1、第10章 基帶信號的噪聲檢測 第9章考慮的數字調制技術涉及到每次將k比特信息轉換為通信信道上M個獨特的傳輸波形之一。基帶解調器已經知道調制器所用的波形集合sm(t), m=1,2,M。數字通信系統中，基帶調制器的目的不是象第4、第5和第7章的模擬通信系統那樣逼真的恢復發送波形。而基帶調制器或檢測器的功能是確定接收信號中的符號持續期間傳輸的是M個發送符號中的哪一個。由于判決基于對基帶信號的觀測，這里的接收信號受到信道或接收機前端噪聲的損傷，所以，這樣的解決辦法總含有不確定性。由于存在噪聲，因此檢測或判決過程引入了偶爾但不可避免的差錯。這就隱含著二進制情況下，實際發送比特0時檢測器判決的是比特1。

2、最佳檢測方案的設計中，適當的性能目標是使這類差錯發生的概率最小。 這里在概率論環境中研究了最佳檢測問題。M個發送符號的先驗概率（即，觀察接收信號之前的概率）通常建模為等概率發生。檢測器通過在每個符號持續期間對接收信號進行觀測，采用最大后驗概率準則(criterion)在M個可能的選擇中作出判決。為簡化起見，我們假定信道不是色散信道，所以對符號的檢測沒有受到來自其他符號干擾的影響。而且我們假定加性噪聲是高斯噪聲，其雙邊功率譜密度為 N0/2W /Hz。本章分為如下幾節。10.1 二進制信號的AWGN 檢測（重譯） 本節考慮的是數字通信問題的最簡單類型，即，存在加性高斯白噪聲（AWGN）時二進制信

3、號的檢測。10.2 匹配濾波器 本節學習檢測器輸出SNR取最大值的線性接收機。分析了二進制各種信號傳輸方案時，所得到的的匹配濾波器和相關檢測器的結構。10.3 矢量空間的概念本節我們回顧了矢量和內積空間的概念。然后介紹Gram-Schmidt過程，為含有有限矢量的集合構建正交基【此句重譯】10.4 信號與高斯白噪聲的矢量空間表示我們介紹了數字通信系統中所碰到的信號波形的有限集表示，這些波形對應有限維空間的點或矢量。然后解釋了判決哪個信號是發送信號時，考慮沿信號空間基矢量的噪聲分量就足夠了。10.5 本節我們考慮的是WGN信道上的M進制矢量的檢測，以得到最大的正確判決平均概率。然后考慮了用一排匹

4、配濾波器或相關器實現最大似然檢測器。10.6 最大似然檢測器的差錯性能 利用最大似然檢測導出了M進制通信系統差錯性能的聯合限。然后得出了符號差錯率與比特差錯率之間的關系。10.7 M進制PAM信號的差錯性能 本節分析了M進制PAM系統的差錯性能。這里證實了最近鄰限提供了系統的確切誤碼率。10.1 二進制信號的AWGN檢測 二進制數字通信系統中，在每一比特的持續時間（Tb）內發送兩個可能的信號s1(t)或s2(t)之一。因此，檢測器僅通過處理在時間間隔內后判決每比特持續時間內發送的是0還是1。假定為有限值的s1(t)和s2(t)的能量，分別表示為E1和E2。本節中考慮的二進制檢測的一般問題如圖1

5、0.1所示。不失一般性，我們考慮第一個信號間隔內表示如下的發送信號： （10.1）在存在雙邊功率譜密度為N0/2（W/Hz）的加性高斯白噪聲時信號放送到接收端。接收信號可以表示為： （10.2） 檢測器由頻率響應為H（f）的線性、時不變濾波器組成，隨后是采樣器和門限比較器。濾波器的初始條件是，在每個新脈沖到來之前置為零（該句重譯）。線性濾波器的輸出為： （10.3）其中， （10.4） （10.5） (10.6)在比特時間間隔0tTb的時刻t0時對接收濾波器的輸出r0(t)采樣。所得樣值r0是可以表示如下的隨機變量： （10.7）式中采樣時刻t=t0時，s01和s02分別是s01(t)和s02

6、(t)的值。n0是t=t0時的濾波器輸出噪聲的樣值。隨機變量r0是均值s01或者s02(取決于發送的是s1(t)還是s2(t)的高斯過程。根據式（6.189）得到它的方差2為： （10.8）我們可以寫出隨機變量r0的條件PDF如下： （10.9） （10.10）r0的條件PDF如圖10.2所示。門限比較器通過將采樣器輸出r0與門限電壓VT比較作出判決。判決規則可以表述為：r0VT,表示發送的是s1(t)r0VT,表示發送的是s2(t)下面我們討論最佳VT的選擇。10.1.1 比特差錯的概率如果發送的s1(t)的先驗概率是P，和發送是s2(t)的先驗概率為1-P,則差錯的平均概率（即，BER）表

7、示為： （10.11）比特差錯的平均概率通常叫做誤比特率（BER）。下述兩種情況之一發生時出現差錯：1. 發送s1(t),且r0VT那么發生差錯的條件概率可以表示為： （10.12） （10.13）根據式（6.55）式中Q（）定義為： （6.55）結合式（10.11）式（10.13），我們可以寫出誤比特率的如下表達式： （10.14）假定二進制符號等概率出現，則式（10.14）的BER表達式可以簡化為： （10.16）現在我們利用式（10.16）計算BER的導數，并將其置零以得到下面最佳門限Vopt必須滿足的條件：上式相當于求解下面的方程，（equivalently）,或者，因而得到， （10

8、.17）將門限電壓最佳值Vopt代入式（10.15）得， （10.18）式中已假定s01 Vopt s02 例10.1 用例2.33 RC低通濾波器作為接收濾波器時，計算該檢測器采用單極性NRZ信號時的BER性能。 解：根據式（2.125）得到RC低通濾波器的傳輸函數為：式中f3dB是3dB截止頻率。根據式（2.130）得到RC低通濾波器的沖擊響應為：采用單極性NRZ傳輸信號時，s1(t)=A , s2(t)=0, (0tTb)對應s1(t)脈沖的濾波器輸出為： （10.19）t=Tb時濾波器輸出出現峰值，如圖10.3（a）所示。實現的信號為： （10.20）顯然，s02=0 。根據式（6.2

9、53）得到的RC低通濾波器的等效噪聲寬帶BN為：將上式代入式（10.21）得： (10.22)結合式（10.20）與式（10.22），我們得到， （10.23）式中，注意，z是發送的脈沖持續時間與濾波器帶寬之積。常叫做帶寬時間（BT）積，且是個非常有用的設計參數。將式（10.23）代入式（10.18），得到： （10.24）從式（10.24）我們可以看出BER是BT積z的函數。給定比特率時，可以通過選擇適當的z值（即，接收機帶寬f3dB來優化BER性能。圖10.3（b）示出了作為BT積z函數的的圖形。h(z)的最大值為0.8154，該值出現在z=1.256。這時對應的RC低通濾波器的3dB帶寬

10、。將h(z)的最大值代入BER的表達式，得： （10.25）下一節我們比較這種較簡單濾波器與最優設計濾波器的性能。10.2 匹配濾波器我們來考慮圖10.1中線路濾波器H（f）的設計。對于二進制檢測方案，H（f）取式（10.18）平均差錯概率的最小值。由于Q函數是自變量的單調遞減函數，因此，為了求出最佳濾波器的傳輸函數Hopt(f),我們需要求解下面的優化問題： （10.26）在s2(t)=0的特例中，前面的優化問題簡化為： （10.27）括號內的量定義的是采樣器輸出端的信號與均方根噪聲功率（SNR）之比。從式（10.4）可得采樣時刻t0時濾波器的輸出信號為： （10.28）利用式（10.8）與

11、式（10.28），我們可以寫出： （10.29）式（10.27）的優化問題求解的是式（10.29）RHS（?）表達式取最大值的H(f)。通過利用Cauchy-Schwarz不等式取分母的最大值可以做到這一點，即， （10.30）其中X(f)和Y（f）可以是實變量f的復函數。而且，僅當滿足下式時，式（10.30）的等號成立： （10.31）式中K為任意常數。為了利用Cauchy-Schwarz不等式，我們選擇： （10.32）而且， （10.33）將式（10.32）與式（10.33）代入式（10.30），得： （10.34）用式（10.34）的右端替換式（10.29）的分母，得到不等式： （10

12、.35）當按照式（10.31）選擇H（f）時得到了s01202的最大值。將式（10.32）與式（10.33）代入式（10.31）時，得到最佳濾波器的響應為： （10.36）對式（10.36）的兩端取Fourier反變換，最佳濾波器的沖擊響應可以表示為： （10.37）最佳濾波器的沖擊響應hopt(t)是輸入信號s1(t)的時間反轉，因此最佳濾波器叫做匹配濾波器。注意濾波器的響應函數式（10.37）與白噪聲頻譜密度電平N02無關。由于匹配濾波器解決方案取式（10.27）輸出SNR的最大值，因此這一特性用于雷達系統的時延估計。D.Q.North發明的匹配濾波器源于第次世界大戰期間雷達系統的開發。根

13、據式（10.35）可得到匹配濾波器采樣器輸出端的SNR為： （10.38）式中E1是脈沖s1(t)的能量。式（10.38）是個非常值得關注的結果。該式表明，匹配濾波器輸出SNR取決于信號能量但不取決于波形形狀。當然，可以通過增大信號幅度或者持續時間來增大信號的能量。若s2(t)0，則式（10.26）的優化可用Cauchy-Schwarz不等式進行類似的處理。這時，匹配濾波器傳輸函數為： （10.39）根據式（10.39），匹配濾波器的沖擊響應可以表示為： （10.40）匹配濾波器可用兩個分別與s1(t)和s2(t)匹配的并行濾波器實現，如圖10.4所示。采用時刻t0時它們的輸出之差與式（10.

14、17）的門限相比。如何選擇t0？我們注意到，若t0Tb，則濾波器不可實現，因為t0時濾波器有非零沖擊響應。我們從現在起取t0=Tb。t= Tb時，s1(t)和s2(t)經匹配濾波器的響應為： （10.41） （10.42）例10.2 求與圖10.5（a）所示脈沖匹配的濾波器的沖擊響應函數。a. 顯示輸出脈沖。b. 輸出峰值是多少？解：匹配濾波器的沖擊響應由下式給出：圖10.5（b）示出了hopt 。a. 匹配濾波器的輸出由下式給出：匹配濾波器的輸出示于圖10.5（c）中。b.我們注意到匹配濾波器的輸出的峰值出現在采樣時刻t= Tb處，且等于信號s1(t)的能量。這是匹配濾波器非常重要的特性：采

15、樣時刻的輸出值等于發送脈沖的能量。而與s1(t)的波形形狀無關。 我們將匹配濾波器兩個輸出信號樣值之間的距離d定義為： （10.43）把式（10.41）與式（10.42）代入式（10.43），得到匹配濾波器檢測器的表達式如下： （10.44）結合式（10.40）和式（10.44），可以得到 （10.45）把式（10.45）代入式（10.8）可得到匹配濾波器的輸出噪聲功率為： （10.46）把式（10.44）與式（10.46）代入式（10.48）得到匹配檢測濾波器的BER為： （10.47）10.2.1相關檢測器 匹配濾波器也可以用另一種方案實現，如圖10.6所示。則匹配濾波器的輸出信號為： （

16、10.48）將代入上式，得： （10.49）采樣時刻t= Tb時。我們有： （10.50）由于s(t)為有限持續時間(0tTb)的波形，因此匹配濾波器的輸出為： （10.51）式（10.51）可用乘數積分器（multiplier integrator）結構實現，如圖10.6（a）所示。由于圖中求出的是接收信號與發送波形之間的相關性或相似性，所以這樣的實現叫做相關檢測器。而且，若發送波形為矩形脈沖，則檢測器中不必乘以s(t)。所得的結構叫做積分轉儲檢測器（integrate and detector）,如圖10.6（b）所示。10.2.2二進制信號傳輸的系統的性能 下面我們來比較采用匹配濾波器檢

17、測時，各種二進制信號傳輸系統的性能。 單極性NRZ或通斷信號（傳輸） 在這種情況下，0tTb時，s1(t)=A和s2(t)=0。將其代入式（10.44），得 （10.52）式中， 把式（10.52）代入式（10.47），得， （10.53）叫做SNR比特的參數 EbN0出現在每個數字通信系統的BER表達式中。將式（10.53）與式（10.25）比較，我們得出結論：與同樣差錯性能的匹配濾波器檢測器相比，非最優RC低通濾波器檢測器（filter detector）還需要10log100.8154=0.89dB的附加SNR比特。極性或反極性NRZ信號傳輸。在這種情況下，s1(t)=- s2(t)。所

18、以0tTb時，s1(t)- s2(t)=2A。將其代入式（10.44），得： （10.54）式中，將式（10.54）代入式（10.47），得， （10.55）將式（10.55）與式（10.53）比較，我們可以看出：與單極性NRZ編碼相比，實現同樣BER性能時，極性NRZ信號需要的SNR比特少3dB。通過采用類似于例10.1中的步驟，我們可以證明，非最優RC低通濾波器檢測器所能實現的BER性能如下： （10.56）這表明：與采用二進制極性信號的匹配濾波器相比，SNR損失了0.89dB。正交信號在正交信號傳輸時，在比特間隔0tTb內，將s1(t)與s2(t)選為正交信號。即， （10.57）正交信

19、號有許多選擇。例如，考慮信號集： (10.58)把式（10.58）代入式（10.44），得， （10.59）式中，把式（10.59）代入式（10.47），得 （10.60）比較式（10.60）與式（10.53），我們可以看出，實現同樣BER性能時，正交基帶信號所需的SNR比特比反極性方案多了3dB。正交信號的性能與單極性NRZ或通斷波形的性能相同，單極性NRZ或通斷波形也是正交的。雙極性NRZ信號雙極性NRZ信號時，表示二進制1的s1(t)在v(t)和-v(t)之間交替出現，s2(t)=0表示二進制零。采用雙極性信號時，匹配濾波器的沖擊響應為：幅度為A持續時間為Tb矩形基本脈沖形狀v(t)的能

20、量表示為：由于雙極性信號采用了三種脈沖，所以每比特的平均能量Eb為： （10.61）那么通過代入（？）可得匹配濾波器輸出噪聲方差為 (10.62)差錯概率由下式給出： （10.63）將脈沖概率和代入式（10.63），得： （10.64）圖10.7（a)示出了r0 條件PDF。設置了-E12和E12兩個門限。比較器的傳輸特性如圖10.7（b)所示。根據圖10.7（a),差錯條件概率可以表示為： （10.65）類似地，可以證明 （10.66）而且， （10.68）把式（10.61）與式（10.62）代入式（10.68），得， （10.69）圖10.8示出了三種二進制信號傳輸方案的EbN0BER性能

21、。反極性信號完成的最好，比正交方案和雙極性方案均優3dB。為了實現10-6的BER，反極性信號需要約10.5dB的EbN0例10.3 假定二進制數據在功率譜密度為N02=10-10WHz的AWGN信道上傳輸。當數據速率為下述值時，求出達到BER=10-6所需的信號幅度：（a) 10kbps; (b) 100kbps; (c）1.55mbps。計算時采用雙極性NRZ和曼徹斯特線路編碼。上述每種情況下的信號帶寬（基于頻譜第一零點）是多少？解： 雙極性NRZ信號時， 采用MF接收機根據表6.1，BER=10-6時，我們得到x=4.7535。所以由于 a.R=10Kbps,所以Tb=10-4， b.R

22、=100Kbps,所以Tb=10-5， c.R=1.55Mbps,所以， 采用曼徹斯特編碼（反極性）時，采用MF接收機的，且。根據表6.1，BER=10-6時，我們得到x=4.7535。 所以 那么a. R=10Kbps,所以，Tb=10-4 b. R=100Kbps,所以，Tb=10-5， 下表概括了該結果比特率 雙極性NRZ 曼徹斯特 A(mV） BW(kHz) A(mV） BW(kHz)10 9.67 10 4.75 20100 30.58 100 15 2001550 120.38 1550 59.14 3100實驗10.1帶相關檢測器的反極性二進制系統 本實驗中我們構建帶有相關檢測器

23、的極性NRZ數字通信系統的模型。用10.9（a)示出了該系統的Simulink模型。模型參數由companion的MATLAB m文件建立。m文件還用于計算BER理論值和畫出仿真圖理論值的BER性能圖。 例3.2介紹的極性Bernoulli信源用于產生極性NRZ信號。經采用AWGN信道方框加入了AWGN，如圖10.9（a)所示。相關檢測器采用的是每個比特間隔都復位的離散時間積分器來實現。對符號率采樣方框中的積分器輸出在時采樣。然后，符號框在這些樣值與門限電平（此時為零伏）比較的基礎上產生再生的輸出脈沖。然后再生的極性信號與誤碼儀（error-ratemeter)方框中發送的極性信號比較。仿真B

24、ER值傳送到MATLAB workspace得到BER性能曲線。圖10.9（b)示出了該仿真產生的各種波形。圖10.9（c)給出了BER性能理論值與仿真值的比較。實驗10.2 帶匹配濾波檢測的二進制反極性信號系統 本實驗中我們用MF檢測器構建二進制反極性數字通信系統的模型。仿真參數由companion MATLAB m文件建立。m文件也用于計算BER理論值和畫出BER性能的仿真值和理論值的圖。例3.2中介紹的極性Bernoulli信源也用于產生極性NRZ信號。通過滾降系數為的根升余弦（RRC）濾波器實現發送買吃的整形。經采用圖10.9（a)中所示的AWGN信道方框加入了AWGN.接收濾波器也是

25、RRC類型，與發送濾波器匹配。在符號率采樣框中，在時對MF的輸出采樣。（該句重譯）。然后，符號框在這些樣值與門限電平（此時為零伏）比較的基礎上產生再生的輸出脈沖。然后再生的極性符號在誤碼儀方框與發達信號比較。仿真的BER值傳遞到MATLAB workspace產生BER性能曲線。圖10.10（b)示出了該仿真的各種波形。圖10.10（c)提供了BER性能理論結果與仿真結果的比較。10.3 矢量空間的概念 我們都很熟悉的二維和三維Euclidean空間的矢量。二維Euclidean空間的矢量表示平面內的一個點；它由有序實數對定義。類似地，三維Euclidean空間的矢量或點由有序的實數三元組定義

26、。這一概念可以推廣到將n維矢量定義為n維數組。矢量的分量是復數域C（或其子集R）的單元（elements)。在第14章，我們將在開發可靠通信編碼技術的環境下，學習定義在二進制域的矢量空間。 矢量或線性空間V是具有如下特性的集或者集合：若u和v在V中，則對于任何標量，線性組合也在v中。此即疊加性。所以矢量空間都包含零矢量,這是因為標量零乘以任何矢量都得到零矢量。可能最熟悉的矢量空間的例子是元實數的集合。域的加和標量乘運算定義各組成分量。 本章我們主要關注的是矢量空間，它是定義在間隔的有限能量復數波形（函數）的集合。對于L2中的任意矢量u(t): 其中表示區間的積分。即，若u(t)和v（t)是兩個

27、能量有限的復數波形，則對任意復數，的能量也有限。（即，在L2中）。利用不等式，我們可以寫出： （10.70）因此，能量有限的復數波形 的集合由具有復數加和標量的乘運算的矢量空間構成。類似地，有限能量實數波形的集合構成了具有實數加和標量乘的集合。在表示 中的矢量u(t)時我們交替的使用u。 矢量空間V的子空間S是V的子集，使得S中的矢量也滿足疊加性。例如，是的子集但不是的子空間。矢量是的單元，也是的單元。但標量積不是實二元組，因此不在中。10.3.1 有限維矢量空間 若每個矢量的線性組合，則矢量的集合is said to span V。即， （10.71） 若存在span V的有限矢量集合，則矢

28、量空間V為有限維。若不是有限維，則叫做無限維。例如，考慮矢量空間。設是位置i為1其余位置為0的矢量，即，等等。矢量叫做的單位矢量。注意，每個矢量可以表示為單位矢量的線性組合。例， （10.72） 所以矢量的集合span矢量空間。 若集合中沒有一個矢量能夠表示為集合中其余矢量的線性組合，則矢量的集合線性獨立。即，對于線性獨立的矢量的集合，不可能找到非全零的標量滿足下式： （10.73） 若集合滿足span V和線性獨立兩項，則在V中矢量的集合是V的基。矢量空間的基不唯一。是的基但不是唯一的基。矢量空間V的維數是V的任意基中矢量的數目。若已知有限維矢量空間V的任意基，則V中的任意矢量可以表示為：

29、（10.74）式中是獨特的標量。根據給定的基，V中的每個矢量可以表示為系數n元組。 基的最簡單例子是中由矢量，和組成的標準基。所以的維數為3。10.3.2 矢量空間的內積 盡管距離或符號的表示法明確出現在二維和三維Euclidean空間，但矢量空間本身并不包含距離或矢量的表示。內積是點積的推廣。具有內積的矢量空間叫做內積空間。內積空間的例子包括： 1.矢量空間，其中的內積為點積。對于中的任意兩個矢量，點積定義為： （10.75） 2.定義在區間的有限能量復波形的矢量空間。對于 中的任意兩個矢量u(t),v(t），內積定義為： (10.76) 矢量的模或長度定義為： （10.77）在矢量空間中，

30、矢量的模為： （10.78）在有限能量復波形空間中，矢量u(t)的模為： （10.79）內積空間V中，兩個矢量，間的距離定義為矢量之差的模。即， （10.80）在矢量空間中，兩個矢量，之間的距離為： （10.81）上述結論與Euclidean距離或笛卡爾坐標表示法的距離一致。根據定義，有限能重復波形空間L2中，兩個矢量u(t)和v(t)之間的距離如下： （10.82）正交矢量和正交單位矢量 若兩個矢量和滿足，則這兩個矢量定義為正交。在內積空間，若滿足下式，則矢量的集合為標準正交集： (10.83) 換句話說，標準正交集是一組正交矢量，其中的每個矢量都歸一化為具有單位長度。可以看出，若一組矢量

31、正交，則下面的集合為標準正交： （10.84） 注意，若矢量正交，則矢量任意縮放（包括歸一化）后仍正交。矢量在另一矢量上的投影是矢量在軸上的分量，且定義為： （10.85) 若兩個矢量正交，則一個矢量在另一個矢量上的投影為零矢量。 我們用一個非常重要的研究結果來結束本節：對于無限維矢量空間的有限維子空間，例如 L2而言，總存在標準正交基。Gram-Schmidt正交化是實現有限矢量的集合和構建標準正交基的有益的方法（其中)。該方法不僅在實際求解正交基時有用，而且理論上也很重要，因為該方法證明了它們的存在。10.3.3 Gram-Schmidt標準正交化過程 Gram-Schmidt構建了一組標

32、準正交化矢量，這些一個或一個的標準正交矢量不必來自正交或歸一化的矢量。 1.第1個基函數可以是si(t)中的任一個,。若我們取，則除以得到單位能量函數： （10.86）式中， 2.為了求出第2個基函數，我們從中減去在上的投影，產生如下函數： （10.87） 其中， 由于我們去除了在軸上的分量，所以與正交。第2個基函數為： 式中 3.第2步中的方法可擴展到時任何基函數的計算。為了計算，我們根據產生函數如下： (10.88)式中， （10.89） 我們可以看出與前面的每個基函數正交。即， 第k個基函數可以表示為 （10.90）其中， 若我們從一組不是線性獨立的矢量開始，則該算法求解的是現有標準正交

33、基（表示為）線性組合的任意矢量（比如），包括構成基的分量，和繼續求下一基矢量。【該句重譯】 因此，G-S過程產生表示M個不同的能量有限信號個標準正交基函數。例10.4 用Gram-Schmidt正交化方法求出圖10.11所示信號集的正交基。解：我們取為第一個基函數， 除以得到單位能量函數。即， （10.91）下面我們根據式（10.88）計算函數 式中， 這就隱含著和正交。所以， 由于， 根據式（10.90），可得第2個標準正交函數為 （10.92） 為了得到下一代標準正交函數，根據式（10.89）計算出函數為： 式中， 將和的值代入的表達式，得到， 或者， 由于，所以，。將其代入式（10.93

34、），得， （10.94）為了check for另一個標準正交函數，我們根據式（10.88)計算函數。即， 式中， 將的值代入的表達式，得 或者， （10.95）10.4 信號和WGN的矢量空間表示 本節我們考慮的是有限維矢量空間中，作為矢量（“點”）的能量有限信號波形的表示。盡管該概念是由Kotenikov和Shannon各自地發明和應用，但將這一概念推廣應歸功于Wozencraft和Jacobs的text。這一幾何觀點構成現代數字通信系統分析和設計的基礎之一。10.4.1 波形矢量的空間表示 假定我們有定義在區間上的M個有限能量能構成了全部能量有限波形矢量空間L2的有限維子空間。經采用Gra

35、m-Schmidt正交化過程，我們可以求出正交基,使得M個波形中的每一個可以精確（exactly)表示為： （10.96）其中， （10.97）因此在標準正交量 spanned的子空間里，波形可以表示為N元件： （10.98） 我們把這種子空間叫信號空間。這種表示使得我們把信號視為N維信號空間的矢量或點而不是無窮維函數空間L2的波形。矢量空間的長度和距離的概念在開發最佳信號檢測方法和性能分析中都很有用處。我們把波形的集合叫做數字調制方案的信號集。M個矢量的集合叫做信號星座。信號星座是信號空間中由基確定的信號集合的唯一表示。我們可以看出信號集的特定星座表示相對特定信號空間而言是唯一的。然而，在另

36、一個基矢量集合定義的不同的信號空間中，同樣的星座可能表示不同的信號集。例10.5 用例10.4中開發的（developed)標準正交基求出圖10.11中信號集合的矢量空間表示。解：由于例10.4中信號空間的維數N是3，所以例10.11中的每個信號都可以用式（10.96）表示為例10.4求出的三個基函數和的線性組合。即， （10.99） 根據式（10.91）與式（10.99），我們可以得到對應信號的信號矢量。 類似地，我們可以根據式（10.92）（10.94）（10.95）與（10.99）得到信號的矢量空間表示如下：圖10.11中信號集合的矢量空間表示如圖10.13所示。 特定發送符號產生決定了

37、星座中第i個矢量的概率。任何實際通信系統中可獲得（available)的功率限定了發送連續發送的每個符號所需能量的平均值。因此，信號星座的重要概念是其平均能量。信號星座的平均能量（也叫做平均能量/符號）定義為： (10.100）假定符號等概率出現，則平均能量/符號由下式給出： （10.101）平均能量/比特（）與的關系為： （10.102）信號星座的平均能量與平均功率的概念也密切相關，即， （10.103）其中T是符號間隔。的最小化將信號星座點置于（place)靠近原點的地方，然而，存在噪聲時調制方案的差錯性能由星座點之間的距離決定，見第10.6節的介紹。10.4.2 信號星座實例 二進制反極

38、性信號 在這種條件下， （10.104） 如果我們選擇基函數 （10.105）則可以在一維空間用spanned的表示式（10.104）中的信號集： （10.106）根據式（10.106）得到星座點為： （10.107）二進制正交信號 考慮是式（10.58）描述的正交信號集： 和， 由于函數與在時間上沒有重疊（nonoverlapping),所以GS正交化過程的簡單應用表示我們需要兩個基函數。若我們選擇基函數為： (10.108)因此，可以在二維空間經spanned和將正交信號集表示為： （10.109）根據式（10.109），星座點為： （10.110）圖10.14（b)示出了正交信號的星座。

39、M進制PAM信號集為： (10.111)式中。若我們選擇基函數為： (10.112) 則可以在一維空間里往spanned 將式（10.111）的信號集表示為： (10.113)根據式（10.113），得出星座點為： （10.114）圖10.14（c)示出了M進制PAM信號集的信號星座。方形星座 圖10.14（d)示出了廣泛出現在數字傳輸系統中的信號星座。它可以視為將兩個反極性信號集組合得到的；反極性信號集則由兩個正交奇函數構成。圖10.14（e)是通過將圖10.14（d)對角上移的轉換得到的（？）。經應用式（10.101），圖10.14（e)中星座的平均能量為： 根據圖10.14（e)，我們可

40、以得出： 所以， 該值為圖10.14（d)中星座平均能量/符號的兩倍。因此，在信號空間，能量有效的星座集中在原點附近。例10.6 考慮圖10.15(b)中的兩個基函數。畫出對應圖10.15（b)和（c)中所示星座點的波形概圖。解：圖10.15（b)中信號集的維數N是1.若我們選擇作為基函數，則所對應的星座點的波形可以表示為： 圖10.15（c)中信號集的維數N為2.則所對應的星座點的波形可以表示為： 圖10.16（b)示出了信號和。10.4.3 WGN的矢量空間表示 我們在第10.4.2節證明（demonstrate)了M個能量有限波形的集合可以表示為N維矢量空間里spanned正交基的矢量。

41、表示隨機過程需要無限維的標準正交基。考慮將功率譜密度N02 (瓦/赫茲）的高斯白噪聲n(t)表示為和式： (10.115) 式中是n(t)在軸上的投影。由下式定義的n(t)的分量： （10.116）式（10.116）的n(t)的分量表示在高斯白噪聲與其在spanned矢量空間的n維表示之間的差值。可以證明：n(t)與關于發送的是哪個信號的判決無關（？）。下面我們高斯隨機變量的均值由下式給出： （10.117） 由于對于所有j,，所以高斯隨機變量的方差可以表示為： （10.118）所以，隨機變量 不相關，且每個隨機變量有均方值N02。由于n(t)是高斯過程，因此這就暗示著是聯合高斯過程且統計獨立

42、。總之，我們可以將高斯白噪聲n(t)表示為spanned的信號空間中高斯隨機變量，其中，分量是均值零方差N02的高斯隨機變量。在以原點為中心的信號空間中，隨機變量看起來像個球面云。云中的每個點表示隨機過程樣本函數集合中的一個實現。在云中用陰影強度表示的點的密度與給定區域觀測的概率成正比。圖（10.17）示出了高斯噪聲和信號，以及三維空間的噪聲矢量。10.5 AWGN系統中的M進制信號檢測 現在我們考慮M進制通信系統中調制器在每個符號周期T發送M個波形之一。（該句重譯）存在AWGN n(t)時接收端收到的發送波形為r(t): (10.119) 最佳檢測方案中我們關注的是，通過在區間0tT觀測到隨

43、機信號r(t)的樣本函數，根據集合來確定發送的是哪一個信號。在第10.4節，我們showed了存在AWGN時，集合中的信號可以表示為N維信號空間中的矢量，其中。因此，我們可以把確定在區間0tT哪個信號（或相當于星座點）發送的問題轉換為下面的矢量檢測問題： （10.120） 式中和是對應信號空間維數的N維矢量。基于所測的觀接收矢量的特定實現，我們期望設計如下的最佳檢測器：從某種意義上說，使得符號差錯概率最小化，或相當于，取正確判決概率的最大值。給定接收信號矢量的觀測值時，檢測器正確判決的條件概率為： （10.121） 是在的條件時發送信號為的條件概率。所以，叫做的后驗概率。從式（10.121）我

44、們可以看出取正確判決概率的最大值就是從集合中選擇使得后驗概率最大的。因此，最小化符號差錯概率的檢測器就是最大后驗概率（MAP）檢測器。10.5.1 最大后驗概率檢測器 MAP檢測器定義為滿足如F條件的檢測器：觀測到接收信號矢量和選擇取后驗概率最大值的信號矢量。若滿足下式則檢測器判決發送信號為： (10.122)若對于 的某值時，式（10.122）中的等號成立，則可以判決為或者而并不改變差錯概率。該判決準則叫做最大后驗概率（MAP）準則。利用貝葉斯準則（式（6.146），后驗概率可以表示為： （10.123）式中，； 。 由于式（10.123）的分母與無關，則求最大值時可忽略。所以我們可以將檢測

45、規則陳述如下： 若滿足下式則判決發送信號為： （10.124） 若對于的某值時，式（10.124）中的等號成立，則可以交替地判決為或者而并不改變差錯概率。10.5.2 最大似然檢測器 若所有M個發送信號等概，即，若 ， 則MAP檢測規則變為最大似然檢測規則： (10.125) 條件PDF或任意單調函數常叫做似然函數。最大似然檢測規則可表述如下： 若滿足下式則判決發送信號： （10.126）式（10.126）叫做最大似然（ML）準則。再者，的某值時若式（10.126）的等號成立，則可以判決為或者而并未改變差錯概率。 回顧第10.4.3節中，的分量是均值零，方差N02的獨立且同分布的高斯隨機變量。

46、根據式（6.173），的聯合PDF可以寫為： （10.127） 由于，因此我們可以寫出下面的條件PDF的表述式： （10.128） 由于是其自變量的單調函數，所以取等價于取對數似然函數的最小值，且定義為： （10.129） 式（10.129）中的累加和與Euclidean距離的關系為： （10.130） 式中的Euclidean距離指的是距離指的是與之間的距離。因此，最大似然檢測器在所有的信號星座點上通過求解取得最小值的作出最佳判決。即，最大似然檢測器選擇的是：與接收矢量的Euclidean距離最近的信號星座點。按照Euclidean距離最大似然檢測規則式（10.126）可陳述如下： 若滿足下述條件，則判決發送的信號為 （10.131） 類似地，我們可以根據Euclidean長度將最大后驗概率檢測規則敘述如下：若滿足下式則判決發送信號為： （10.132）10.5.3 最大后驗概率和最大似然檢測器的實現 最大似然檢測器僅僅通過計算。接收矢量與信號集合的所有信號之間的距離作出判決，且如果使得下式取最小值則推斷發送的是： （10.133） 式中是第i個信號的能量。式（10.133）右邊的第一項在最小化期間為常數，因而可以略去由于取式（10.133）的最小值等價于取的最大值，所以最大似然檢測器的優化問題可以表示為： （10.134） 經將接收信號通過一排與正交基函數匹