1、第九章第九章主主 要要 內內 容容0( )nnux 求和求和( )s x展開展開( (在收斂域內進行在收斂域內進行) )0( )nnux基本問題基本問題：判別斂散性；：判別斂散性；求冪級數收斂域；求冪級數收斂域；求和函數；求和函數；函數展開成冪級數函數展開成冪級數. .當當 時為數項級數時為數項級數; ;0 xx( )nnnuxa x當當 時為冪級數時為冪級數; ; 為傅立葉級數為傅立葉級數. .( )cossinnnnuxanxbnx為傅氏系數為傅氏系數) )時時, ,(,nna b*當當對于函數項級數對于函數項級數1. 1. 利用部分和數列的極限判別級數的斂散性利用部分和數列的極限判別級數

2、的斂散性2. 2. 正項級數審斂法正項級數審斂法必要條件必要條件lim0nnu不滿足不滿足發發 散散滿足滿足根值審斂法根值審斂法limnnnu1收收 斂斂發發 散散1不定不定比較審斂法比較審斂法用其它方用其它方法判別法判別*積分判別法積分判別法部分和極限部分和極限1比值審斂法比值審斂法1limnnnuu正項級數比較審斂法正項級數比較審斂法設設 與與 是兩個正項級數，且是兩個正項級數，且1nna1nnb1,2,nnabn則：則：若級數若級數 收斂，則級數收斂，則級數 也收斂；也收斂；1nnb1nna若級數若級數 發散，則級數發散，則級數 也發散也發散.1nna1nnb常用來比較的級數：常用來比較

3、的級數： 級數級數11pnnp當當 時收斂，時收斂，1p 當當 時發散時發散.1p （1）例如例如2311211113(2 1);(1);2111(1);(1).2nnnnppnnppnn 收斂收斂發散發散（2）等比級數）等比級數01111,nnqqqq時，收斂于時，發散.例如例如000011( 1)1(1);(1);2233331(1)()1).22nnnnnnnnqqqq收斂收斂發散；發散 （極限形式的比較審斂法極限形式的比較審斂法 設設 與與 是兩個正項級數，且是兩個正項級數，且1nna1nnblim,nnnakb若若0,k 1nna1nnb則級數則級數 與級數與級數 同時收斂，同時發散

4、；同時收斂，同時發散；若若 且級數且級數 收斂，則級數收斂，則級數 收斂；收斂；0,k 1nnb1nna若若 且級數且級數 發散，則級數發散，則級數 發散發散.,k 1nnb1nna3. 3. 任意項級數審斂法任意項級數審斂法leibniz判別法判別法: 若若10,nnuu且且lim0,nnu則交錯級數則交錯級數1( 1)nnnu收斂收斂 ,為收斂級數，為收斂級數，1nnu概念概念: 設設且余項且余項1.nnru1nnu若若收斂收斂 ,1nnu稱稱絕對收斂絕對收斂,1nnu若若發散發散 ,1nnu稱稱條件收斂條件收斂.例例1 判別下列級數的斂散性判別下列級數的斂散性:11(1);nnn n22

5、1( !)(2);2nnn231cos(3);2nnnn1(4)(0,0).nsnaasn解答提示解答提示: (1) lim1,nnn1lim1,1nnn nn據極限形式的比較判別法據極限形式的比較判別法, 原級數發散原級數發散 .因調和級數發散因調和級數發散,利用比值判別法利用比值判別法, 可知原級數發散可知原級數發散.1(4)(0,0):nsnaasn 221( !)(2):2nnn231cos(3):2nnnn用比值法用比值法, 可判斷級數可判斷級數 收斂收斂再由比較法可知原級數收斂再由比較法可知原級數收斂 .1a 1a 利用比值判別法利用比值判別法, 可知原級數可知原級數在在 時發散，

6、時發散， 時時收斂；收斂； 時僅當時僅當 收斂收斂.1a 1s n 12nn11(3)( 1) ln;nnnn例例2 討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性:11(1)( 1);npnn1111sin(2)( 1);nnnn11(1)!(4)( 1).nnnnn提示提示: (1) p 1 時時, 絕對收斂絕對收斂 ;0 p 1 時時, 條件收斂條件收斂 ;p0 時時, 發散發散 .(2) 因各項取絕對值后所得強級數因各項取絕對值后所得強級數 收斂收斂, 原級數絕對收斂原級數絕對收斂 .故故 111nn11(3)( 1) lnnnnn11lnln(1)nnunn

7、因因單調遞減單調遞減, 且且但但11lnnnn1limln(1)lnnnkkklimln(1)nn,所以原級數僅所以原級數僅條件收斂條件收斂 .11lnnkkklimn由由leibniz判別法知級數判別法知級數收斂收斂 ;lim0,nnu11(1)!(4)( 1)nnnnn因1nnuu2(2)!(1)nnn1(1)!nnnn 11,e =故原級數絕對收斂故原級數絕對收斂 .n211111(1)(1)nnnnxr 標準形式冪級數標準形式冪級數: 先求收斂半徑先求收斂半徑 r , 再討論再討論處的斂散性處的斂散性 . 非標準形式冪級數非標準形式冪級數通過換元轉化為標準形式通過換元轉化為標準形式直接

8、用比值法或根值法直接用比值法或根值法二、求冪級數收斂域的方法二、求冪級數收斂域的方法例例4 4 求下列冪級數的收斂域求下列冪級數的收斂域 d. .1 1） 1( 1) 5nnnnxn115limlim5,51nnnnnnanan 11,5r 解解： 收斂區間收斂區間1 1(, ),5 5因為因為11111( 1)55nnnxxnn 時，發散；時，收斂，所以收斂域所以收斂域1 1(, .5 5d 2 2） 1(1)2nnnxn111,lim,2nnnatxa令 2,212,rx 解解： 收斂區間收斂區間(-1,3).因為因為11( 1)113nnnxxnn 時，收斂；時，發散；所以原級數收斂域為

9、所以原級數收斂域為 -1,3).1 1） 221(2 )!( !)nnnxn 解解： 222122( )2(1)!(2 )!limlim/( )(1)!( !)nnnnnnuxnnxxuxnn 222(22)(21)lim4,(1)nnnxxn 1.2r ，原級數收斂原級數收斂. . 12x 時例例5 5 求下列冪級數的收斂半徑求下列冪級數的收斂半徑 r . .2 2） 2103nnnx解解： 22321211( )1limlimlim,33( )33nnnnnnnnnxuxxxxux 時時 213nnnx 收斂收斂 .3.r 3x 求部分和式極限求部分和式極限 初等變換法初等變換法: 分解、

10、套用公式分解、套用公式 映射變換法映射變換法 （在收斂區間內）（在收斂區間內）0nnna x逐項求導或求積分逐項求導或求積分( )s x難難對和式積分或求導對和式積分或求導0nnna x( )sx求和求和直接求和直接求和: 直接變換直接變換,間接求和間接求和: 轉化成冪級數求和轉化成冪級數求和, 再代值再代值求部分和等求部分和等 數項級數求和數項級數求和三、冪級數和函數的求法三、冪級數和函數的求法 熟悉常用函數的冪級展開式：熟悉常用函數的冪級展開式： 1 1、 21()2!nxxxexxn 2 2、 3521sin( 1)(,)3!5!(21)!nnxxxxxn 3 3、 242cos1( 1

11、)()2!4!(2 )!nnxxxxxn 4 4、 231ln(1)( 1)( 11)231nnxxxxxxn 5 5、等比級數：、等比級數： 211( 11)1nxxxxx 2462211( 11)1nxxxxxx 2111( 11)1nxxxxx （）21( 11)1nnnxxxxxxx 注意：注意：例例6 求冪級數求冪級數 的和函數的和函數.2101( 1)(21) !nnnnxn解法解法1： 先求出收斂區間先求出收斂區間( ),s x 則則210001( )d( 1)d(21)!xxnnnns xxxxn220( 1)(21)!nnnxn12210( 1)2(21)!nnnxxnsin

12、 ,2xx(,). 設和函數為設和函數為1( )sincos ,22xs xxx(,).x 解法解法2： 易求出級數的收斂域為易求出級數的收斂域為 ，(,) 22011( 1)()2(21)!nnnxn2101( 1)2(21)!nnnxxn1( sin )2xx 1sincos ,22xxx(,).x 原式原式2( )2xs xx2222.(2)xx2(1)1212nnnnx 例例7 求冪級數求冪級數 的和函數的和函數.解解: 先求出收斂區間先求出收斂區間(2, 2),設設和函數為和函數為( ).s x22210011211( )dd22xxnnnnnnns xxxxx22221112(),

13、2212nnxxxxxxxx0，2/ 21x 顯然顯然 x = 0 時上式也正確時上式也正確,(2 ,2).x 故和函數為故和函數為而在而在2x 2222( ),(2)xs xx級數發散級數發散,求求例例8 8 0(1)nnnx 的和函數的和函數.解解： 2lim1,1,1nnrn 收斂域為收斂域為（-1，1）. . 設設 0( )(1),nns xnx000( )(1)dxxnns x dxnxx10(1),1nnxxxx21( )()(1).1(1)xs xxxx01,(1)nxn 發散發散， 當當 ， 1x 0(1)( 1)nnn 發散發散. . 當當 001( 1)( 1)2(2 )!

14、(21)!nnnnnn解解: 原式 =0( 1)(21)!nnn(21)1n 121cos12sin1.01( 1)(21)!nnnn 的和的和 . .* *例例9 9 （直接法（直接法) )求級數求級數（參見例（參見例6 ，也可用間接法解本題，也可用間接法解本題.）（間接法）求數項級數和（間接法）求數項級數和：00111(),( ),nnnnnnnnaa xs xs xa x 化設法求出和函數將其轉化成冪級數求和函數問題將其轉化成冪級數求和函數問題. . 1原式原式 2112( ),( )(1).2(1)nnxss xn nxx 3推廣推廣： ， . . 111( )33nnn ns（）11

15、511( )5nnn ns （）例例1010 求求 的和的和. . 1(1)2nnn n 2求求 ( ):s x 1lim1nnnaa1r ，收斂區間為收斂區間為（-1，1）. . 1(1)nn代入代入， 發散發散， 1x 1( 1) (1)nnn 發散發散. . 收斂域為收斂域為（-1，1） .111( )(1)()nnnns xnnxxx 例例1111 求求 的和的和. . 1(1)2nnn n 21212()(),1(1)nnxxxxxxx1(1)1( )8.22nnn ns11( )(1)( ).2nns xn nxs要求 代入求和代入求和: :解解：設：設 間接展開法間接展開法 利用

16、已知展式的函數及冪級數性質利用已知展式的函數及冪級數性質 直接展開法直接展開法 利用泰勒公式利用泰勒公式四、函數的冪級數展開法四、函數的冪級數展開法熟悉常用函數的冪級展開式：熟悉常用函數的冪級展開式： 1 1、 21()2!nxxxexxn 2 2、 3521sin( 1)()3!5!(21)!nnxxxxxxn 3 3、 242cos1( 1)()2!4!(2 )!nnxxxxxn 4 4、 231ln(1)( 1)( 11)231nnxxxxxxn 5 5、等比級數：、等比級數： 211( 11)1nxxxxx 2462211( 1)( 11)1nnxxxxxx 例例1212 1） 220()!nxnxen20().!nnxxn 2） 00()( 1)().!nnnxnnxxexnn 3） 2011()()(1)1nnxxx100()( 11).nnnnxnxx 4） ( )arctan ,(0)0,f xxf 2201( )( 1)1nnnfxxx(1),x 2000arctan( )(0)( )d( 1)dxxnnnxf xffxxxx212000( 1)( )( 1)d21nnnxnnnxf xxxn(1).x 例例13