1、第2課時導數與函數的極值、最值一、教材概念結論性質重現1函數的極值與導數條件f (x0)0x0附近的左側f (x)0，右側f (x)0x0附近的左側f (x)0圖象形如山峰形如山谷極值f (x0)為極大值f (x0)為極小值極值點x0為極大值點x0為極小值點(1)函數的極大值和極小值都可能有多個，極大值和極小值的大小關系不確定(2)對于可導函數f (x)，“f (x0)0”是“函數f (x)在xx0處有極值”的必要不充分條件2函數的最值與導數(1)函數f (x)在a，b上有最值的條件一般地，如果在區間a，b上函數yf (x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值(2)求函數yf

2、(x)在區間a，b上的最大值與最小值的步驟求函數yf (x)在區間(a，b)上的極值；將函數yf (x)的各極值與端點處的函數值f (a)，f (b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值(1)求函數的最值時，應注意極值點和所給區間的關系，關系不確定時，需要分類討論，不可想當然認為極值就是最值(2)若函數f (x)在區間a，b內是單調函數，則f (x)一定在區間端點處取得最值；若函數f (x)在開區間(a，b)內只有一個極值點，則相應的極值點一定是函數的最值點(3)函數最值是“整體”概念，而函數極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關系二、基本技能思想活動體驗1判斷下列

3、說法的正誤，對的打“”，錯的打“”(1)函數的極大值不一定比極小值大()(2)對可導函數f (x)，f (x0)0是x0點為極值點的充要條件()(3)函數的極大值一定是函數的最大值()(4)開區間上的單調連續函數無最值()2f (x)的導函數f (x)的圖象如圖所示，則f (x)的極小值點的個數為()a1b2c3d4a解析：由題意知在x1處f (1)0，且其兩側導數符號為左負右正，f (x)在x1左減右增故選a3函數f (x)2xxln x的極大值是()a b ce de2c解析：f (x)2(ln x1)1ln x令f (x)0，得xe.當0x0；當xe時，f (x)0.所以xe時，f (x

4、)取到極大值，f (x)極大值f (e)e.4若函數f (x)x(xc)2在x2處有極小值，則常數c的值為()a4 b2或6 c2 d6c解析：函數f (x)x(xc)2的導數為f (x)3x24cxc2.由題意知，f (x)在x2處的導數值為128cc20，解得c2或6.又函數f (x)x(xc)2在x2處有極小值，故導數在x2處左側為負，右側為正當c2時，f (x)x(x2)2的導數在x2處左側為負，右側為正，即在x2處有極小值而當c6時，f (x)x(x6)2在x2處有極大值故c2.5函數f (x)2x32x2在區間1,2上的最大值是_8解析：f (x)6x24x2x(3x2)由f (x

5、)0，得x0或x.因為f (1)4，f (0)0，f ，f (2)8，所以最大值為8.考點1利用導數求函數的極值綜合性考向1根據函數的圖象判斷函數的極值(多選題)已知函數f (x)在r上可導，其導函數為f (x)，且函數y(1x)f (x)的圖象如圖所示，則()a函數f (x)有極大值f (2)b函數f (x)有極大值f (2)c函數f (x)有極小值f (2)d函數f (x)有極小值f (2)bd解析：由題圖可知，當x0；當2x1時，f (x)0；當1x2時，f (x)2時，f (x)0.由此可以得到函數f (x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值根據函數的圖象判斷極值的方法根據已知條件

6、，分情況確定導數為0的點，及導數為0點處左右兩側導數的正負，從而確定極值類型考向2已知函數解析式求極值已知函數f (x)ln xax(ar)(1)當a時，求f (x)的極值；(2)討論函數f (x)在定義域內極值點的個數解：(1)當a時，f (x)ln xx，定義域為(0，)，且f (x).令f (x)0，解得x2.于是當x變化時，f (x)，f (x)的變化情況如下表.x(0，2)2(2，)f (x)0f (x)ln 21故f (x)在定義域上的極大值為f (2)ln 21，無極小值(2)由(1)知，函數的定義域為(0，)，f (x)a.當a0時，f (x)0在(0，)上恒成立，即函數f (

7、x)在(0，)上單調遞增，此時函數f (x)在定義域上無極值點；當a0，x時，f (x)0，x時，f (x)0時，函數f (x)有一個極大值點，且為x.求函數極值的一般步驟(1)先求函數f (x)的定義域，再求函數f (x)的導函數；(2)求f (x)0的根；(3)判斷在f (x)0的根的左、右兩側f (x)的符號，確定極值點；(4)求出函數f (x)的極值考向3已知函數的極值求參數設函數f (x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲線yf (x)在點(1，f (1)處的切線與x軸平行，求a；(2)若f (x)在x2處取得極小值，求a的取值范圍解：(1)因為f (x)ax2(4a1)x4a

8、3ex，所以f (x)ax2(2a1)x2ex，f (1)(1a)e.由題設知f (1)0，即(1a)e0，解得a1.所以a的值為1.(2)由(1)得f (x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，則當x時，f (x)0.所以f (x)在x2處取得極小值若a，則當x(0,2)時，x20，ax1x10.所以2不是f (x)的極小值點綜上可知，a的取值范圍是.已知函數極值點或極值求參數的兩個關鍵(1)列式：根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解(2)驗證：因為某點處的導數值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須驗證該點左右兩側的正負

9、1(多選題)定義在區間上的函數f (x)的導函數f (x)圖象如圖所示，則下列結論正確的是()a函數f (x)在區間(0,4)單調遞增b函數f (x)在區間單調遞減c函數f (x)在x1處取得極大值d函數f (x)在x0處取得極小值abd解析：根據導函數圖象可知，f (x)在區間上，f (x)0，f (x)單調遞減，在區間(0,4)上，f (x)0，f (x)單調遞增所以f (x)在x0處取得極小值，沒有極大值所以a，b，d選項正確，c選項錯誤故選abd2(2020青島一模)已知函數f (x)(e2.718為自然對數的底數)若f (x)的零點為，極值點為，則()a1 b0 c1 d2c解析：當

10、x0時，f (x)3x9為增函數，無極值令f (x)0，即3x90，解得x2，即函數f (x)的一個零點為2；當x0時，f (x)xex0，無零點，f (x)exxex(1x)ex，則當1x0.當x1時，f (x)0，所以當x1時，函數f (x)取得極小值綜上可知，2(1)1.故選c3函數f (x)的極小值為_解析：f (x).令f (x)0，得x1；令f (x)0，得2x0，解得x1；令f (x)0，解得x0時，f (x)0或f (x)0恒成立的充要條件是(4)243a10，即1612a0，解得a.綜上，a的取值范圍為.考點2利用導數求函數的最值應用性(2020北京卷)已知函數f (x)12

11、x2.(1)求曲線yf (x)的斜率等于2的切線方程；(2)設曲線yf (x)在點(t，f (t)處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為s(t)，求s(t)的最小值解：(1)因為f (x)12x2，所以f (x)2x.設切點為(x0,12x)，則2x02，即x01，所以切點為(1,11)由點斜式可得切線方程為y112(x1)，即2xy130.(2)顯然t0，因為yf (x)在點(t,12t2)處的切線方程為y(12t2)2t(xt)，即y2txt212.令x0，得yt212；令y0，得x.所以s(t)(t212)，t0，顯然為偶函數只需考察t0即可(t0，得t2；由s(t)0，得0t0，f (x

12、)xeax1(2ax)a.由f (1)ea1(2a)a2，得ea1(2a)(a2)0，即(ea11)(2a)0，解得a1或a2.當a1時，f (1)e012，此時直線y2x恰為切線，舍去所以a2.(2)當b2時，f (x)x2eax12ln xax，x0.設tx2eax1(t0)，則ln t2ln xax1，故函數f (x)可化為g(t)tln t1(t0)由g(t)1，可得g(t)的單調遞減區間為(0,1)，單調遞增區間為(1，)，所以g(t)的最小值為g(1)1ln 112.此時，t1，函數f (x)的值域為2，)問題轉化為：當t1時，ln t2ln xax1有解，即ln 12ln xax

13、10，得a.設h(x)，x0，則h(x)，故h(x)的單調遞減區間為(0，)，單調遞增區間為(，)，所以h(x)的最小值為h()，故a的最小值為.求解函數極值與最值綜合問題的策略(1)求極值、最值時，要求步驟規范，函數的解析式含參數時，要討論參數的大小(2)求函數在無窮區間(或開區間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值1(2021福建三校聯考)若方程8xx26ln xm僅有一個解，則實數m的取值范圍為()a(，7)b(156ln 3，)c(1261n 3，)d(，7)(156ln 3，)d解析：方程8xx

14、26ln xm僅有一個解等價于函數m(x)x28x6ln xm(x0)的圖象與x軸有且只有一個交點對函數m(x)求導得m(x)2x8.當x(0,1)時，m(x)0，m(x)單調遞增；當x(1,3)時，m(x)0，m(x)單調遞增，所以m(x)極大值m(1)m7，m(x)極小值m(3)m6ln 315.所以當x趨近于0時，m(x)趨近于負無窮，當x趨近于正無窮時，m(x)趨近于正無窮，所以要使m(x)的圖象與x軸有一個交點，必須有m(x)極大值m70，即m156ln 3.故選d2已知函數f (x)(1)求f (x)在區間(，1)上的極小值和極大值點；(2)求f (x)在1，e(e為自然對數的底數)上的最大值解：(1)