1、第六節雙曲線【知識重溫】一、必記3個知識點1雙曲線的定義(1)平面內與兩個定點f1、f2(|f1f2|2c0)的距離_為非零常數2a(2a0，c0.()當_時，m點的軌跡是雙曲線；()當_時，m點的軌跡是兩條射線；()當_時，m點不存在2雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質范圍_yr_xr對稱性對稱軸：_對稱中心：_對稱軸：_對稱中心：_頂點頂點坐標：a1_，a2_頂點坐標：a1_，a2_漸近線_離心率e_，e(1，)其中c_實虛軸線段a1a2叫做雙曲線的實軸，它的長|a1a2|_；線段b1b2叫做雙曲線的虛軸，它的長|b1b2|_；a叫做雙曲線的實半軸長

2、，b叫做雙曲線的虛半軸長a、b、c關系c2_(ca0，cb0)3.雙曲線中的4個常用結論(1)雙曲線為等軸雙曲線雙曲線的離心率e雙曲線的兩條漸近線互相垂直(2)漸近線的斜率與雙曲線的焦點位置的關系：當焦點在x軸上時，漸近線斜率為，當焦點在y軸上時，漸近線斜率為.(3)漸近線與離心率1(a0，b0)的一條漸近線的斜率為.(4)若p為雙曲線上一點，f為其對應焦點，則|pf|ca.二、必明4個易誤點1雙曲線的定義中易忽視2a|f1f2|則軌跡不存在2雙曲線的標準方程中對a，b的要求只是a0，b0，易誤認為與橢圓標準方程中a，b的要求相同若ab0，則雙曲線的離心率e(1，)；若ab0，則雙曲線的離心率

3、e；若0a.3注意區分雙曲線中的a，b，c大小關系與橢圓a，b，c關系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2.4易忽視漸近線的斜率與雙曲線的焦點位置關系當焦點在x軸上，漸近線斜率為，當焦點在y軸上，漸近線斜率為.【小題熱身】一、判斷正誤1判斷下列說法是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)平面內到點f1(0,4)，f2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn0)表示焦點在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線方程(m0，n0，0)的漸近線方程是0，即0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()(5)若雙曲線1(a0，b0)與1(a0，b0)的離心

4、率分別是e1，e2，則1(此結論中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線)()二、教材改編2若雙曲線1(a0，b0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為()a.b5c. d23經過點a(4,1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為_三、易錯易混4p是雙曲線1上任意一點，f1，f2分別是它的左、右焦點，且|pf1|9，則|pf2|_.5坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為_四、走進高考62020江蘇卷在平面直角坐標系xoy中，若雙曲線1(a0)的一條漸近線方程為yx，則該雙曲線的離心率是_雙曲線的定義及其標準方程互動講練型考向一：雙曲線的

5、定義及應用例1(1)2021河南非凡聯盟聯考已知雙曲線c：1(a0)的左、右焦點分別為f1，f2，一條漸近線與直線4x3y0垂直，點m在c上，且|mf2|6，則|mf1|()a2或14 b2c14 d2或10(2)2020全國卷設雙曲線c：1(a0，b0)的左、右焦點分別為f1，f2，離心率為.p是c上一點，且f1pf2p.若pf1f2的面積為4，則a()a1 b2c4 d8悟技法雙曲線定義的應用(1)判定滿足某條件的平面內動點的軌跡是否為雙曲線，進而根據要求可求出曲線方程；(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經常結合|pf1|pf2|2a，運用平方的方法，建立|pf1|與|p

6、f2|的關系注意在應用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支.考向二：雙曲線的方程例22020天津卷設雙曲線c的方程為1(a0，b0)，過拋物線y24x的焦點和點(0，b)的直線為l.若c的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線c的方程為()a.1 bx21c.y21 dx2y21悟技法求雙曲線標準方程的一般方法(1)待定系數法：設出雙曲線方程的標準形式，根據已知條件，列出參數a，b，c的方程并求出a，b，c的值與雙曲線1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為(0)(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關系式，求出

7、a的值，由定點位置確定c的值.變式練(著眼于舉一反三)1已知f1，f2為雙曲線c：x2y22的左、右焦點，點p在c上，|pf1|2|pf2|，則cosf1pf2_.22021太原市高三年級模擬試題已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，若其右頂點到這條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為_考點二雙曲線的幾何性質分層深化型考向一：雙曲線的離心率例32020全國卷已知f為雙曲線c：1(a0，b0)的右焦點，a為c的右頂點，b為c上的點，且bf垂直于x軸若ab的斜率為3，則c的離心率為_考向二：雙曲線的漸近線例42021合肥市高三教學質量檢測已知雙曲線c：1(a0，b0)的右焦點為點f，點b是

8、虛軸的一個端點，點p為雙曲線c左支上的一個動點，若bpf周長的最小值等于實軸長的4倍，則雙曲線c的漸近線方程為_悟技法1.求雙曲線離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解2求雙曲線的漸近線方程的方法求雙曲線1(a0，b0)的漸近線的方法是令0，即得兩漸近線方程0.同類練(著眼于觸類旁通)32021河南南陽質檢若雙曲線1(a0)的一條漸近線與直線yx垂直，則此雙曲線的實軸長為()a2b4c18d3642021廣州市高三年級調研檢測已知f為雙曲線c：1(a0，b0)的右

9、焦點，過f作c的漸近線的垂線fd，垂足為d，且滿足|fd|of|(o為坐標原點)，則雙曲線的離心率為()a. b2 c3 d.變式練(著眼于舉一反三)52021洛陽市尖子生聯考已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點分別為f1，f2，p為雙曲線上一點，且|pf1|2|pf2|，若sinf1pf2，則該雙曲線的離心率等于()a. b2 c.或2 d.1或62021惠州市高三調研考試雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23的公共點的個數為()a1 b2 c4 d0拓展練(著眼于遷移應用)72021合肥市高三教學質量檢測已知雙曲線c：1(a0，b0)的左、右焦點分別為

10、f1，f2，圓f2與雙曲線c的漸近線相切，m是圓f2與雙曲線c的一個交點若0，則雙曲線c的離心率等于()a. b2 c. d.82021湖南省長沙市高三調研試題已知雙曲線c：1(a0，b0)的左焦點為f，過原點的直線l與雙曲線左、右兩支分別交于點p，q，且滿足|qf|pf|8，虛軸的上端點b在圓x2(y3)21內，則該雙曲線離心率的取值范圍為()a. b.c. d(，)考點三直線與雙曲線的位置關系互動講練型例52021長沙四校聯考設a，b分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于m，n兩點，且

11、在雙曲線的右支上存在點d，使t，求t的值及點d的坐標悟技法1.解決此類問題的常用方法是設出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程利用根與系數的關系，整體代入2有時根據直線的斜率k與漸近線的斜率的關系來判斷直線與雙曲線的位置關系會比較快捷.變式練(著眼于舉一反三)9已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于，過右焦點f2的直線l交雙曲線于a，b兩點，f1為左焦點(1)求雙曲線的方程；(2)若f1ab的面積等于6，求直線l的方程第六節雙曲線【知識重溫】之差的絕對值焦點焦距2a|f1f2|xa或xaya或yax軸，y軸

12、坐標原點x軸，y軸坐標原點(a,0)(a,0)(0，a)(0，a)yxyx 2a2ba2b2【小題熱身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長，雙曲線的漸近線方程為0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.答案：a3解析：設雙曲線的方程為1(a0)，把點a(4,1)代入，得a215(舍負)，故所求方程為1.答案：14解析：由題意知a4，b9，c，由于|pf1|9ac4，故點p只能在左支上，|pf2|pf1|2a8，|pf2|pf1|817.答案：175解析：若雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線的方程為1，則漸近線的方程為yx，由

13、題意可得tan，ba，可得c2a，則e2；若雙曲線的焦點在y軸上，設雙曲線的方程為1，則漸近線的方程為yx，由題意可得tan，ab，可得ca，則e.綜上可得e2或e.答案：2或6解析：由雙曲線的一條漸近線方程為yx得，則該雙曲線的離心率e .答案：課堂考點突破考點一例1解析：(1)由題意知，故a4，則c5.由|mf2|6ac9，知點m在c的右支上，由雙曲線的定義知|mf1|mf2|2a8，所以|mf1|14.(2)設|pf1|r1，|pf2|r2，則|r1r2|2a，rr2r1r24a2.由于f1pf2p，則rr4c2，4c22r1r24a2，r1r22b2.spf1f2r1r22b2b24，

14、e ，解得a21，即a1.故選a.答案：(1)c(2)a例2解析：解法一由題知y24x的焦點坐標為(1,0)，則過焦點和點(0，b)的直線方程為x1，而1的漸近線方程為0和0，由l與一條漸近線平行，與一條漸近線垂直，得a1，b1，故選d.解法二由題知雙曲線c的兩條漸近線互相垂直，則ab，即漸近線方程為xy0，排除b，c.又知y24x的焦點坐標為(1,0)，l過點(1,0)，(0，b)，所以1，b1，故選d.答案：d變式練1解析：由雙曲線的定義有|pf1|pf2|pf2|2a2，所以|pf1|2|pf2|4，則cosf1pf2.答案：2解析：由一條漸近線的方程為yx，得，由右頂點(a,0)到漸近

15、線yx的距離為，得 ，由，得，所以雙曲線的方程為1.答案：1考點二例3解析：點b為雙曲線的通徑位于第一象限的端點，其坐標為，點a坐標為(a,0)，ab的斜率為3，3，即e13，e2.故離心率e2.答案：2例4解析：由題意可得f(c,0)，如圖，不妨設b(0，b)，f(c,0)連接pf，bf.由雙曲線的定義可得|pf|pf|2a，則|pf|pf|2a，|bf|bf|，則bpf的周長為|pb|pf|bf|pb|pf|2a|bf|2|bf|2a，當且僅當b，p，f共線，且p在b，f中間時，bpf的周長取得最小值，且為2a2，由題意可得8a2a2，即9a2b2c22c2a2，即5a2c2a2b2,4a

16、2b2，2，所以雙曲線c的漸近線方程為y2x.答案：y2x同類練3解析：雙曲線的漸近線方程為yx，由題意可得1，得a9，2a18.故選c.答案：c4解析：根據雙曲線的幾何性質可知，焦點到漸近線的距離|fd|b，而|of|c，依題意得bc，代入c2a2b2得c2a2c2，即c2a2，所以，.故選a.答案：a5解析：因為p為雙曲線c上一點，且|pf1|2|pf2|，所以點p在雙曲線c右支上，如圖，則|pf1|pf2|2a.又因為|pf1|2|pf2|，所以|pf2|2a，|pf1|4a.因為sinf1pf2，所以cosf1pf2.在f1pf2中，cosf1pf2，解得e24或e26.又e1，所以e

17、2或e.故選c.答案：c6解析：雙曲線1的一條漸近線的方程為yx.由離心率e2得4，即4，得，所以一條漸近線的方程為yx.聯立得，消去y整理得4x24x10，因為16440，所以漸近線yx與圓(x2)2y23只有一個公共點由對稱性可得該雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23的公共點的個數為2，選b.答案：b拓展練7解析：雙曲線c：1(a0，b0)的右焦點f2(c,0)，圓f2與雙曲線c的漸近線yx相切，故圓f2的半徑r等于點f2到直線bxay0的距離，rb，又m是圓f2與雙曲線c的一個交點，|f2m|b，|f1m|2ab，又0，又|f1f2|2c，(2ab)2b24c2，b2a，e，故選a.答案：a8解析：設雙曲線c的右焦點為f，連接pf，qf，如圖所示由對稱性可知，p，q關于原點對稱，則|op|oq|.又|of|of|，所以四邊形pfqf為平行四邊形，所以|pf|qf|，則|qf|pf|qf|qf|2a8，所以a4.因為虛軸的上端點b(0，b)在圓x2(y3)21內，所以02(b3)21，解得2b4，則24，即24，得2c4，所以e，故選c.答案：c考點三例5解析：(1)由題意知a2，一條漸近線為y x.即bx2y0，b23，雙曲線的方程為1.(2)設m(x1，y1)，n(x2，y2)，d(x0，y0)，若