1、1990年考研數學二真題及答案一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 曲線上對應于點點處的法線方程是.(2) 設,則.(3) .(4) 下列兩個積分的大小關系是： . (5) 設函數,則函數.二、選擇題(每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.)(1) 已知,其中是常數,則 ( )(A) (B) (C) (D) (2) 設函數在上連續,則等于 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 已知函數具有任意階導數,且,則當為大于2的正整數時,的階導數是 ( )(A) (B) (C) (D)

2、(4) 設是連續函數,且,則等于 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 設,其中在處可導,則是的 ( )(A) 連續點 (B) 第一類間斷點(C) 第二類間斷點 (D) 連續點或間斷點不能由此確定三、(每小題5分,滿分25分.)(1) 已知,求常數.(2) 求由方程所確定的函數的微分.(3) 求曲線的拐點.(4) 計算.(5) 求微分方程滿足條件的特解.四、(本題滿分9分)在橢圓的第一象限部分上求一點,使該點處的切線、橢圓及兩坐標軸所圍圖形面積為最小(其中).五、(本題滿分9分)證明：當,有不等式.六、(本題滿分9分)設,其中,求.七、(本題滿分9分)過點作拋物線的切線,該切線與上述拋

3、物線及軸圍成一平面圖形,求此平面圖形繞軸旋轉一周所圍成旋轉體的體積.八、(本題滿分9分)求微分方程之通解,其中為實數.答案一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(2)【答案】(3)【答案】(4)【答案】(5)【答案】二、選擇題(每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】C(2)【答案】B(3)【答案】A(4)【答案】A(5)【答案】B三、(每小題5分,滿分25分.)(1)此題考查重要極限：,得.或由 ,同理可得.(2)方程兩邊求微分,得,整理得 .(3)對分式求導數,有公式,所以,令得,在此變號,即是時,時,故拐點為.本題利用第一個判別定理就足夠判定所求點是否是拐點了

4、.(4)由有, 為任意常數.注：分部積分法的關鍵是要選好誰先進入積分號的問題,如果選擇不當可能引起更繁雜的計算,最后甚至算不出結果來.在做題的時候應該好好總結,積累經驗.(5)所給方程為一階線性非齊次方程,其標準形式為.由于 ,兩邊乘以得.積分得 ,通解為 .代入初始條件可得,所求特解為.四、(本題滿分9分)對橢圓方程進行微分,有.過曲線上已知點的切線方程為,當存在時,.所以點處的切線方程為,化簡得到.分別令與,得切線在上的截距分別為；又由橢圓的面積計算公式,其中為半長軸和半短軸,故所求面積為.為常數,欲使得的最小,則應使得最大；從而問題化為求(由橢圓方程所確定)當時的最大值點. 令,得,再對

5、兩邊求導得,聯合可得(唯一駐點),即在此點取得最大,取得最小值.由于,所以在上存在最小值,必為最小點,所求點為.五、(本題滿分9分)證明不等式的一般方法是將表達式移到不等號的一邊,令其為,另一邊剩下0,再在給定區間內討論的單調性即可證明原不等式. 令,則.因此,在上單調減；又有,所以,故時,所以原不等式得證.六、(本題滿分9分)方法1：,由換元積分,；所以 .由區間相同的積分式的可加性,有 =.方法2：令,則 由牛頓-萊布尼茲公式,有,而,故.1O123七、(本題滿分9分)先求得切線方程：對拋物線方程求導數,得,過曲線上已知點的切線方程為,當存在時,.所以點處的切線方程為,此切線過點,所以把點代入切線方程得,再代入拋物線方程得,由此,與拋物線相切于斜率為的切線方程為.旋轉體是由曲線直線與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所形成的,求旋轉體體積：方法1：曲線表成是的函數,是兩個旋轉體的體積之差,套用已有公式得.方法2：曲線表成是的函數,并作水平分割,相應于小橫條的體積微元,如上圖所示,于是,旋轉體體積 .八、(本題滿分