1、運動路徑一填空題（共6小題）1（2010南京）如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，點E從點A出發，沿AB運動到點B停止，連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連接EG、FG（1）設AE=x時，EGF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）P是MG的中點，請直接寫出點P的運動路線的長考點：正方形的性質；根據實際問題列二次函數關系式；全等三角形的判定與性質；相似三角形的判定與性質菁優網版權所有專題：壓軸題分析：（1）E、A重合時，三角形EFG的底和高都等于正方形的邊長，由此可得到其面積；E、A不重合時；易證得AEMFDM，則EM=

2、FM，由勾股定理易求得EM的長，即可得出EF的長；下面求MG的長，過M作MNBC于N，則AB=MN=2AM，由于AME和NMG同為EMN的余角，由此可證得AEMNGM，根據相似三角形得到的關于AM、MN、EM、MG的比例關系式，即可求得MG的表達式，進而可由三角形的面積公式求出y、x的函數關系式；（2）可分別作出E、A重合和E、B重合時P點的位置（即P為A與E重合時得到的對應點，P為E與B重合時的對應點），此時可發現PP正好是EGG的中位線，則P點運動的距離為GG的一半；RtBMG中，MGBG，易證得MBG=GMG，根據MBG的正切值即可得到GG、GM（即正方形的邊長）的比例關系，由此得解解答

3、：解：（1）當點E與點A重合時，x=0，y=22=2當點E與點A不重合時，0x2在正方形ABCD中，A=ADC=90MDF=90，A=MDF在AME和DMF中，推薦精選AMEDMF（ASA）ME=MF在RtAME中，AE=x，AM=1，ME=EF=2ME=2過M作MNBC，垂足為N（如圖）則MNG=90，AMN=90，MN=AB=AD=2AMAME+EMN=90EMG=90GMN+EMN=90AME=GMNRtAMERtNMG=，即=MG=2ME=2y=EFMG=22=2x2+2y=2x2+2，其中0x2；（2）如圖，PP即為P點運動的距離；在RtBMG中，MGBG；MBG=GMG=90BMG

4、；tanMBG=2，tanGMG=tanMBG=2；GG=2MG=4；MGG中，P、P分別是MG、MG的中點，PP是MGG的中位線；PP=GG=2；即：點P運動路線的長為2推薦精選點評：此題考查了正方形的性質，等腰三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性質以及二次函數等知識；綜合性強，難度較大2（2012福州）如圖1，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PDBC，交AB于點D，連接PQ分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間

5、為t秒（t0）（1）直接用含t的代數式分別表示：QB=82t，PD=t（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由并探究如何改變Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經過的路徑長考點：相似三角形的判定與性質；一次函數綜合題；勾股定理；菱形的判定與性質菁優網版權所有推薦精選專題：代數幾何綜合題；壓軸題分析：（1）根據題意得：CQ=2t，PA=t，由RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，PDBC，即可得tanA=，則可求得QB與PD的值；（2）易得APDACB，即可求得

6、AD與BD的長，由BQDP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時DP與BD的長，由DPBD，可判定PDBQ不能為菱形；然后設點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；（3）設E是AC的中點，連接ME當t=4時，點Q與點B重合，運動停止設此時PQ的中點為F，連接EF，由PMNPQC利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案解答：解：（1）根據題意得：CQ=2t，PA=t，QB=82t，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，PDBC，APD=90，tanA=，PD=t故答案為：（1）82t，t（2）不存在在Rt

7、ABC中，C=90，AC=6，BC=8，AB=10PDBC，APDACB，即，AD=t，BD=ABAD=10t，BQDP，當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即82t=，解得：t=當t=時，PD=，BD=10=6，DPBD，PDBQ不能為菱形設點Q的速度為每秒v個單位長度，推薦精選則BQ=8vt，PD=t，BD=10t，要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，當PD=BD時，即t=10t，解得：t=當PD=BQ，t=時，即=8，解得：v=當點Q的速度為每秒個單位長度時，經過秒，四邊形PDBQ是菱形（3）如圖2，以C為原點，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系依題意，可知0t

8、4，當t=0時，點M1的坐標為（3，0），當t=4時點M2的坐標為（1，4）設直線M1M2的解析式為y=kx+b，解得，直線M1M2的解析式為y=2x+6點Q（0，2t），P（6t，0）在運動過程中，線段PQ中點M3的坐標（，t）把x=代入y=2x+6得y=2+6=t，點M3在直線M1M2上過點M2作M2Nx軸于點N，則M2N=4，M1N=2M1M2=2線段PQ中點M所經過的路徑長為2單位長度點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質以及一次函數的應用此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用3（2010桂林）如圖：已知AB=10，點C、

9、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作等邊AEP和等邊PFB，連接EF，設EF的中點為G；當點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是3推薦精選考點：梯形中位線定理；等邊三角形的性質菁優網版權所有專題：動點型分析：分別延長AE、BF交于點H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點，則G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MN再求出CD的長，運用中位線的性質求出MN的長度即可解答：解：如圖，分別延長AE、BF交于點HA=FPB=60，AHPF，B=EPA=60，BHPE，四邊形EPFH為平行四邊形，EF與HP互相平分G為EF的中點，G

10、正好為PH中點，即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，所以G的運行軌跡為三角形HCD的中位線MNCD=1022=6，MN=3，即G的移動路徑長為3點評：本題考查了等腰三角形及中位線的性質，以及動點問題，是中考的熱點4（2013桂林）如圖，已知線段AB=10，AC=BD=2，點P是CD上一動點，分別以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，設正方形對角線的交點分別為O1、O2，當點P從點C運動到點D時，線段O1O2中點G的運動路徑的長是3推薦精選考點：正方形的性質；軌跡菁優網版權所有專題：壓軸題分析：根據正方形的性質以及勾股定理即可得出正方形對角線的長，進而得出線段O1O2中點G的

11、運動路徑的長解答：解：如圖所示：當P移動到C點以及D點時，得出G點移動路線是直線，利用正方形的性質即線段O1O2中點G的運動路徑的長就是O2O的長，線段AB=10，AC=BD=2，當P與C重合時，以AP、PB為邊向上、向下作正方形APEF和PHKB，AP=2，BP=8，則O1P=，O2P=4，O2P=O2B=4，當P與D重合，則PB=2，則AP=8，OP=4，OP=，HO=BO=，O2O=4=3故答案為：3點評：此題主要考查了正方形的性質以及勾股定理等知識，根據已知得出G點移動的路線是解題關鍵推薦精選5（2014義烏市）等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F，連接AF，BE

12、相交于點P（1）若AE=CF；求證：AF=BE，并求APB的度數；若AE=2，試求APAF的值；（2）若AF=BE，當點E從點A運動到點C時，試求點P經過的路徑長考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質菁優網版權所有專題：證明題；壓軸題；動點型分析：（1）證明ABECAF，借用外角即可以得到答案；利用勾股定理求得AF的長度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案（2）當點F靠近點C的時候點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當E為AC的中點的時候，點P經過弧AB的中點，此時ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應的圓心角的度數，求得答案點

13、F靠近點B時，點P的路徑就是過點B向AC做的垂線段的長度；解答：（1）證明：ABC為等邊三角形，AB=AC，C=CAB=60，又AE=CF，在ABE和CAF中，ABECAF（SAS），AF=BE，ABE=CAF又APE=BPF=ABP+BAP，APE=BAP+CAF=60APB=180APE=120C=APE=60，PAE=CAF，APEACF，即，所以APAF=12 （2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況推薦精選當AE=CF時，點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當E為AC的中點的時候，點P經過弧AB的中點，此時ABP為等腰三角形，且ABP=BAP=30，AOB=120，又AB=

14、6，OA=，點P的路徑是當AE=BF時，點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段的長度；因為等邊三角形ABC的邊長為6，所以點P的路徑為：所以，點P經過的路徑長為或3點評：本題考查了等邊三角形性質的綜合應用以及相似三角形的判定及性質的應用，解答本題的關鍵是注意轉化思想的運用6（2014連云港）某數學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB=8問題思考：如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側作正方形APDC、BPEF（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和的最小值（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點K，

15、當點P運動時，在APK、ADK、DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由問題拓展：（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8若點P從點A出發，沿ABCD的線路，向點D運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經過的路徑的長（4）如圖3，在“問題思考”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BN=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點，請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經過的路徑的長及OM+OB的最小值推薦精選考點：四邊形綜合題菁優網版權所有專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）設AP=x，則PB=8x，根據正方形

16、的面積公式得到這兩個正方形面積之和=x2+（8x）2，配方得到2（x4）2+32，然后根據二次函數的最值問題求解（2）根據PEBF求得PK=，進而求得DK=PDPK=a=，然后根據面積公式即可求得（3）本問涉及點的運動軌跡PQ的中點O所經過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90的圓弧，如答圖3所示；（4）本問涉及點的運動軌跡GH中點O的運動路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，如答圖41所示；然后利用軸對稱的性質，求出OM+OB的最小值，如答圖42所示解答：解：（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和不是定值設AP=x，則PB=8x，根據題意得這兩個正方形面積之和=x2+（8x）2=2x216

17、x+64=2（x4）2+32，所以當x=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32（2）存在兩個面積始終相等的三角形，它們是APK與DFK依題意畫出圖形，如答圖2所示設AP=a，則PB=BF=8aPEBF，即，推薦精選PK=，DK=PDPK=a=，SAPK=PKPA=a=，SDFK=DKEF=（8a）=，SAPK=SDFK（3）當點P從點A出發，沿ABCD的線路，向點D運動時，不妨設點Q在DA邊上，若點P在點A，點Q在點D，此時PQ的中點O即為DA邊的中點；若點Q在DA邊上，且不在點D，則點P在AB上，且不在點A此時在RtAPQ中，O為PQ的中點，所以AO=PQ=4所以點O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90的圓弧上PQ的中點O所經過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90的圓弧，如答圖3所示：所以PQ的中點O所經過的路徑的長為：24=6（4）點O所經過的路徑長為3，OM+OB的最小值為如答圖41，分別過點G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點R、S、T，則四邊形GRTH為梯形點O為中點，推薦精選OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS為定值點O的運動路徑在與AB距離為4的平行線上MN=6，點P在線段MN上運動，且點O為GH中點，點O的運動路