1、第十節第十節變化率與導數、導數的運算變化率與導數、導數的運算授課提示：對應學生用書第 37 頁基礎梳理1導數的概念(1)函數 yf(x)在 xx0處導數的定義稱函數 yf(x)在 xx0處的瞬時變化率yx為函數 yf(x)在 xx0處的導數，記作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)yx(2)導數的幾何意義函數 f(x)在點 x0處的導數 f(x0)的幾何意義是在曲線 yf(x)上點 p(x0，y0)處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數 s(t)對時間 t 的導數)相應地，切線方程為 yy0f(x0)(xx0)(3)函數 f(x)的導函數稱函數 f(x)f（xx）f（x）x為 f(x)的導

2、函數2基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)c(c 為常數)f(x)0f(x)x(q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，且 a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且 a1)f(x)1xln af(x)ln xf(x)1x3.導數的運算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2(g(x)0)1求導其實質是一種數學運算即求導運算，有公式和法則，也有相應的適用范圍或成立

3、條件，要注意這一點，如(xn)nxn1中，n0 且 nqq*.f（x）g（x） f（x）g（x）f（x）g（x）g2（x），要滿足“”前后各代數式有意義，且導數都存在2(1)f(x0)代表函數 f(x)在 xx0處的導數值；(f(x0)是函數值 f(x0)的導數，而函數值 f(x0)是一個常量，其導數一定為 0，即(f(x0)0.(2)f(x)是一個函數，與 f(x0)不同3(1)“過”與“在”：曲線 yf(x)“在點 p(x0，y0)處的切線”與“過點 p(x0，y0)的切線”的區別：前者 p(x0，y0)為切點，而后者 p(x0，y0)不一定為切點(2)“切點”與“公共點”：曲線的切線與曲

4、線的公共點的個數不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點四基自測1(基礎點：求導數值)若 f(x)xex，則 f(1)等于()a0bec2ede2答案：c2(易錯點：導數的運算)已知 f(x)xln x，則 f(x)()a.mxxbx1c.1xxdln x1答案：d3(基礎點：求切線)函數 f(x)x3在(0，0)處的切線為()a不存在bx0cy0dyx答案：c4(易錯點：求切點)曲線 yex過點(0，0)的切線的斜率為_答案：e授課提示：對應學生用書第 38 頁考點一導數的計算挖掘 1求導函數值/ 自主練透例 1(1)設函數 f(x)1ex的圖像與 x 軸交于 p 點(x0，y0)

5、，則 f(x0)_解析令 1ex00，x00，而 f(x)ex，f(x0)f(0)e01.答案1(2)若函數 f(x)ln xf(1)x23x4，則 f(1)_解析f(x)1x2f(1)x3，f(1)12f(1)3，解得 f(1)2，f(1)1438.答案8(3)若 f(x)sinx3 ，則 f3 _解析f(x)sinx3 ，f(x)cosx3 ，f3 cos33 12.答案12挖掘 2已知導數值求自變量/ 互動探究例 2(1)已知函數 f(x)x(2 020ln x)且 f(x0)2 021，則 x0()ae2b1cln 2de解析f(x)x(2 020ln x)2 020 xxln x，f

6、(x)2 020ln xx1x2 021ln x，又 f(x0)2 021，ln x00，x01.答案b(2)已知函數 f(x)的導函數 f(x)，且滿足 f(x)2xf(1)ln x，若 f(x0)0，則 x0_解析f(x)2xf(1)ln x，f(x)2xf(1)(ln x)2f(1)1x，f(1)2f(1)1，即 f(1)1.f(x0)21x0，21x00，x012.答案12破題技法1.求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯(1)連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導；(2)分式形式：觀察函數的結構特征，先化為整式函

7、數或較為簡單的分式函數，再求導；(3)對數形式：先化為和、差的形式，再求導；(4)根式形式：先化為分數指數冪的形式，再求導；(5)三角形式：先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導2 求導公式或求導法則中， 要注意“”“”的變化， 如(cos x)sin x 區分 f(x)與 f(x0)3復合函數的求導，要分清復合的層次考點二導數的幾何意義及應用挖掘 1利用導數幾何意義求切點、斜率、切線/ 互動探究例 1(1)(2018高考全國卷)設函數(x)x3(a1)x2ax， 若(x)為奇函數， 則曲線 y(x)在點(0，0)處的切線方程為()ay2xbyxcy2xdyx解析法一：(x)x3(a1)

8、x2ax，(x)3x22(a1)xa.又(x)為奇函數，(x)(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax 恒成立，a1，(x)3x21，(0)1，曲線 y(x)在點(0，0)處的切線方程為 yx.故選 d.法二：(x)x3(a1)x2ax 為奇函數，(x)3x22(a1)xa 為偶函數，a1，即(x)3x21，(0)1，曲線 y(x)在點(0，0)處的切線方程為 yx.故選 d.答案d(2)(2019高考全國卷)曲線 y3(x2x)ex在點(0，0)處的切線方程為_解析y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率 ke033，切線方程為 y3x.答案y3x(3)若

9、直線 l 與曲線 c 滿足下列兩個條件：()直線 l 在點 p(x0，y0)處與曲線 c 相切；()曲線c 在點 p 附近位于直線 l 的兩側則稱直線 l 在點 p 處“切過”曲線 c.下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的序號)：直線 l：y0 在點 p(0，0)處“切過”曲線 c：yx3；直線 l：x1 在點 p(1，0)處“切過”曲線 c：y(x1)2直線 l：yx 在點 p(0，0)處“切過”曲線 c：ysin x；直線 l：yx 在點 p(0，0)處“切過”曲線 c：ytan x；直線 l：yx1 在點 p(1，0)處“切過”曲線 c：yln x.解析對于，由 yx3，得 y3x2，

10、則 y|x00，直線 y0 是過點 p(0，0)的曲線 c 的切線，又當 x0 時，y0，當 x0 時，y0，滿足曲線 c 在 p(0，0)附近位于直線 y0 兩側，命題正確；對于，由 y(x1)2，得 y2(x1)，則 y|x10，而直線 l：x1 斜率不存在，在點 p(1，0)處不與曲線 c 相切，命題錯誤；對于，由 ysin x，得 ycos x，則 y|x01，直線 ysin x 是過點 p(0，0)的曲線 c 的切線，又 x(2，0)時，xsin x，x(0，2)時，xsin x，滿足曲線 c 在 p(0，0)附近位于直線 yx 兩側，命題正確；對于，由 ytan x，得 y1cos

11、2x，則 y|x01，直線 yx 是過點 p(0，0)的曲線的切線，又 x(2，0)時，tan xx，x(0，2)時，tan xx，滿足曲線 c 在 p(0，0)附近位于直線 yx 兩側，命題正確；對于，由 yln x，得 y1x，則 y|x11， 曲線在 p(1， 0)處的切線為 yx1， 設 g(x)x1ln x， 得 g(x)11x， 當 x(0，1)時，g(x)0，當 x(1，)時，g(x)0，g(x)在(0，)上的極小值也是最小值為 g(1)0，直線 yx1 恒在曲線 yln x 的上方，不滿足曲線 c 在點 p 附近位于直線 l 的兩側，命題錯誤，故答案為.答案破題技法求曲線的切線

12、方程，注意已知點是否為切點，其關鍵點為：(1)當點 p(x0，y0)是切點時，切線方程為 yy0f(x0)(xx0)(2)當點 p(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設出切點坐標 p(x1，f(x1)；第二步：寫出過 p(x1，f(x1)的切線方程，為 yf(x1)f(x1)(xx1)；第三步：將點 p(x0，y0)代入切線方程求出 x1；第四步：將 x1的值代入方程 yf(x1)f(x1)(xx1)可得過點 p(x0，y0)的切線方程挖掘 2根據導數的幾何意義求解析式中的參數/ 互動探究例 2(1)(2019高考全國卷)已知曲線 yaexxln x 在點(1，ae)處的切線方

13、程為 y2xb，則()aae，b1bae，b1cae1，b1dae1，b1解析yaexln x1，ky|x1ae1，切線方程為 yae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1.又切線方程為 y2xb，ae12，b1，即 ae1，b1.故選 d.答案d(2)(2018高考全國卷)曲線 y(ax1)ex在點(0，1)處的切線的斜率為2，則 a_解析y(axa1)ex，當 x0 時，ya1，a12，得 a3.答案3(3)若曲線 c1：yx2與曲線 c2：yexa(a0)存在公共切線，則 a 的取值范圍為()a(0，1)b(1，e24ce24，2de24，)解析易知曲線 yx2在點(m，m2)處的切線斜率為 2m，曲線 yexa在點(n，ena)處