1、第三節第三節圓的方程圓的方程授課提示：對應學生用書第 156 頁基礎梳理1圓的定義、方程定義平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫作圓標準方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2y2dxeyf0條件：d2e24f0圓心：d2，e2半徑：r12d2e24f2.點與圓的位置關系點 m(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系：(1)點 m(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)點 m(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)點 m(x0，y0)在圓內，則(x0a)2(y0b)2r2.1方程 ax2bxycy2dxeyf

2、0 表示圓的充要條件：ac0，b0，且 d2e24f0.2以 a(x1，y1)，b(x2，y2)為直徑的圓的方程為(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.四基自測1(基礎點：圓的一般方程與標準方程的互化)圓 x2y24x6y0 的圓心坐標是()a(2，3)b(2，3)c(2，3)d.(2，3)答案：d2(基礎點：求圓的方程)過點 a(1，1)，b(1，1)，且圓心在直線 xy20 上的圓的方程是()a(x3)2(y1)24b(x3)2(y1)24c(x1)2(y1)24d.(x1)2(y1)24答案：c3(基礎點：求圓的方程)aob 中，a(4，0)，b(0，3)，o(0，0)，則aob

3、外接圓的方程為_答案：x2y24x3y04(易錯點：二元二次方程表示圓的條件)若方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圓，則a 的取值范圍是_答案：(2，23)授課提示：對應學生用書第 156 頁考點一求圓的方程挖掘求圓的方程/ 自主練透例(1)圓心在 y 軸上，半徑長為 1，且過點 a(1，2)的圓的方程是()ax2(y2)21bx2(y2)21c(x1)2(y3)21dx2(y3)24解析根據題意可設圓的方程為 x2(yb)21，因為圓過點 a(1，2)，所以 12(2b)21，解得 b2，所以所求圓的方程為 x2(y2)21.答案a(2)圓心在直線 x2y30 上，且過點 a(2，3

4、)，b(2，5)的圓的方程為_解析法一：幾何法設點 c 為圓心，因為點 c 在直線 x2y30 上，所以可設點 c 的坐標為(2a3，a)又該圓經過 a，b 兩點，所以|ca|cb|，即 （2a32）2（a3）2 （2a32）2（a5）2，解得 a2，所以圓心 c 的坐標為(1，2)，半徑 r 10，故所求圓的方程為(x1)2(y2)210.法二：待定系數法設所求圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2，由題意得（2a）2（3b）2r2，（2a）2（5b）2r2，a2b30，解得 a1，b2，r210，故所求圓的方程為(x1)2(y2)210.法三：待定系數法設圓的一般方程為 x2y2dxeyf

5、0，則圓心坐標為d2，e2 ，由題意得d22e2 30，492d3ef0，4252d5ef0，解得 d2，e4，f5.故所求圓的方程為 x2y22x4y50.答案x2y22x4y50(3)在平面直角坐標系 xoy 中， 以點 a(1， 0)為圓心且與直線 mxy2m10(mr)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為_解析因為直線與圓相切，所以半徑等于圓心到直線的距離，r|m02m1|1m2|m1|1m2（1m）21m212m1m2，因為 1m22m，所以2m1m21，所以 r 11 2，所以半徑最大的圓的標準方程為(x1)2y22.答案(x1)2y22破題技法求圓的方程的方法方法解讀適合題型

6、幾何法通過研究圓的性質、直線和圓、圓和圓的位置關系，進而求得圓的基本量(圓心、半徑)和方程，常用的幾何性質如下：(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線題設條件中有明顯的幾何特征續表方法解讀適合題型待定系數法(1)根據條件設出圓的方程，一般地，若題目中有與圓心和半徑有關的信息，選擇標準方程(xa)2(yb)2r2，若已知圓上三點坐標(或三點坐標易求)，選擇一般方程 x2y2dxeyf0；(2)由題目給出的條件，列出關于 a，b，r 或 d，e，f 的方程組；(3)解出 a，b，r 或 d，e，f，代入標準方程或一般方程

7、題設條件中有明顯的代數特征1將本例(1)改為圓心在 y 軸上，且過點(3，1)的圓與 x 軸相切，則該圓的方程是()ax2y210y0bx2y210y0cx2y210 x0dx2y210 x0解析：根據題意，設圓心坐標為(0，r)，半徑為 r，則 32(r1)2r2，解得 r5，可得圓的方程為 x2y210y0，故選 b.答案：b2本小題(3)改為：在平面直角坐標系 xoy 中，過點 a(1，0)作直線 mxy2m10(mr r)的垂線， 垂足為 b， 以 a， b 的連線段為直徑的所有圓中， 半徑最大的圓的一般方程為_解析：因為直線 mxy2m10(mr r)過定點c(2，1)，所以直徑 a

8、b 的最大值為|ac| 2，所以所求半徑最大的圓的標準方程為x322y12212，化為一般方程為 x2y23xy20.答案：x2y23xy20考點二與圓有關的軌跡問題挖掘 1直接法求與圓有關的軌跡方程/ 自主練透例 1已知點 m 與兩個定點 o(0， 0)， a(3， 0)的距離的比為12， 則點 m 的軌跡方程為_解析設點 m(x，y)，由題意得x2y2（x3）2y212，整理得 x2y22x30.答案x2y22x30將本題改為“m 與 a(3，0)，o(0，0)距離之比為”，則動點 m 的軌跡方程是什么？其軌跡是什么圖形解析：由題意得x2y2（x3）2y21，整理得(12)x2(12)y2

9、6x90.當1 時，軌跡方程為 x32，表示 oa 的垂直平分線當1 時，方程為(x312)2y292（12）2，表示為以(312，0)為圓心，半徑為3|12|的圓挖掘 2相關點(代入法)求軌跡方程/ 自主練透例 2(1)點 p(4，2)與圓 x2y24 上任意一點連線的中點的軌跡方程是()a(x2)2(y1)21b(x2)2(y1)24c(x4)2(y2)24d.(x2)2(y1)21解析設圓上任意一點為(x1，y1)，中點為(x，y)，則xx142，yy122，即x12x4，y12y2，代入 x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化簡得(x2)2(y1)21.答案a(2)已知圓 c：(x1)2(y1)29，過點 a(2，3)作圓 c 的任意弦，則這些弦的中點 p 的軌跡方程為_解析設 p(x，y)，圓心 c(1，1)因為 p 點是過點 a 的弦的中點，所以papc.又因為pa(2x，3y)，pc(1x，1y)所以(2x)(1x)(3y)(1y)0.所以點 p 的軌跡方程為x322(y2)254.答案x322(y2)254破題技法與圓有關的軌跡問題的四種求法將本例(1)變為 p(4，2)，a 是 x2y24 的動點m 是線段 pa 上的點滿足|pm|ma|(0)，則動點 m