面平行的性質定理，即如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行符號表示：若，a，b，則ab 如圖所示，已知平面平面，a，b，c，d，ac，bd是異面直線，點e，f分別是ac，bd的中點，求證：ef【證明】如圖，過點e作直線a1c1bd

9、，設a1c1與平面，分別交于點a1，c1連結aa1，a1b，cc1，c1d因為，平面a1c1db平面a1b，平面a1c1db平面c1d，所以a1bc1d，又bda1c1，所以四邊形a1c1db為平行四邊形同理，aa1cc1，又e為ac的中點，所以e為a1c1的中點，又f為bd的中點，所以efa1b，因為a1b平面，ef平面，所以ef名師點評第三個輔助平面往往要根據需要作出，或觀察出，這是面面平行性質使用的需要總之線線平行的判定，不但需要平面幾何的知識作基礎，更需要解決問題和處理問題的方法，這需要在學習中善于思考、善于總結和積累，由量變到質變，當積累達到一定的程度，就會升華1(2019徐州、淮安

10、、宿遷、連云港四市模擬)已知圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，則該圓錐的體積為_解析 由題意得圓錐的底面半徑、高分別為r1，h，故該圓錐的體積為v12答案 2(2019江蘇省高考命題研究專家原創卷(五)九章算術第五章商功記載：今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？此處圓堡瑽即圓柱體，其意思是：有一個圓柱體的底面周長是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少？若的值取3，估算該圓堡瑽的體積為_立方尺(注：一丈等于十尺)解析 設該圓柱體底面圓的半徑為r尺，則由題意得2r48，所以r8，又圓柱體的高為11尺，故該圓堡瑽的體積vr2h2 112立方尺答案 2 1123(2019蘇北四市高三模擬)

11、已知矩形abcd的邊ab4，bc3，若沿對角線ac折疊，使平面dac平面bac，則三棱錐dabc的體積為_解析 在平面dac內過點d作deac，因為平面dac平面bac，由面面垂直的性質定理可得de平面bac又de，所以三棱錐dabc的體積為43答案 4(2019南京模擬)設平面與平面相交于直線m，直線b在平面內，直線c在平面內，且cm，則“cb”是“”的_條件解析 若，又m，c，cm可得c，因為b，所以cb反過來cb不能得到(如bm時，由cm可得cb，但不能判斷，的位置關系)答案 必要不充分5如圖，正方體abcd a1b1c1d1中，ab2，點e為ad的中點，點f在cd上，若ef平面ab1c

12、，則線段ef的長度等于_解析 因為ef平面ab1c，ef平面abcd，平面abcd平面ab1cac，所以efac，又因為e是ad的中點，所以f是cd的中點，即ef是acd的中位線，所以efac2答案 6(2019揚州模擬)設l，m是兩條不同的直線，是一個平面，有下列三個命題：若l，m，則lm；若l，m，則lm；若l，m，則lm則其中正確命題的序號是_解析 根據線面垂直的性質定理可知正確答案 7(2019南通高三模擬)已知正三棱柱的各條棱長均為a，圓柱的底面直徑和高均為b若它們的體積相等，則a3b3的值為_解析 由題意可得a2a()2b，即a3b3，則答案 8(2019江蘇省高考命題研究專家原創

13、卷(三)如圖，若三棱錐a1bcb1的體積為3，則三棱柱abca1b1c1的體積為_解析 設三棱柱的底面面積為s，高為h，則va1abcsabchshvabca1b1c1，同理vca1b1c1vabca1b1c1，所以va1bcb1vabca1b1c1又va1bcb13，所以三棱柱abca1b1c1的體積為9答案 99(2019南通模擬)如圖是一幾何體的平面展開圖，其中abcd為正方形，e，f分別為pa，pd的中點在此幾何體中，給出下面四個結論：直線be與cf異面；直線be與af異面；直線ef平面pbc；平面bce平面pad其中一定正確的有_個解析 如圖，易得efad，adbc，所以efbc，即

14、b，e，f，c四點共面，則錯誤，正確，正確，不一定正確答案 210(2019江蘇高考專家原創卷)已知正三棱錐pabc的體積為，底面邊長為2，d為側棱pa的中點，則四面體dabc的表面積為_解析 設底面正三角形abc的中心為o，連結oa，op，又底面邊長為2，可得oa，由vpabcsabcpo，即po22，得po，所以pa2sabc，sdabsdac，sdbc，所以四面體dabc的表面積為2答案 211(2019江蘇省高考命題研究專家原創卷(二)已知三棱錐pabc中，pa，pc2，ac1，平面pab平面abc，d是pa的中點，e是pc的中點(1)求證：de平面abc；(2)求證：平面bde平面p

15、ab證明 (1)因為d是pa的中點，e是pc的中點，所以deac又de平面abc，ac平面abc，所以de平面abc(2)因為pa，pc2，ac1，所以pa2ac2pc2，所以三角形pac是直角三角形，acpa又deac，所以depa過p作phab于h因為平面pab平面abc，平面pab平面abcab，ph平面pab，所以phac又deac，所以deph又paphp，pa，ph平面pab，所以de平面pab又de平面bde，所以平面bde平面pab12(2019南京檢測)如圖，在正三棱柱abca1b1c1中，e，f分別為bb1，ac的中點(1)求證：bf平面a1ec；(2)求證：平面a1ec平

16、面acc1a1證明 (1)連結ac1交a1c于點o，連結oe，of，在正三棱柱abca1b1c1中，四邊形acc1a1為平行四邊形，所以oaoc1又因為f為ac中點，所以ofcc1且ofcc1因為e為bb1中點，所以becc1且becc1所以beof且beof，所以四邊形beof是平行四邊形，所以bfoe又bf平面a1ec，oe平面a1ec，所以bf平面a1ec(2)由(1)知bfoe，因為abcb，f為ac中點，所以bfac，所以oeac又因為aa1底面abc，而bf底面abc，所以aa1bf由bfoe，得oeaa1，而aa1，ac平面acc1a1，且aa1aca，所以oe平面acc1a1因

17、為oe平面a1ec，所以平面a1ec平面acc1a113(2019江蘇高考原創卷)如圖，已知ab平面acd，deab，acd是正三角形，ad4，de2ab3，且f是cd的中點(1)求證：af平面bce；(2)在線段ce上是否存在點h，使dh平面bce？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解 (1)證明：取ce的中點p，連結fp，bp，因為f為cd的中點，所以fpde，且fpde又abde，且abde，所以abfp，且abfp，所以四邊形abpf為平行四邊形，所以afbp因為af平面bce，bp平面bce，所以af平面bce(2)在線段ce上存在點h，使dh平面bce理由如下：在cde中，過點

18、d作dhce，交ce于點h，因為acd為正三角形，所以afcd因為ab平面acd，deab，所以de平面acd，又cd、af平面acd，所以deaf，decd又cdded，所以af平面dce又bpaf，所以bp平面dce因為dh平面cde，所以dhbp又bpcep，所以dh平面bce在rtcde中，cd4，de3，dhce，所以ch，he，14如圖所示，在直三棱柱abca1b1c1中，abbb1，ac1平面a1bd，d為ac的中點(1)求證：b1c1平面abb1a1；(2)在cc1上是否存在一點e，使得ba1e45，若存在，試確定e的位置，并判斷平面a1bd與平面bde是否垂直？若不存在，請說明理由解 (1)證明：因為abb1b，所以四邊形abb1a1為正方形，所以a1bab1，又因為ac1平面a1bd，所以ac1a1b，所以a1b平面ab1c1，所以