1、第6節對數與對數函數一、教材概念結論性質重現1對數的概念一般地，如果abn(a0，且a1)，那么冪指數b稱為以a為底n的對數，記作blogan，其中a稱為對數的底數，n稱為對數的真數2對數的性質與運算法則(1)對數的運算法則如果a0且a1，m0，n0，那么loga(mn)logamlogan；logalogamlogan；logamnnlogam (nr)(2)對數的性質loga10；logaa1；alogann；logaann(a0，且a1)(3)對數的換底公式logab(a0且a1，b0，c0且c1)換底公式的三個重要結論(1)logab.(2)logambnlogab.(3)logabl

2、ogbclogcdlogad.其中a0，且a1，b0，且b1，c0，且c1，m，nr.3對數函數(1)一般地，函數ylogax(a0，且a1)稱為對數函數，其中a是常數，a0且a1. (2)對數函數的圖像與性質0a1圖像定義域(0，)值域r性質過定點(1,0)，即x1時，y0當x1時，y0；當0x0當x1時，y0；當0x1時，y0減函數增函數對數函數圖像的特征(1)由圖可知，0dc1b0，且a1)的圖像過定點(1,0)，且過點(a,1)，函數圖像只在第一、第四象限4反函數指數函數yax(a0，且a1)與對數函數ylogax(a0，且a1)互為反函數，它們的圖像關于直線yx對稱二、基本技能思想活

3、動體驗1判斷下列說法的正誤，對的打“”，錯的打“”(1)loga(mn)logamlogan.( )(2)logaxlogayloga(xy)( )(3)函數ylog2x及y3x都是對數函數( )(4)對數函數ylogax(a0，且a1)在(0，)上是增函數( )(5)函數yln 與yln(1x)ln(1x)的定義域相同( )2計算log29log342log510log50.25()a0 b2 c4 d6d解析：原式2log23(2log32)log5(1020.25)4log525426.3函數ylg|x|()a是偶函數，在區間(，0)上單調遞增b是偶函數，在區間(，0)上單調遞減c是奇函

4、數，在區間(0，)上單調遞減d是奇函數，在區間(0，)上單調遞增b解析：ylg|x|是偶函數，由圖像知(圖略)，函數在(，0)上單調遞減，在(0，)上單調遞增4若函數yf(x)是函數yax(a0，且a1)的反函數，且f(2)1，則f(x)()alog2x b. clog0.5x d2x2a解析：由題意知f(x)logax(a0，且a1)因為f(2)1，所以loga21.所以a2.所以f(x)log2x.5函數yloga(x1)2(a0，且a1)的圖像恒過定點_(2,2)解析：當x2時，函數yloga(x1)2(a0，且a1)的值為2，所以圖像恒過定點(2,2).考點1對數運算問題基礎性(1)_

5、.(2)已知2x12，log2y，則xy的值為_(3)設2a5bm，且2，則m_.(1)1(2)2(3)解析：(1)原式1.(2)因為2x12，所以xlog212，所以xylog212log2log242.(3)因為2a5bm0，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102.所以m210.所以m.解決對數運算問題的常用方法(1)將真數化為底數的指數冪的形式進行化簡(2)將同底對數的和、差、倍合并(3)利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用(4)利用常用對數中的lg 2lg 51.考點2對數函數的圖像及應用綜合性(1) 已知

6、函數f(x)是定義在r上的偶函數，且當x0時，f(x)ln(x1)，則函數f(x)的大致圖像為()c解析：先作出當x0時，f(x)ln(x1)的圖像，顯然圖像經過點(0,0)，再作此圖像關于y軸對稱的圖像，可得函數f(x)在r上的大致圖像，如選項c中圖像所示(2)當0x時，4xlogax，則實數a的取值范圍是()a bc(1，) d(，2)b解析：易知0a1，函數y4x與ylogax的大致圖像如圖由題意可知只需滿足loga4，解得a，所以a1.故選b.1將本例(2)中“4xlogax”變為“4xlogax有解”，則實數a的取值范圍為_解析：若方程4xlogax在上有解，則函數y4x與函數ylo

7、gax的圖像在上有交點由圖像可知解得0a，即a的取值范圍為.2若本例(2)變為：已知不等式x2logax0對x恒成立，則實數a的取值范圍為_解析：由x2logax0得x2logax.設f1(x)x2，f2(x)logax，要使x時，不等式x21時，顯然不成立；當0a1時，如圖所示要使x2logax在x上恒成立，需f1f2，所以有2loga，解得a，所以a1.考點3對數函數的性質及應用應用性考向1比較函數值的大小設a0.50.4，blog0.40.3，clog80.4，則a，b，c的大小關系是()aabc bcbaccab dbcac解析：因為0a0.50.4log0.40.41，clog80.

8、4log810，所以ca1，所以x.簡單對數不等式問題的求解策略(1)解決簡單的對數不等式，應先利用對數的運算性質化為同底數的對數值，再利用對數函數的單調性轉化為一般不等式求解(2)對數函數的單調性和底數a的值有關，在研究對數函數的單調性時，要按0a1進行分類討論(3)某些對數不等式可轉化為相應的函數圖像問題，利用數形結合法求解考向3對數函數性質的綜合問題(1)若函數f(x)log2(x2ax3a)在區間(，2上單調遞減，則實數a的取值范圍是()a(，4) b(4,4c(，4)2，)d4,4)d解析：由題意得x2ax3a0在區間(，2上恒成立，且函數yx2ax3a在(，2上單調遞減，則2且(2)2(2)a3a0，解得4a1時，ylogau是增函數，f(x)maxloga42，得a2；當0a1時，ylogau是減函數，f(x)maxloga2，得a(舍去)故a2.解決對數函數性質的綜合問題的注意點(1)要分清函數的底數a(0,1)，還是a(1，)(2)確定函數的定義域，無論研究函數的什么性質或利用函數的某個性質，都要在其定義域上進行(3)轉化時一定要注意對數問題轉化的等價性1(2019全國卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.