1、一、重點與難點一、重點與難點二、主要內容二、主要內容三、典型例題三、典型例題第一章概率論的基本概念第一章概率論的基本概念習習 題題 課課一、重點與難點一、重點與難點1.重點重點隨機事件的概念隨機事件的概念古典概型的概率計算方法古典概型的概率計算方法概率的加法公式概率的加法公式條件概率和乘法公式的應用條件概率和乘法公式的應用全概率公式和貝葉斯公式的應用全概率公式和貝葉斯公式的應用2.難點難點古典概型的概率計算全概率公式的應用古典概型的概率計算全概率公式的應用二、主要內容二、主要內容隨機隨機現象現象隨機隨機試驗試驗事件的事件的獨立性獨立性隨隨 機機 事事 件件基基本本事事件件必必然然事事件件對對立

2、立事事件件概概 率率古典古典概型概型幾何幾何概率概率乘法乘法定理定理事件的關系和運算事件的關系和運算全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式性性質質定定義義條件條件概率概率不可能事件不可能事件復復合合事事件件 在一定條件下可能出現也可能不出現在一定條件下可能出現也可能不出現的現象的現象稱為稱為隨機現象隨機現象.隨機現象隨機現象 可以在相同的條件下重復地進行可以在相同的條件下重復地進行; 每次試驗的可能結果不止一個每次試驗的可能結果不止一個,并且能事并且能事先明確試驗的所有可能結果先明確試驗的所有可能結果; 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現會出現.

3、在概率論中在概率論中，把具有以下三個特征的試驗稱把具有以下三個特征的試驗稱為為隨機試驗隨機試驗.隨機試驗隨機試驗o1o2o3 樣本空間的元素樣本空間的元素 ,即試驗即試驗e 的每一個結果的每一個結果, 稱稱為為樣本點樣本點. 隨機試驗隨機試驗e的所有可能結果組成的集合稱的所有可能結果組成的集合稱為為樣本空間樣本空間,記為記為 s. 隨機試驗隨機試驗 e 的樣本空間的樣本空間 s 的子集稱為的子集稱為 e 的的隨機事件隨機事件, 簡稱簡稱事件事件.隨機事件隨機事件 o1o2o3不可能事件不可能事件 隨機試驗中不可能出現的結果隨機試驗中不可能出現的結果.必然事件的對立面是不可能事件必然事件的對立面

4、是不可能事件,不可能事件不可能事件的對立面是必然事件的對立面是必然事件,它們互稱為它們互稱為對立事件對立事件.基本事件基本事件 由一個樣本點組成的單點集由一個樣本點組成的單點集.必然事件必然事件 隨機試驗中必然會出現的結果隨機試驗中必然會出現的結果.重要的隨機事件重要的隨機事件事件的關系和運算事件的關系和運算.), 2 , 1(,的子集的子集是是而而的樣本空間為的樣本空間為設試驗設試驗skabasek (1) 包含關系包含關系若事件若事件 a 出現，必然導致事件出現，必然導致事件 b 出現，出現，則稱事件則稱事件 b 包含事件包含事件 a，記作，記作.baab 或或圖示圖示 b 包含包含 a

5、.sba(2) a等于等于b(3) 事件事件a與與b的并的并(和事件和事件).和和事事件件的的事事件件與與稱稱為為事事件件或或事事件件babxaxxba 圖示事件圖示事件 a與與 b 的并的并. . sba 若事件若事件 a 包含事件包含事件 b , 而且事件而且事件 b 包含事件包含事件 a, 則稱事件則稱事件 a 與事件與事件 b 相等相等,記作記作 a=b.(4) 事件事件a與與b的交的交(積事件積事件).abba或或積積事事件件也也可可記記作作 .積積事事件件的的與與事事件件稱稱為為事事件件且且事事件件babxaxxba 圖示事件圖示事件 a 與與 b b 的積的積. .sabab(5

6、) 事件事件a與與b互不相容互不相容 (互斥互斥)若事件若事件 a 的出現必然導致事件的出現必然導致事件 b 不出現不出現 , b 出現也必然導致出現也必然導致 a 不出現不出現,則稱事件則稱事件 a 與與 b互不相互不相容容,即即. abba圖示圖示 a 與與 b 互不相容（互斥）互不相容（互斥） .sab (6) 事件事件a與與b的差的差由事件由事件a出現而事件出現而事件b不出現所組成的事件稱不出現所組成的事件稱為事件為事件a與與b的差的差.記作記作 a- - b.圖示圖示 a 與與 b 的差的差.sabsabab ab ba ba 設設a表示表示“事件事件a出現出現”, 則則“事件事件a

7、不出現不出現”稱為事件稱為事件a的的對立事件或逆事件對立事件或逆事件.記作記作.a圖示圖示 a 與與 b 的對立的對立 .sba 若若 a 與與 b 互逆互逆,則有則有. absba且且a(7) 事件事件a的對立事件的對立事件說明說明對立事件與互斥事件的區別對立事件與互斥事件的區別ssababa a，b 對立對立 a，b 互斥互斥. absba且且 ab互斥互斥對立對立事件運算的性質事件運算的性質.,1obaababba 交交換換律律).()(),()(2obcacabcbacba 結結合合律律).)()()()(,)()()(3ocbcacbcacbabcaccbcacba 分配律分配律.

8、,:4obabababa 摩摩根根律律德德則則有有為為事事件件設設,cba).(,.,afannanannnaa并記成并記成發生的頻率發生的頻率稱為事件稱為事件比值比值頻數頻數發生的發生的稱為事件稱為事件發生的次數發生的次數事件事件試驗中試驗中次次在這在這次試驗次試驗進行了進行了在相同的條件下在相同的條件下(1)頻率的定義頻率的定義 頻率頻率設設 a 是隨機試驗是隨機試驗 e 的任一事件的任一事件, 則則; 1)(010 afn; 0)(, 1)(20 fsf).()()()(,32121210knnnkkafafafaaafaaa 則則是兩兩互不相容的事件是兩兩互不相容的事件若若(2)頻率的

9、性質頻率的性質 :)(, )(,.,滿足下列條件滿足下列條件如果集合函數如果集合函數的概率的概率稱為事件稱為事件記為記為賦予一個實數賦予一個實數每一事件每一事件的的對于對于是它的樣本空間是它的樣本空間是隨機試驗是隨機試驗設設 paapaese概率的定義概率的定義; 0)(,:10 apa 有有對對于于每每一一個個事事件件非非負負性性; 1)(,:20 sps 有有對于必然事件對于必然事件規范性規范性則則有有即即對對于于事事件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的設設, 2 , 1,:3210 jiaajiaaji可可列列可可加加性性 )()()(2121apapaap概率的可列可加性概率的可列可加

10、性. 0)(10 p概率的有限可加性概率的有限可加性則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件 ,2210naaa若若).()()()(2121nnapapapaaap ).()()(),()(,30apbpabpbpapbaba 則則且且為為兩兩個個事事件件設設. 1)(,40 apa對于任一事件對于任一事件概率的性質概率的性質).(1)(,50apa paa 則則的對立事件的對立事件是是設設).()()()(,)(60abpbpapbapba 有有對于任意兩事件對于任意兩事件加法公式加法公式n 個事件和的情況個事件和的情況)(21naaap njijiniiaapap11)()().

11、()1()(2111nnnkjikjiaaapaaap .)2(;)1(概概型型典典驗驗稱稱為為等等可可能能概概型型或或古古具具有有以以上上兩兩個個特特點點的的試試生生的的可可能能性性相相同同試試驗驗中中每每個個基基本本事事件件發發有有限限個個元元素素試試驗驗的的樣樣本本空空間間只只包包含含定義定義等可能概型等可能概型 (古典概型古典概型)設試驗設試驗 e 的樣本空間由的樣本空間由n 個樣本點構成個樣本點構成, a為為e 的任意一個事件的任意一個事件,且包含且包含 m 個樣本點個樣本點, 則事則事件件 a 出現的概率記為出現的概率記為:古典概型中事件概率的計算公式古典概型中事件概率的計算公式.

12、)(樣樣本本點點總總數數所所包包含含樣樣本本點點的的個個數數anmap 稱此為概率的古典定義稱此為概率的古典定義.)(ssapa 幾何概型幾何概型.).,(幾幾何何概概型型定定的的概概率率稱稱為為量量來來合合理理規規這這樣樣借借助助于于幾幾何何上上的的度度區區域域的的度度量量的的子子是是構構成成事事件件是是樣樣本本空空間間的的度度量量其其中中assa當隨機試驗的樣本空間是某個區域當隨機試驗的樣本空間是某個區域,并且任意并且任意一點落在度量一點落在度量 (長度長度, 面積面積, 體積體積) 相同的子區域是相同的子區域是等可能的等可能的,則事件則事件a的概率可定義為的概率可定義為條件概率條件概率,

13、)()()(bpabpbap 同理可得同理可得為在事件為在事件 b 發生的條件下事件發生的條件下事件 a 發生的條件概率發生的條件概率.)()()(, 0)(,條件概率條件概率發生的發生的發生的條件下事件發生的條件下事件為在事件為在事件稱稱且且是兩個事件是兩個事件設設baapabpabpapba (1) 條件概率的定義條件概率的定義);()()()(32121210baapbapbapbaap );(1)(40bapbap ; 0)(, 1)(:20 bpbsp規規范范性性則有則有是兩兩不相容的事件是兩兩不相容的事件設設可加可列性可加可列性,:5210bb. )(11 iiiiabpabp;

14、0)(:10 abp非非負負性性(2) 條件概率的性質條件概率的性質則則有有且且, 0)(121 naaap, 2,21 nnaaan個個事事件件為為設設推推廣廣則有則有且且為事件為事件設設, 0)(, abpcba).()()()(apabpabcpabcp ).()()()()(112221112121apaapaaaapaaaapaaapnnnnn ).()()(, 0)(apabpabpap 則則有有設設乘法定理乘法定理.,.2;, 2 , 1,1,21210021的的一一個個劃劃分分為為樣樣本本空空間間則則稱稱若若的的一一組組事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為試試驗驗設設定定義義s

15、bbbsbbbnjibbebbbesnnjin 樣本空間的劃分樣本空間的劃分全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式1b2b3b1 nbnb.)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121稱稱為為全全概概率率公公式式則則且且的的一一個個劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設設試試驗驗定定理理nninbpbapbpbapbpbapapnibpsbbbease 全概率公式全概率公式a1b2b3b1 nbnb說明說明 全概率公式的主要用處在于它可以將全概率公式的主要用處在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題分解為若干個簡單一個復雜事件的概率計算問題分解為若干個簡

16、單事件的概率計算問題事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最后應用概率的可加性求出最終結果最終結果.a1b2b3bnb1 nb貝葉斯公式貝葉斯公式稱此為稱此為貝葉斯公式貝葉斯公式., 2 , 1,)()()()()(), 2 , 1(0)(, 0)(,.121nibpbapbpbapabpnibpapsbbbeasenjjjiiiin 則則且且的的一一個個劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設設試試驗驗定定理理.,).()()(,獨立獨立簡稱簡稱相互獨立相互獨立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是兩事件是兩事件設設bababpapabpba 事件事件 a 與與 b

17、相互獨立是指事件相互獨立是指事件 a 的概率與事的概率與事件件 b 是否出現無關是否出現無關.說明說明 事件的相互獨立性事件的相互獨立性(1)兩事件相互獨立兩事件相互獨立(2)三事件兩兩相互獨立三事件兩兩相互獨立.,),()()(),()()(),()()(,兩兩兩兩相相互互獨獨立立則則稱稱事事件件如如果果滿滿足足等等式式是是三三個個事事件件設設cbacpapacpcpbpbcpbpapabpcba 注意注意三個事件相互獨立三個事件相互獨立三個事件兩兩相互獨立三個事件兩兩相互獨立(3)三事件相互獨立三事件相互獨立.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互獨立相互獨立

18、則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設設cbacpbpapabcpcpapacpcpbpbcpbpapabpcba ),()()()(2121kkiiiiiiapapapaaap .,21為為相相互互獨獨立立的的事事件件則則稱稱naaan 個事件相互獨立個事件相互獨立n個事件兩兩相互獨立個事件兩兩相互獨立有有等等式式具具任任意意意意如如果果對對于于任任個個事事件件是是設設推推廣廣,1, )1(,2121niiinkknaaakn .).()(,. 0)(,反反之之亦亦然然則則立立相相互互獨獨若若且且是是兩兩事事件件設設bpabpbaapba 重要定理及結論重要定理及結論

19、定理一定理一.,也相互獨立也相互獨立與與與與與與事件事件則下列各對則下列各對是相互獨立的兩個事件是相互獨立的兩個事件若若babababa定理二定理二兩個結論兩個結論.,)2(,)2(2121個個事事件件仍仍相相互互獨獨立立所所得得的的事事件件們們的的對對立立中中任任意意多多個個事事件件換換成成它它則則將將相相互互獨獨立立個個事事件件若若naaanaaannn .)2(,)2(,)1(21個事件也是相互獨立個事件也是相互獨立其中任意其中任意則則相互獨立相互獨立若事件若事件nkknaaan );()1(1b品品只只有有第第一一個個零零件件是是合合格格);()2(2b件是合格品件是合格品三個零件中只

20、有一個零三個零件中只有一個零);(,)3(3b個個次次品品一一但但后后兩兩個個零零件件中中至至少少有有第第一一個個是是合合格格品品三、典型例題三、典型例題:)3 , 2 , 1(,)3 , 2 , 1(,3表示下列事件表示下列事件試用試用個零件是合格品個零件是合格品生產的第生產的第表示他表示他以事件以事件個零件個零件一個工人生產了一個工人生產了 iaiiaii例例1解解;)1(3211aaab ;)2(3213213212aaaaaaaaab );()3(3213aaab ,)4(3214aaab ;3214aaab 或或,)5(3215aaab .3215aaab 或或說明說明 一個事件往往

21、有多個等價的表達方式一個事件往往有多個等價的表達方式.).()5(5b三三個個零零件件都都是是次次品品);()4(4b個合格品個合格品三個零件中最多只有兩三個零件中最多只有兩.:.,abbcacbacabccba 證證明明滿滿足足設設隨隨機機事事件件證明證明,bac 由于由于,bac 故故bbabc)( 從從而而,ba babcbca ,bc ,ababcacb )(bbacac 故故bacacb .abbc 例例2., 6 . 0, 7 . 0率率少少有有一一次次命命中中目目標標的的概概試試求求兩兩次次獨獨立立射射擊擊至至射射擊擊命命中中目目標標的的概概率率為為這這時時內內的的概概率率為為假

22、假設設目目標標出出現現在在射射程程之之思路思路 引進事件引進事件 ;目標進入射程目標進入射程 a. 2 , 1, iibi次射擊命中目標次射擊命中目標第第.,21用全概率公式來求解用全概率公式來求解可利可利因此因此命中目標的命中目標的不在射程之內是不可能不在射程之內是不可能由于目標由于目標的概率的概率故所求概率為事件故所求概率為事件bbb 例例3解解由題意知由題意知)2, 1(, 6 . 0)(, 7 . 0)( iabpapi, 0)(表示目標不在射程之內表示目標不在射程之內因為因為由于由于abap 有有因此由全概率公式因此由全概率公式,)()()()(abpbapabpbp )()(abp

23、ap ),()(21abbpap ,21相互獨立相互獨立與與由題意知由題意知bb 由加法公式得由加法公式得)(21abbp)()()(2121abbpabpabp .36. 06 . 06 . 0 )()()(2121abpabpabbp 從從而而36. 06 . 06 . 0 .84. 0 )()()(21abbpapbp 故故84. 07 . 0 .588. 0 .,573,251510兩份兩份從中先后抽出從中先后抽出名表名表隨機地取一個地區的報隨機地取一個地區的報份份份和份和份份為為其中女生的報名表分別其中女生的報名表分別生的報名表生的報名表名考名考名和名和名名設有來自三個地區的各設有來

24、自三個地區的各、;)1(p表的概率表的概率求先抽到的一份是女生求先抽到的一份是女生.,)2(p的一份是女生表的概率的一份是女生表的概率求先抽到求先抽到男生表男生表已知后抽到的一份表是已知后抽到的一份表是思路思路 由于抽到的表與來自哪個地區有關由于抽到的表與來自哪個地區有關,故此故此題要用全概率公式來討論題要用全概率公式來討論.例例4解解;3, 2, 1, ihi抽抽到到地地區區考考生生的的報報名名表表記記, 2, 1, jjaj次抽到報名表是男生的次抽到報名表是男生的第第;107)();3 , 2 , 1(31)(11 hapihpi則則有有.2520)(;158)(3121 haphap由全概率公式知由全